2024-2025学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是(

)A.{1,3}

B.{1,5}

C.{4,5}

D.{1,2,4}2.命题“∀x>0，|x|+x≤1”的否定是(

)A.∀x>0，|x|+x>1 B.∃x≥1，|x|+x>1

C.∀x>0，|x|+x≥1 D.∃x>0，|x|+x>13.下列函数中，既是偶函数又在区间(−∞,0)上单调递减的是(

)A.y=−x2 B.y=2|x| C.4.某校高中三个年级共有学生2000人，其中高一年级有学生740人，高二年级有学生660人.为了了解该校高中学生参加整本书阅读活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为100的样本进行调查，那么在高三年级的学生中应抽取的人数为(

)A.37 B.33 C.30 D.705.若a>b，则一定有(

)A.1a<1b B.a3>6.在某学校的趣味科技节上，有“智投一号”和“智投二号”两个智能投篮机器人参与投篮挑战.“智投一号”每次投篮命中率是0.6，“智投二号”每次投篮命中率是0.5.如果让这两个智能投篮机器人轮流投篮且各投一次，每人每次投一球，各次投篮互不影响，那么这两个智能投篮机器人中至少有一个投篮命中的概率是(

)A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.37.已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R)A.0

B.1

C.2

D.38.已知f(x)是R上的偶函数，则“f(x)在区间[0,+∞)上单调递减”是“f(x)在R上有最大值”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种红茶用84℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.在24℃室温下，茶水温度从84℃开始，经过tmin后的温度为y℃，可选择函数y=60×0.9t+24(t≥0)来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律.则在上述条件下，该种红茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是(

)

(参考数据：lg2≈0.301A.2min B.3min C.5min D.8min10.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤4，x，y∈Z}，B={(x,y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={(x1A.49 B.62 C.109 D.77二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数f(x)=x−1+lgx12.2024年北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动活动.某校从所有的1000名高中学生中随机抽取100名学生，了解他们每天用于体育锻炼的时间(单位：分钟)，将数据按照[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)，[100,110]分成5组，并将所得的数据绘制成频率分布直方图(如图所示)．

由图中数据可知a=______；估计全校高中学生中用于体育锻炼的时间不少于80分钟的人数为______．

13.已知关于x的方程x2+(1−m)x+1=0有两个不相等的正实数根，则实数m的一个取值可以是______．14.已知函数f(x)=log2x,x>0−x2−4x,x≤0，那么f(15.已知函数f(x)=2ex1+e2x，给出下列四个结论：

①f(x)是偶函数；

②f(x)的值域是(0,1)；

③f(x)在区间(1,+∞)上单调递减；

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

已知A(−1,−2)，B(3,−1)，C(k,2)．

(Ⅰ)若向量AB与AC共线，求实数k的值；

(Ⅱ)若k=4，存在点D，使得A，B，C，D四点按逆时针方向排列并依次连接构成平行四边形，求点D的坐标及|BD17.(本小题14分)

某公司研发了A、B两种不同版本的AI智能助手，为了对比它们完成特定任务的效率情况，现用A、B两种版本的AI智能助手分别完成6项特定任务，所用的时间(单位：秒)记录如下：任务1任务2任务3任务4任务5任务6A版本9101110128B版本7101081213假设A、B两种版本的AI智能助手完成每一项特定任务所用的时间相互独立．

(Ⅰ)若从这两组数据中随机抽取一个数据，求该数据小于10的概率；

(Ⅱ)将这12个数据按照从小到大的顺序进行排列，求第8个数据是A版本的AI智能助手用时数据的概率；

(Ⅲ)设A、B两种版本的AI智能助手完成这6项特定任务所用时间的方差分别为s12、s22，试判断s12和18.(本小题14分)

已知U=R，A={x|a+1≤x≤3a−5}，B={x|x2−x−12≤0}．

(Ⅰ)当a=4时，求(∁UA)∩B；

(Ⅱ)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，存在实数a满足这个条件，求实数a的取值范围．

条件①：A⊆(A∩B)；

条件②：(A∪B)⊆B；

19.(本小题14分)

某工厂生产某种新能源产品的年固定成本为200万元，每生产n件，需另投入成本为C(n)(万元).当年产量x不足81件时，C(x)=18x2+10x；当年产量x不小于81件时，C(x)=31x+40000x−1380.每件产品售价为30万元，年利润为L(x)(万元).通过市场分析，该厂生产的该种新能源产品能全部售完．

(Ⅰ)求20.(本小题15分)

已知函数f(x)=ln(1−x)−ln(1+x)．

(Ⅰ)求证：f(x)是奇函数；

(Ⅱ)判断f(x)的单调性，并用定义证明；

(Ⅲ)21.(本小题15分)

