山东省威海市2024年中考数学试卷含真题解析

山东省威海市2024年中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）1．一批食品，标准质量为每袋454g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（）A．+7 B．﹣5 C．﹣3 D．10【答案】C【解析】【解答】解：∵|10|>|+7|>|-5|>|-3|，

∴最接近标准质量的是C.故答案为：C.【分析】比较各数的绝对值的大小，选择绝对值最小值即可求解.2．据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（）A．1×10﹣5 B．1×10﹣6 C．1×10﹣7 D．1×10﹣8【答案】B【解析】【解答】解：百万分之一=0.000001=1×10-6.故答案为：B.【分析】利用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|≤9，n由原数左边起第一个不为0数字前面的“0”的个数决定.3．下列各数中，最小的数是（）A．﹣2 B．﹣（﹣2） C． D．【答案】A【解析】【解答】解：∵-（-2）=2，

∴，

∴最小的数是-2.故答案为：A.【分析】利用“正数大于负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小”把这几个数从小到大排列，即可求解.4．下列运算正确的是（）A．x5+x5＝x10 B．m+n2•C．a6÷a2＝a4 D．（﹣a2）3＝﹣a5【答案】C【解析】【解答】解：A、x5+x5=2x5，故A错误；

B、，B错误；

C、a6÷a2=a4，C正确；

D、(-a2)3=-a6，D错误.

故答案为：C.

【分析】利用“合并同类项、分式的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方”法则逐项进行计算即可.5．下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A、三视图如下图，A不符合题意；

B、三视图如下图，B不符合题意；

C、三视图如下图，C不符合题意；

D、三视图如下图，D不符合题意.

故答案为：D.

【分析】根据小正方体组合体的三视图逐项判断即可.6．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵CE⊥AO，ED⊥OB，∠AOB=90°，

∴∠OCE=∠ODE=∠AOB=90°，

∴四边形OCED是矩形，

∴，

∴，

∵点C是AO的中点，AO=OE，

∴2CO=OE，

在中，，

∴∠COE=60°，∴∠BOE=∠AOB-∠COE=90°-60°=30°，

设扇形AOB的半径为r，

∴，，

∴点P落在阴影部分的概率为.

故答案为：B.【分析】易证四边形OCED是矩形，从而得，求出，接下来利用特殊角的三角函数值求出∠COE=60°，从而得∠BOE=30°，设扇形AOB的半径为r，根据扇形的面积公式求出阴影部分、扇形AOB的面积，最后利用概率公式进行计算即可.7．定义新运算：①在平面直角坐标系中，{a，b}表示动点从原点出发，沿着x轴正方向（a≥0）或负方向（a＜0）平移|a|个单位长度，再沿着y轴正方向（b≥0）或负方向（b＜0）平移|b|个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作（﹣2，1）．②加法运算法则：{a，b}+{c，d}＝{a+c，b+d}，其中a，b，c，d为实数．若{3，5}+{m，n}＝{﹣1，2}，则下列结论正确的是（）A．m＝2，n＝7 B．m＝﹣4，n＝﹣3C．m＝4，n＝3 D．m＝﹣4，n＝3【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，得3+m=-1，5+n=2，

解得m=-4，n=-3.

故答案为：B.

【分析】根据题意中的运算法则可得3+m=-1，5+n=2，解方程即可.8．《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是（）A． B． C． D．【答案】C9．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G．下列结论错误的是（）A．若，则EF∥BDB．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，则EF∥BDC．若EF∥BD，CE＝CF，则∠EAC＝∠FACD．若AB＝AD，AE＝AF，则EF∥BD【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，

