2024-2025学年湖南省常德一中高二（下）核心素养数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省常德一中高二（下）核心素养数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若直线y=−2x+4与直线y=kx的交点在直线y=x+2上，则实数k=(

)A.4 B.2 C.12 D.2.若双曲线方程为x2m+y21−mA.(0,1) B.(1,+∞)

C.(−∞,0) D.(−∞,0)∪(1,+∞)3.已知a=(2,−1,3),b=(−1,4,−2),c=(1,3,λ)，若aA.2 B.1 C.−2 D.−14.在等比数列{an}中，已知前n项和Sn=5A.−1 B.1 C.−5 D.55.若直线ax+by=4与圆x2+y2=4有两个公共点，则点P(a,b)与圆A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都有可能6.P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1、FA.(22,1) B.(37.设Sn为等差数列{an}的前n项和，且∀n∈N∗，都有SA.Sn的最小值是S7 B.Sn的最小值是S8 C.Sn的最大值是S8.中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它身上所显示的情致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视为一个大正方形(内部是16个全等的边长为1的小正方形)和凸出的16个半圆所组成，如图，点A是大正方形的一条边的四等分点，点C是大正方形的一个顶点，点B是凸出的16个半圆上的任意一点，则AC⋅AB的最大值为(

)A.33+3172

B.33+2172二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知数列{an}的前n项和SnA.{an}不是等差数列 B.an=2n−5

C.数列10.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，FA.A1D⊥AF

B.D1C与平面AEF所成角的正弦值为26

C.二面角A−EF−C的余弦值为1311.第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束．根据规划，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆C1：x2a12+y2b12=1(A.a12−a22<b12−b22

B.a1−a2>b1−b2

C.如果两个椭圆C2，C1分别是同一个矩形(此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行)的内切椭圆(即矩形的四条边与椭圆C2均有且仅有一个交点)和外接椭圆，则a1a2=2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在等比数列{an}中，a1=4，q=5，则使S13.已知F1、F2分别是双曲线C：x24−y2=1的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆G：x14.已知曲线C的方程是(x−|x|x)2+(y−|y|y)2=8，给出下列四个结论：

①曲线C与两坐标轴有公共点；

②曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形；

③若点P，Q在曲线C上，则|PQ|的最大值是62四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12，记M的轨迹为曲线C，求C的方程，并说明C16.(本小题15分)

设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=2，S5=15．

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式：

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，PA=PD=22，AB=AD=2CD=4，∠BAD=60°．

(1)若E为PB的中点，证明：CE//平面PAD．

(2)若二面角P−AD−B为150°，求二面角P−BC−A18.(本小题17分)如图，已知点F(1,0)为抛物线y ​2=2px(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求S1S2的最小值及此时点19.(本小题17分)

如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”．

(1)若数列{an}为“H型数列”，且a1=1m−3，a2=1m，a3=4，求实数m的取值范围；

(2)是否存在首项为1的等差数列{an}为“H型数列”，且其前n项和Sn满足Sn<n2+n(n∈N∗)参考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.B

6.A

7.A

8.C

9.BC

10.BD

11.BCD

12.11

13.6

14.②③

15.解：点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12，

kAM⋅kBM=yx+2⋅yx−2=−12，16.解：(Ⅰ)由题意，设等差数列{an}的公差为d，

则a1+d=25a1+5×42d=15，

解得a1=1d=1，

∴an=1+1×(n−1)=n，n∈N∗．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，S17.(1)证明：取PA的中点F，连接EF，DF，

因为E为PB的中点，所以EF/​/AB，EF=12AB，

又因为AB/​/CD，AB=2CD，所以EF//CD，EF=CD，

所以四边形CDFE为平行四边形，从而CE/​/DF，

又DF⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE/​/平面PAD．

(2)解：取AD的中点

O，连接PO，BO，依题意可得PO⊥AD，BO⊥AD，

则∠POB=150°

以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

O−xyz，

则

P(0,−3,1),B(0,23,0),C(−3,3,0),PB=(0,33,−1),BC=(−3,−3,0)．

设平面

PBC的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅PB=0，n⋅BC=018.解：(Ⅰ)由抛物线的性质可得：p2=1，

∴p=2，

∴抛物线的准线方程为x=−1；

(Ⅱ)设A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)，重心G(xG,yG)，

令yA=2t，t≠0，则xA=t2，

由于直线AB过F，故直线AB的方程为x=t2−12ty+1，

代入y2=4x，得：y2−2(t2−1)ty−4=0，

∴2tyB=−4，即yB=−2t，∴B(1t219.解：(1)由题意得，a2−a1=3>2，a3−a2=4−1m>2，即2m−1m>0，解得m>12或m<0．

∴实数m的取值范围为(−∞,0)∪(12,+∞)．

(2)不存在．

证明：假设存在等差数列{an}为“H型数列”，设公差为d，则d>2，由a1=1，可得：Sn=n+n(n−1)2d，由题意可得：n+n(n−1)2d<n2+n对n∈N∗都成立，易知n=1时成立，当n≥2时，即d<2nn−1成立．∵2nn−1=2+2n−1>2，∴d≤2，与d>2矛盾，因此不存在等差数列{an}为“H型数列”．

(3)设等比数列{an}的公比为q，则an=a1qn−1，且每