已知集合A={a1,a2,…,an}(n∈N∗，n≥2)，A⊆N∗，若A满足如下两个性质，则称A为Ω集：

①1=a1<a2<⋯<an；

②对于任意元素ak(2≤k≤n)，都存在元素ai，aj(1≤i≤j≤n)，使ak=ai+a．

(Ⅰ)分别判断P={1,3,4}与T={1,2,4,6}是否为Ω集(直接写出结论)参考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.B

6.A

7.C

8.A

9.C

10.C

11.{x|x≥1}

12.0.035

750

13.4(答案不唯一)

14.−1

[0,4)

15.①③④

16.解：(Ⅰ)根据题意，A(−1,−2)，B(3,−1)，C(k,2)，

则AB=(4,1)，AC=(k+1,4)，

若向量AB与AC共线，则有k+1=4×4=16，解可得k=15，

故k=15；

(Ⅱ)根据题意，若k=4，则C(4,2)，设D(x,y)，

由平行四边形的性质，AC的中点就是BD的中点，

则有−1+42=3+x2−2+22=−1+y2，解可得x=017.解：(Ⅰ)设事件C为“从这两组数据中随机抽取一个小于10的数据”，

从这两组数据中随机抽取一个数据，总数据个数为6+6=12个；

A版本的AI智能助手小于10的数据有2个，B版本的AI智能助手小于10的数据有2个，共有4个，

所以P(C)=412=13；

(Ⅱ)设事件D为“第8个数据是A版本的AI智能助手用时数据”，

将A版本的数据8，9，10，10，11，12和B版本的数据7，8，10，10，12，13，

合并后从小到大排列为：7，8，8，9，10，10，10，10，11，12，12，13，

可以看到第8个数据是10，在A版本数据中出现了2次，在B版本数据中也出现了2次，总共出现4次，

满足事件D的情况有2种，

所以P(D)=24=12；

(Ⅲ)由题意可知，A版本的AI智能助手完成这6项特定任务所用时间的平均数为16×(9+10+11+10+12+8)=10，

B版本的AI智能助手完成这6项特定任务所用时间的平均数为1618.解：(Ⅰ)当a=4时，A={x|5≤x≤7}，

则∁UA={x|x<5或x>7}，

又因为B={x|x2−x−12≤0}={x|−3≤x≤4}，

所以(∁UA)∩B={x|−3≤x≤4}；

(Ⅱ)若选条件①：A⊆(A∩B)，则A⊆B，

当A=⌀时，则a+1>3a−5，

解得a<3，

当A≠⌀时，则a+1≤3a−5a+1≥−33a−5≤4，

解得a=3，

综上所述，实数a的取值范围为(−∞,3]；

若选条件②：(A∪B)⊆B，则A⊆B，

当A=⌀时，则a+1>3a−5，

解得a<3，

当A≠⌀时，则a+1≤3a−5a+1≥−33a−5≤4，

解得a=3，

综上所述，实数a的取值范围为(−∞,3]；

若选条件③：(∁UA)⊆B，

当A=⌀时，∁UA=U，显然不符合题意，

当19.解：(Ⅰ)当0<x<81时，x∈N∗，

L(x)=30x−(18x2+10x)−200=−18x2+20x−200；

当x⩾81时，x∈N∗，

L(x)=30x−(31x+40000x−1380)−200=−x−40000x+1180；

所以L(x)=−18x2+20x−200,x∈N∗,0<x<81−x−40000x+1180,x∈N∗,x⩾81；

(Ⅱ)当0<x<81时，L(x)=−20.解：(Ⅰ)证明：由题意知1−x>0,1+x>0.，解得−1<x<1，

所以f(x)的定义域为(−1,1)，

对任意x∈(−1,1)时，都有−x∈(−1,1)，

又因为f(−x)=ln(1−(−x))−ln(1−x)=ln(1+x)−ln(1−x)=−(ln(1−x)−ln(1+x))=−f(x)，

所以f(x)是奇函数；

(Ⅱ)f(x)=ln1+x1−x在(−1,1)上是减函数，证明如下：

任取−1<x1<x2<1，令t(x)=1−x1+x=−1+2x+1，

则t(x1)−t(x2)=21+x1−21+x2=2(x2−x1)(1+x1)(1+x2)>0，

则t(x)在(−1,1)上单调递减，

故f(x)在21.解：(Ⅰ)P不是Ω集，T是Ω集．

(Ⅱ)证明：因为A={a1,a2,⋯,an}(n∈N∗,n≥2)是Ω集．

所以对任意的2≤k≤n，都存在i，j(1≤i≤j≤n)，使得ak=ai+aj成立，

因为1=a1<a2<⋯<an，所以ai<ak，aj<ak，

所以ai≤ak−1，aj≤ak−1，所以ak=ai+aj≤2ak−1，对任意的k(2≤k≤n)均成立．