2025届北京市海淀高三10月考试-数学试题（含答案）

数学试题2024.10.06本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）2mm3M3M1.设集合，若B.1，则实数m=（C.0或1）A.0D.0或1Sa}S，a52.记为等差数列的前n项和．已知，则nn451n2n5nn10Sn2n28nSn22nA.B.C.D.n23.已知a1.5,b1.5c1.50.3，则（）A.abcB.bacC.acbD.bca4.设1iz21i，则z（）2A.B.1C.2D.225.下列函数中，既是偶函数又是区间)上的增函数的是（）1A.yxB.yx23xxyxyC.D.2ab，a,cb,c则实数t6.已知向量，catb，若（）A.6B.5C.5D.6fxxaxb.函数，则（7）πA.若ab0，则为奇函数fxB.若ab，则，则fx为偶函数为奇函数2πC.若ba，则fx为偶函数D.若abπfx2x,x0.已知函数fxx1有fx2mfx0恒成立，则实数的取值m8，若对任意的x,x0范围是（）A.,,,2D.,2B.C.9.已知a、b、e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足3b24eb30，则ab的最小值是31B.310.已知函数f(x)x1k，若存在区间[AC.2D.231a,b]，使得函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[ab则实数k的取值范围为（）11()(0],,0D.A.B.C.44第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.πsin__________.111.已知角α的终边与单位圆交于点P,y，则22aSa1S，则Sn的前项和，若112.记为数列_____________．为假命题的a的取值范围是______nnnn6xR,ax22xa03.若命题“对任意fxAxsinxA0的最大值为2，则Afx________，的一个对称中心为1_14.若函数______yfx，若在其定义域内存在，使得xxfx1fx成立，则称函数具有性质P.5.对于函数000（1）下列函数中具有性质P的有___________.2x22fx①0,2πfxxx②③④1xfx푥∈(0,+∞)）xfxx2）若函数fxaxa（具有性质P，则实数的取值范围是___________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.6.在VABC中，sinA2sinB，b2．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作1为已知，使VABC存在且唯一确定，并解决下面的问题：（（1）求角B的大小；2）求VABC的面积．条件①：c4；条件②：b2a2c22ac；条件③：Sa20{}aBbsinA．Sn{}b23b17.已知是等差数列푎的前项和，，数列푏是公比大于1的等比数列，且，n푛5푛6bb12.42（1）求数列{푎}푏}和的通项公式；푛푛Snncncn（2）设，求使取得最大值时的值.nπ32f(x)6cosxsin(x)18.已知函数．6f(x)（（1）求2）若函数的最小正周期和单调增区间；π5πyf(x)a在x[存在零点，求实数a的取值范围．,]1212ax2x119.1.已知函数fx，a0.ex（（1）讨论函数的单调性；fxfx在区间上有且仅有一个零点.a02）当时，求证：函数0.已知函数fxexsinx2x2.yfx在点f(0))处的切线方程；（（（1）求曲线2）求在区间[上的最大值；fxfxxaexaa3）设实数使得对xR恒成立，写出的最大整数值，并说明理由.N*a,1ij,i,jj21.已知数列푎记集合TSi,jSi,jii1푎}2,3，列出集合T（（1）对于数列{：的所有元素；푛a2n是否存在i,jN*Si,j1024i,j？若存在，求出一组符合条件的；若不存2）若，使得n在，说明理由；a2n2把集合TB:b,b,,b,.b2020（，3）若中的元素从小到大排列，得到的新数列为若n12mmm求的最大值.数学试题2024.10.06本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）2mm3M3M1.