圆与方程知识点

圆与方程知识点2221、圆的标准方程:圆心C(a,b),半径为r()()xaybr,，,,222、圆的一般方程:x，y，Dx，Ey，F,022DEDEF，,422表示圆，圆心C()半径为,,,DEF，,,40222DE2222表示点();不表示任何图形,,,DEF，,,40DEF，,,40223、过点求圆的切线方程(1)点在圆上(,)xy002222圆的方程为，切线方程xyr，,xxyyr，,002222圆的方程为，切线方程()()xaybr,，,,()()()()xaxaybybr,,，,,,0022圆的方程为，切线方程x，y，Dx，Ey，F,0xxyy，，00xxyyDEF，，，，,00022(2)点在圆外，设直线方程为即(,)xyyykxx,,,()kxykxy,,，,0000000d,rk由圆心到直线的距离求出(过圆外一点作圆的切线有2条)(3)点在圆内(,)xy0022224、圆与圆相交，CxyDxEyF:0，，，，,CxyDxEyF:0，，，，,11112222则公共弦的直线方程为()()()0DDxEEyFF,，,，,,121212r公共弦长，半径，圆心到弦的距离(弦心距)满足关系式:dll222()，,dr222225、圆与圆相交，CxyDxEyF:0，，，，,CxyDxEyF:0，，，，,11112222过两圆交点的圆系方程可设为2222或xyDxEyFxyDxEyF，，，，，，，，，,,,,,()0(1)11122222xyDxEyFDDxEEyFF，，，，，,，,，,,,[()()()]0111121212若?C1与?C2交于A、B两点，则直线AB称为这两个圆的根轴。经过A、B两点的所有的圆形成一个圆系，这圆系内任何两个圆的根轴均为直线AB，因此我们称这种圆系为共轴圆系10、用坐标法解决几何问题的步骤:(1)建立适当的平面直角坐标系，设点的坐标(2)找等量关系(3)将平面几何问题转化为代数问题;(4)化简运算(5)检验得出结论222圆的切点弦方程:1.,(,)已知圆的方程求经过圆上一点的切线方程。xyrMxy，,002222【结论1】过圆上一点的切线方程xyrMxyxxyyr，,，,(,):。0000【方法】1.设出直线，再求解;2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。一、当点M在圆O上时，直线L是圆的切线。二、当点M在圆O外时，1.直线L不是圆O的切线，下面证明之:2r22?圆心O到L的距离为d,,由在圆O外,得x，y,rM(x,y)000022x，yy?，故直线L与圆O相交.d,r,y)M(xL00如图1，设过点M的圆O的两条切线为L,L,切点分别为A、12AB,22则直线MA:，直线MB:.xx，yy,rxx，yy,rox2211B?点M的坐标满足直线MA与MB的方程,(x,y)00图12,xx，yy,r,1010?,,2,xx，yy,r2010,2由此可见A、B的坐标均满足方程，xx，yy,r00由于两点确定一条直线2?直线AB的方程为。xx，yy,r00所以此时的直线L是经过点P的切点弦AB所在直线的方程，而不是圆O的切线。三、当点M在圆O内时，2r22d,?圆心O到L的距离为，由在圆O内,得x，y,rM(x,y)000022x，yyL?故直线L与圆O相离.d,rLP0AMoxB图2xy00?直线L的斜率，而直线OM的斜率，kk,,,lomyx00?L,OM一方面，过点M与OM垂直的直线方程为L(x,x)x，(y,y)y,0,0000022即xx，yy,x，y00002,xx，yy,r00,，另一方面，将直线OM与L的方程联立y,0y,x,x0,22xryr00得到它们的交点P的坐标为，(,)2222x，yx，y000022xryr200由(二)可知过点P的圆的切点弦所在直线的方程为，,x，,y,r2222x，yx，y000022即，即为直线的方程。xx，yy,x，yL00000由此我们看到?，直线L是由点M确定的。LL0例1求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与A(1,4)B(3,2)y,0P(2,4)圆的关系(解法一:(待定系数法)解法二:(直接求出圆心坐标和半径)22例2求半径为4与圆相切，且和直线相切的圆的方程(考y,0x，y,4x,2y,4,0虑要全面)例3求经过点，且与直线和都相切的圆的方程(A(0,5)x,2y,02x，y,0类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程(两相交圆方程相减得公共弦方程)22例5已知圆，求过点与圆相切的切线(，，O:x，y,4P2，4O22AMAMB例6、过圆外一点，作这个圆的两条切线、，切点分别是、x，y,1M(2,3)BAB，求直线的方程。类型三:弦长、弧问题2222例7、求两圆和的公共弦长x，y,x，y,2,0x，y,5类型四:直线与圆的位置关系2m例8、若直线与曲线y,4,x有且只有一个公共点，求实数的取值范围.y,x，m22例9圆上到直线的距离为1的点有几个,3x，4y,11,0(x,3)，(y,3),922，，10、过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆，，，，有公P,3，,4C:x,1，y，2,4ll共点，类型五:圆与圆的位置关系2222例11:圆和圆的公切线共有条。x，y,2x,0x，y，4y,02212:求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.25x，y,5P(,1,2)类型六:圆中的对称问题:自点发出的光线射到轴上，被轴反射，反射光线所，，A,3，3xxl22在的直线与圆相切(1)求光线和反射光线所在的直线方C:x，y,4x,4y，7,0l程((2)光线自到切点所经过的路程(A类型七:圆中的最值问题22例18:圆上的点到直线的最大距离与最小距离x，y,14,0x，y,4x,4y,10,0的差是2222例19(1)已知圆，为圆上的动点，求的最P(x,y)O:(x,3)，(y,4),1d,x，yO1大、最小值(y,222(2)已知圆，为圆上任一点(求的最大、最小值，求P(x,y)O:(x，2)，y,12x,1的最大、最小值((三角换元。数形结合)(x,2y2222PB(2,0)例20:已知，，点在圆上运动，则PA，PBA(,2,0)(x,3)，(y,4),4的最小值是.设P(x,y)BAAB类型八:轨迹问题例22、已知线段的端点的坐标是(4，3)，端点在圆22MAB(x，1)，y,4上运动，求线段的中点的轨迹方程.22AB例23如图所示，已知圆与轴的正方向交于点，点在直线yy,2O:x，y,4BH上运动，过做圆的切线，切点为，求垂心的轨迹((四边形是菱OC,ABCAOCH形(222AB例24已知圆的方程为，圆内有定点P(a,b)，圆周上有两个动点、，使x，y,r222，求矩形的顶点的轨迹方程((，)PA,PBOM，AM,OAAPBQQ222222解法二:设、、，则，(Q(x,y)A