题型06 7类三角函数与三角恒等变换解题技巧-高考数学答题技巧与模板构建

题型067类三角函数与三角恒等变换解题技巧（三角函数图象与性质、异名三角函数伸缩平移、三角函数ω的取值范围、拼凑思想的应用、升（降）幂公式、半角公式、辅助角公式）技法01技法01三角函数图象与性质的解题技巧技法02异名三角函数伸缩平移的解题技巧技法03三角函数ω的取值范围解题技巧技法04拼凑思想的应用及解题技巧技法05升（降）幂公式的应用及解题技巧技法06半角公式的应用及解题技巧技法07辅助角公式的应用及解题技巧本节导航技法01三角函数图象与性质的解题技巧在高考中，三角函数的图象与性质是一个经常被考查的重要知识点，它不仅涉及到函数的基本概念和图象特征，还包括了函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性的应用，需强化练习解题的关键在于利用整体思想快速求解，有时也可以用到函数图象的特有位置求解，例如检验三角函数的对称中心处函数值是否为0，对称轴处是否取得最值等都是解题突破口.（2024·新Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（

）A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴1．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（

）A． B． C． D．2．（2024·新Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（

）A．3 B．4 C．6 D．83．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数y=fx的图像的两条相邻对称轴，则（

）A． B． C． D．1．（2022·全国·高考真题）记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T．若，且的图象关于点(3π2,2)A．1 B． C． D．32．（2024·广东佛山·一模）函数是（

）A．偶函数，且最小值为－2 B．偶函数，且最大值为2C．周期函数，且在上单调递增 D．非周期函数，且在上单调递减3．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（

）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线4．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数和，下列说法正确的是（

）A．和均为周期函数，且是、的周期之一B．和均为周期函数，且是、的周期之一C．的值域为D．对恒成立技法02异名三角函数伸缩平移的解题技巧在三角函数的伸缩平移变换中，同名三角函数的处理相对容易，而异名三角函数的伸缩平移变换则需要先转换为同名三角函数，随后才能进行相应的伸缩平移变换，难度中等，需要加强练习。通常用进行正弦化余弦，用进行余弦化正弦若要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度1．（2024·广西·模拟预测）为了得到函数的图象，只需将正弦函数图象上各点（

）A．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变B．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变2．（2024·山东青岛·三模）为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（

）A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度1．（全国·高考真题）为得到函数的图像，只需将函数的图像（

）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位2．（天津·高考真题）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度3．（全国·高考真题）为了得到函数的图象，可以将函数的图象A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度4．为了得到的图象，只要把的图象向左平移（

）个单位长度A． B． C． D．技法03三角函数ω的取值范围解题技巧在近年来的高考中，三角函数中参数ω的取值范围问题经常以小题的形式出现，解题过程融合了数学运算和逻辑推理等核心素养，因此具有一定的挑战性。我们了解ω决定了三角函数的周期，进而影响到函数在周期内的单调性、对称轴、对称中心、最值、零点等特性。直接的方法是通过整体换元将问题转化为正弦、余弦、正切函数问题，再通过图象的性质列出相关约束条件．由此可知掌握正弦、余弦、正切函数的相关性质是关键．整体换元思想（2024·全国·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．1．（2024·广东湛江·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（全国·高考真题）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为A．11 B．9C．7 D．51．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为（

）A． B． C． D．2．（2024·四川巴中·一模）已知函数，若，，且在上单调，则的取值可以是（

）A．3 B．5 C．7 D．93．已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（

）A．2 B．6 C．10 D．144．已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则ω的取值范围是（

）A． B． C． D．技法04拼凑思想的应用及解题技巧在三角函数求值题目当中，常常会出现已知条件中给出两个或者一个三角函数值，求问题中的三角函数值，解决此类问题的关键在于用“已知角”来表示“未知角”1、当“已知角”有两个时，“所求角"一般表示两个"已知角”的和与差的关系2、当"已知角"有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和与差或倍数的关系，然后借助三角恒等变换公式把“所求角”变成“已知角”（2024·江苏徐州·模拟预测）已知角满足，则（

）A． B． C． D．1．（2024·四川·模拟预测）已知满足，则的值为（

）A． B． C． D．2．已知,,且,,则（

）A． B． C． D．1．已知，则（

）A． B．C． D．2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，均为锐角，，则（

）A． B． C． D．3．（2024·山西·三模）若，且，则（

）A． B． C． D．4．已知，满足，，则（

）A． B． C． D．技法05升（降）幂公式的应用及解题技巧在三角恒等变换的倍角考查中，升幂公式及降幂公式极其重要，需灵活掌握，在高考中也是高频考点，要强加练习升幂公式：，降幂公式：，（2023·全国·统考高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．1．（2024·广东·一模）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（

）A． B． C． D．1．（2024·山西·模拟预测）若，，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2024·辽宁丹东·二模）已知，则（

）A． B． C． D．3．若，则（

）A． B． C． D．技法06半角公式的应用及解题技巧半角公式是三角函数的一个重要知识点，也是高考重要考点，我们需要知道什么是半角公式及半角公式的考查形式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).（2023·新Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（

）．A．3−58 B． C． D．1．若是第三象限角，且，则的值为（

）A． B．5 C． D．2．若，，则（

）．A． B． C． D．1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（

）A． B． C．或 D．2．已知是锐角，，则（

）A． B． C． D．3．已知，则（

）A． B． C． D．技法07辅助角公式的应用及解题技巧“辅助角公式”又称“化一公式”，是在三角函数中通过对asinx+bcosx型含有正弦和余弦两种函数的式子的化简来将其化为只含有一种三角函数的式子的方法。在高考和模考中通常用于化简、求值、或求参数值及参数函数值，需重点掌握辅助角公式，，其中，（全国·高考真题）设当时，函数取得最大值，则.1．（2022·浙江·高考真题）若，则，．2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则．3．设是一个三角形的三个内角，则的最小值为.1．（2024·全国·高考真题）函数在上的最大值是．2．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知非负实数m，n满足，则的最大值为．3．（2024·四川·模拟预测）中，的最大值为.1．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（

）A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度B．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，，，，则（

）A． B． C． D．或3．（2024·重庆·模拟预测）已知都是锐角，，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2024·天津北辰·三模）已知函数，则下列结论不正确的是（

）A．的最小正周期为B．的图象关于点对称C．若是偶函数，则，D．在区间上的值域为5．（2024·辽宁葫芦岛·一模）（多选）已知在区间上单调递增，则的取值可能在（

）A． B． C． D．6．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．7．已知函数的最小正周期为，若，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知函数，若为的零点，是的图象的对称轴，且在区间上单调，则实数取最大值时，（

）A． B． C． D．9．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，则（

）A．是的一个周期 B．是图象的一条对称轴C．是图象的一个对称中心 D．在区间内单调递减10．（2024·山东青岛·一模）（多选）已知函数，则（

）A．在区间单调递增B．的图象关于直线对称C．的值域为D．关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为11．（2024·浙江金华·模拟预测）（多选）已知函数，则（

）A．是偶函数 B．的最小正周期为C．的最大值为 D．的最小值为12．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．若，则在上递增B．若为奇函数，则C．若是的极值点，则D．若和都是的零点，在上具有单调性，则的取值集合为13．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的最小值是B．若，则在上单