设集合，若B.1，则实数m=（C.0或1）A.0D.0或1【【【答案】C解析】分析】根据元素与集合的关系，分别讨论2m13和m33两种情况，求解m并检验集合的互异性，可得到答案.M2mm，若3M【详解】设集合，3M2m13或m33，m13时，m1，此时M2当；当m33时，m0，此时M；所以m1或0.故选：CSa}S，a52.记为等差数列的前n项和．已知，则nn451n2n5nn10Sn2n28nSn22nD.A.B.C.n2【【答案】A解析】55【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，4(72)S4100SaSS252850105排除B，对C，，排除C．对，4554215SaSS522505D，，排除D，故选A．455422dS4a430a3411a2n5，故选A．n2【详解】由题知，，解得，∴d2aa4d551【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．3.已知a1.5,b1.5c1.50.3，则（）A.abcB.bacC.acbD.bca【【【答案】B解析】分析】根据指对数的性质，分别求三个数的范围，再比较大小.a1.50,1b0.30，1，，【详解】由条件可知，1所以bac.故选：B4.设1iz21i，则z（）2A.B.1C.2D.22【【答案】D解析】21i，求出模长.【【分析】利用复数除法法则计算出z1i2221i1i详解】zz2.1i2，故1i1i2故选：D5.下列函数中，既是偶函数又是区间)上的增函数的是（）1A.yxB.yx23xxyxyD.C2【【【答案】C解析】分析】根据幂函数和指对函数的奇偶性和单调性，逐一检验选项，得出答案．)上的增函数，错误；【详解】选项A，yx是非奇非偶函数，是区间1y是偶函数，是区间)上的减函数，错误；选项B，x2yx是偶函数，是区间)上的增函数，正确；选项C，3xx选项D，y是奇函数，是区间)上的增函数，错误；2故选：Cab，a,cb,c则实数t6.已知向量，catb，若（）A.6B.5C.5D.6【【答案】C解析】分析】由向量坐标的运算求出向量c的坐标，再根据a,cb,c【，利用向量夹角余弦公式列方程，t求出实数的值．ab，catb3t,4，【又详解】由，则cos,cosb,ca,cb,c，则，即，acbcacbc则，acabcb9t163tt5，解得，42132故选：C.fxxaxb.函数，则（7）πA.若ab0，则为奇函数fxB.若ab，则fx为偶函数为奇函数2πC.若ba，则fx为偶函数D.若abπ，则fx2【【答案】B解析】a,bfxfx的解析式，对AD用特值说明不是奇函数，对BC用奇【分析】根据选项中的关系，代入偶性的定义验证即可.详解】的定义域为，fxR【对A：若ab0，fxxasinxa，若fxf00为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数；f0asina0fxππabfxcosxasinxacosxacosxa对B：若，，22x，故为偶函数，B正确；f(x)fxfxaxaxaxaππfxxasinxa2xa对C：若ba，，22x2xa，故不是偶函数，故C错误；f(x)fxf对D：若abπ，fxxbπsinxbxbsinxb，若为奇函数，则f00，而f0cosbsinb0fx不恒成立，故不是奇函数；fx故选：Bx,x0.已知函数fxx1有fx2mfx0m恒成立，则实数的取值8，若对任意的x,x0范围是（）A.,,,2D.,2B.C.【【答案】A解析】分析】根据奇函数的定义证明为奇函数，再判断函数的单调性，利用函数的性质化简不等式可得fx【m的取值范围.详解】当x0时，x0，fxxfxxfx，，【当x0时，x0，fxx，fxxfx，当x0时，f00，所以对任意的xR，fxfx，函数为奇函数，fx又当x0时，fxx为单调递减函数，所以函数在,上为单调递减函数，fx所以不等式fx2mfx0可化为fx2mfx，x2mxxm，所以由已知对任意的x1有所以1m，所以xm恒成立，m1，，即的取值范围是,.m故故选：A..已知a、b、e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足93b24eb30，则ab的最小值是A.31B.31C.2D.23【【答案】A解析】a、b所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最【分析】先确定向量小值.【详解】设ax,y,e0,b,n，rrrrrraeae,xππ12a,ex2y2y3x则由得，33rbrr22得m2n24m3m2n2由4eb3023ab的最小值为圆心03x的距离因此，到直线y=3减去半径1，为31.选A.2【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10.已知函数f(x)x1k，若存在区间[a,b]，使得函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[ab则实数k的取值范围为（）11()(0],,0D.A.B.C.44【【答案】D解析】a1a1k00【分析】根据函数的单调性可知，，即得，故可知ab1是fbb1b1b1k方程x2xk0的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．【详解】根据函数的单调性可知，，fbb1a1a1k0即可得到，14k0所以，14k0解得．故选：D．【点睛】关键点睛：利用函数的单调性以及一元二次方程的根与系数的关系是解决本题的关键.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.πsin__________.111.已知角α的终边与单位圆交于点P,y，则221【答案】##0.52【【解析】分析】由三角函数定义得到1cos，再由诱导公式求出答案.212π212cossincos【详解】由三角函数定义得，由诱导公式得.1故答案为：2aSa1，则S6Sn的前项和，若12.记为数列_____________．nnnn【【答案】63解析】Sa1S2n11，两式相减，整理得到n12an1n【分析】首先根据题中所给的，类比着写出，nn从而确定出数列为等比数列，再令n1，结合1,Sa1的关系，求得，之后应用等比数列的求和an11S公式求得的值.6Sa1，可得n1S2n11，【详解】根据nnan12n12aan12an两式相减得，即，nn1时，Sa2a1，解得a11，当111所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列，an26)所以S663，故答案是63.12点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令n1，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.xR,ax22xa0为假命题的a的取值范围是______13.若命题“对任意【【答案】a1解析】【分析】写出全称量词命题的否定，xR,ax22xa0a0a0a0为真命题，分，和三种情况，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得xR,ax22xa0为真命题，x0，有解，满足要求，当a0时，不等式为2a0a0ax22xa0，此时当若时，若必有解，满足要求，a044a20，解得0a1，，则综上，a的取值范围为a1.故答案为：a1fxAxsinxA0的最大值为2，则Afx的一个对称中心为1_4.若函数________，______π,0【答案】①.3②.（答案不唯一）3【【解析】分析】根据辅助角公式对函数进行化简，再根据最大值求出A，最后利用余弦型函数求出对称中fx心.【详解】由1（fAxsinxA21x，其中tan，A又函数的最大值为2，则A212，fx3π又A0，则A3，tan，不妨取，36π6fx2cosx故，πππ则的对称中心满足π，kZfxxxπkZ，解得，，623π即的对称中心为π,0kZ，，fx3π则的一个对称中心可为：，fx,03π,0故答案为：3，（答案不唯一）3yfx，若在其定义域内存在，使得xxfx1fx成立，则称函数具有性质P.15.对于函数000（1）下列函数中具有性质P的有___________.2x22fx①0,2πfxxx②③④1xfx푥∈(0,+∞)）xfxx2）若函数fxaxa（具有性质P，则实数的取值范围是___________.【【答案】解析】①.①②④②.0或ae．1112x+22x+0，可判断；由sinx=有解，可判断是否具有性质P；令【1）令，由xxx11yx1,y=，此方程无解，由此可判断；由两图象在有交点可判断；xx1gxxx，求导函数，分析导函数的符号，得所令函数的单（2）问题转化为方程xx有根，令aa调性及最值，由此可求得实数的取值范围．1x0fx【详解】解：（1）在时，有解，即函数具有性质P，x12x+22令∵，即2x222x10，x880fx2x22，故方程有一个非0实根，故具有性质P；1的图象与有交点，fxsinxx[02]yx1故sinx=有解，故fxsinxx[0]具有性质P；x111x+fxx令=，此方程无解，故푥∈(0,+∞)）不具有性质P；xxx111令x1，则由yx,y两图象在x有交点，所以有根，所以xxx具有性质P；fxx1综上所述，具有性质P的函数有：①②④；12）fxaxxx，方程a0（具有性质P，显然有根，a1令gxxxg'xx，令g'xx0x，则，解得，e111当时，x0，所以gx在，上单调递减，当时，'x>0，所以gx在1xg'x>geee1，上单调递增，e1111gxg所以，eeee111所以gxxx的值域[，+∞，eae解之可得：0或ae．故答案为：①②④；0或ae．【点睛】方法点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在VABC中，sinA2sinB，b2．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使VABC存在且唯一确定，并解决下面的问题：1）求角B的大小；（（2）求VABC的面积．条件①：c4；条件②：b2a2c22ac；条件③：aBbsinA．B【答案】（1）选②或③，；4（【【2）VABC的面积为1.解析】1）选①，利用三边关系可判断VABC不存在；选②：利用余弦定理可求得角B的值；选③：利用正弦定理可求得tanB的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；cVABC（【2）利用余弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积．小问1详解】解：因为sinA2sinB，b2，则ab2.abc，则VABC选①：因为c4，则不存在；选②：因为b2a2c22ac，则a2c2b22ac，a2c2b22由余弦定理可得BB0,B，则；42ac2aBbsinA，则sinABsinAsinB，B0,，则sinA0，sinBB0A、，故tanB1，从而B.4【小问2详解】Ba22，由余弦定理可得b2a2c22acB解：因为，，b，4112即c222c20，解得c2，因此，acsinB221.222S{}nSa20，数列푏是公比大于1的等比数列，且b23b17.已知是等差数列푎的前项和，，n푛5푛6bb12.42（1）求数列{푎}푏}和的通项公式；푛푛Snncncn（2）设，求使取得最大值时的值.na2n2b2n【（答案】（1），nn2）或34【【解析】n푎}的通项公式，再求푛1）根据等差数列的通项及前项和公式求出首项与公差，即可求出数列出数列푏}的首项与公比，即可得푏}푛的通项公式；푛2）先求出的通项，再利用作差法判断数列的单调性，根据单调性即可得出答案.c（【n小问1详解】设等差数列푎}的公差为d，푛54S5ad2051ad2，解得2则，1aa10d20111a2n2n所以，qq设等比数列푏}的公比为，푛2bq21q5b211则，解得，q2bq31q121b2nn所以；【小问2详解】2n2n由（1）得Snnn，2Snnn1ncn则，2nnn1nn1nn2n1n，2n12n2n1n1,2cn1cccc当时，，n123当n3时，n4cccc4，n1n3cccccn当时，，n1n45所以当n3或4时，取得最大值.cnπ32f(x)6cosxsin(x)18.已知函数．6f(x)的最小正周期和单调增区间；（1）求π5π,]（【2）若函数yf(x)a在x[存在零点，求实数a的取值范围．1212πππ,πkZπ答案】（1），63（2）0,3【【解析】π6fx3sin2x1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；π6aπ5πxπsin2x,2x上有解，以（2）根据题意转化为方程在为整体，结合正弦函数图312126象运算求解.【小问1详解】33π3621f(x)6xsinx6xsinxx对于函数222332331cos2x3212π62sin2x3fx3sinxcosx3cosx3sin2xcos2x3sin2x，2222πf(x)的最小正周期为Tπ所以函数，2πππππ-+2π£2x-£+2,kÎZ，则-+π£x£+,kÎZ，令26263πππ,πkZf(x)∴【令函数的单调递增区间为.63小问2详解】ππsin2x6ayf(x)a0，即3sin2xa0，则，63π5π1212πsin2x6aπ5πxyf(x)a在x,存在零点，则方程在,上有解，∵31212π5π1212π2ππ6x,2xsin2x若∴时，则，可得，63a01，得0a33的取值范围是3．a故实数ax2x119.1.已知函数fx，a0.ex（（【1）讨论函数的单调性；fxfx在区间上有且仅有一个零点.a02）当时，求证：函数答案】（1）当a0时，的单调递减区间为fx，单调递增区间为,2；1a1afx的单调递减区间为,,2a0当时，，，单调递增区间为.（【【2）证明过程见解析解析】a1）求出导数，然后通过对分情况讨论，研究导数的符号研究函数的单调性；（2）结合第一问的结果，判断出函数在上的单调性，然后结合端点处的函数值的符合证明0,1【小问1详解】ax22ax2axx2fx，exexx2当a0时，fx，由fx0得：x2，ex由fx0，得：x2fx的单调递减区间为，单调递增区间为,2，故此时gxaxx20푥=−<0x2或1a0当时，令得：푎1gx0由x2fx0，此时得：得：a1由gx0xfx0，此时或x2a1a1a故此时的单调递减区间为,，，单调递增区间为,2fx综上：当a0时，的单调递减区间为，单调递增区间为,2；fx1a1afx,,2a0当【时，的单调递减区间为，，单调递增区间为.小问2详解】11afx,2,2，所以fx在a0由（1）可知，当时，的单调递增区间为，而aaf010f0上单调递增，又，e所以f0f0fx在区间上有且仅有一个零点，由零点存在性定理可得：：函数0.已知函数fxexsinx2x2.yfx在点f(0))处的切线方程；（（1）求曲线2）求在区间[上的最大值；fxfxxaex对xR恒成立，写出的最大整数值，并说明理由.aa（【（3）设实数使得yx答案】（1）sin1e2）2fx（【【3）2，理由见解析解析】1）求出函数在x0处的导数，即切线斜率，求出f(0)，即可得出切线方程；（（2）求出函数在区间[上的单调性，求出最值即可；xxasinxxR上恒成立.构造函数xsinx3）将不等式等价转化为在，利用导数求出函exex数的单调性和最小值，进而得证.【小问1详解】因为fxexsinx2x，所以fxexsinxx2，则f(0)1，又f(0)0，yfx在点f(0))处的切线方程为yx.所以曲线【小问2详解】gxfxexsinxx2令，则gx2exx，当x[时，g(x)0，gx在[上单调递增.因为所以g(0)10，gesin1cos120，0g(0)0，使得.x(x)f(x)0，fx所以当时，单调递减；0x(0f(x)0，fx当时，单调递增，sin1ef1esin12e21f2又1，，sin1e所以f2fx.【小问3详解】a满足条件的的最大整数值为2.理由如下：x不等式fxxaexasinx恒成立等价于恒成立.exx令xsinx，exx当x0时，0，所以(x)1恒成立.exxx1当x0时，令hx，h(x)0，hx，exex(x)与h(x)的情况如下：hx1)(0h(x)1h(x)e1e所以h1xh(x)0hxh(x)，且无限趋近于0，，当趋近正无穷大时，，1h(x),0所以的值域为e因为sinx[，所以(x)的最小值小于1且大于2.a所以的最大整数值为2.N*a,1ij,i,jj21.已知数列푎记集合TSi,jSi,jii1푎}2,3，列出集合T（（1）对于数列{：的所有元素；Si,j1024？若存在，求出一组符合条件的i,j；若不存푛a2n是否存在i,jN*2）若，使得n在，说明理由；a2n2把集合TB:b,b,,b,.b2020（，3）若中的元素从小到大排列，得到的新数列为若n12mmm求的最大值.--------------------)免费领取的读者可无视本招募广告）--------------------微信公众号：高三最新试题2025届高考试卷教辅资料VIP招募正式开启对于各位老师和童鞋来说，最宝贵的是时间，无需网上翻箱倒柜的到处搜罗试卷&节省大量的时间和精力，把它们用来巩固自己的薄弱点，绝对是最划算的事。按照公众号各位朋友的建议，公众号内分享的试卷无水印不可打印，于是搭建了这个2025届试卷教辅资料VIP最新无水印冲刺阶段的试卷资料(绝大部分是PDF版试题+答案+解析+听力)VIP迎有需求的老师和同学加入这个大家庭。VIP会员群的服务内容经过三年的实践，调整完善了VIP会员群的内容，即以本公众号(高三最新试题)发布的试卷资料为基础PDF版试卷及其相关备考资料。具体内容主要包括以下:1234567、精选全国各地名校最新期初、月考、期中期末(各地区都有)、精选全国各地最新一模、二模、三模()、精选全国各地联考名校(各地区都有)全球数理化高中联赛()国内数理化联赛、精选市面出版适用2025高考的高中全科无