A、∵，

∴，

∵∠ECF=∠BCD，

∴，

∴∠CEF=∠CBD，

∴EF∥BD，A正确；

B、∵AE⊥BC，AF⊥CD，AE=AF，

∴AC平分∠BCD，∠AEC=∠AFC=90°，

∴∠ACB=∠ACD，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∴∠ACD=∠DAC，

∴DA=DC，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD=90°，

在和中，

，

∴，

∴CE=CF，

又∵AE=AF，

∴AC垂直平分EF，

∴∠OGF=90°，

∴∠OGF=∠AOD，

∴EF∥BD，B正确；

C、∵CE=CF，

∴∠CEF=∠CFE，

∵EF∥BD，

∴∠CBD=∠CEF，∠CDB=∠CFE，∠AOD=∠OGF，

∴∠CBD=∠CDB，

∴CB=CD，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD=∠OGF=90°，

又∵CE=CF，

∴AC垂直平分EF，

∴AE=AF，

∴∠EAC=∠FAC，C正确；

D、∵AB=AD，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

当AE=AF，且CE=CF时，有AC垂直平分EF，

∴要使EF∥BD，则需添加条件CE=CF，D错误.故答案为：D.【分析】根据平行四边形性质得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC.根据相似三角形的判定定理得，从而有∠CEF=∠CBD，由“同位角相等，两直线平行”证得EF∥BD，可对A作出判断；根据角平分线的判定定理得AC平分∠BCD，然后结合平行线的性质证出∠ACD=∠DAC，从而有DA=DC，进而得到四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质有∠AOD=90°，接下来利用证，得CE=CF，从而有AC垂直平分EF，得∠OGF=∠AOD=90°，由“同位角相等，两直线平行”证得EF∥BD，可对B作出判断；根据等腰三角形性质、平行线性质得∠CBD=∠CDB，∠AOD=∠OGF，从而有CB=CD，证出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得∠AOD=∠OGF=90°，从而有AC垂直平分EF，得AE=AF，进而求出∠EAC=∠FAC，可对C作出判断；

先证四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，当AE=AF，且CE=CF时，有AC垂直平分EF，所以要使EF∥BD，需添加条件”CE=CF“，可对D作出判断.10．同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y（km）与时间x（h）的函数关系．下列结论正确的是（）A．甲车行驶h与乙车相遇 B．A，C两地相距220kmC．甲车的速度是70km/h D．乙车中途休息36分钟【答案】A【解析】【解答】解：如图，D点表示乙车休息，E点表示两车相遇，F点表示乙车继续行驶，

∴乙车中途休息时间为：3-2=1（h），D错误；

在DE-EF时，乙车不动，甲车行驶，

∴甲车的速度为，C错误；

∴A、C两地相距4×60=240（km），B错误；

设乙车休息前的速度为xkm/h，

∴2×60+（40-20）=2x，

解得x=70km/h，即乙车休息前的速度为70km/h，

设甲车行驶yh与乙车相遇，

∴60y=70×2+20，

解得，A正确.

故答案为：A.【分析】根据函数图象得D、E、F三点所包含的信息，从而有乙车休息时间，在DE-EF时，乙车不动，甲车行驶，从而得甲车的速度，进而有A、C两地的距离，设乙车休息前的速度为xkm/h，观察函数图象得关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，即可得乙车休息前的速度，接下来设甲车行驶yh与乙车相遇，观察函数图象，列出关于y的一元一次方程，解方程求出y的值，即可得两车相遇的时间.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）11．计算：．【答案】【解析】【解答】解：.故答案为：.【分析】先利用二次根式的乘法法则进行计算，再进行二次根式的化简，最后合并同类二次根式即可.12．因式分解：（x+2）（x+4）+1＝．【答案】（x+3）2【解析】【解答】解：(x+2）(x+4)+1=x2+6x+9=(x+3)2.故答案为：(x+3)2.【分析】先利用整式乘法的运算法则整理算式，最后利用完全平方公式进行因式分解.13．如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I．若∠EFG＝20°，则∠ABI＝.【答案】50°【解析】【解答】解：在正六边形ABCDEF中，，

∵AH∥FG，

∴∠GFA+∠FAH=180°，

∴∠EFG+∠BAI=∠EFA+∠FAB-（∠GFA+∠FAH）=120°+120°-180°=60°，

∵∠EFG=20°，

∴∠BAI=40°，

∵BI⊥AH，

∴∠AIB=90°，

∴∠ABI=90°-40°=50°.故答案为：50°.【分析】根据正多边形的性质、多边形内角和得∠EFA=∠FAB=120°，然后”两直线平行，同旁内角互补“得∠GFA+∠FAH=180°，从而有∠EFG+∠BAI=60°，进而求出∠BAI=40°，最后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABI的度数.14．计算：．【答案】-x-2【解析】【解答】解：.故答案为：-x-2.【分析】先通分，再根据分式的加减法法则进行计算即可.15．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b（a≠0）与双曲线y2（k≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围．【答案】-1≤x＜0或x≥2【解析】【解答】解：∵两函数交点为A（-1，m），B（2，-1），

∴满足y1≤y2的x的取值范围是-1≤x<0或x≥2.故答案为：-1≤x＜0或x≥2.【分析】根据两函数的图象以及交点横坐标即可得出答案.16．将一张矩形纸片（四边形ABCD）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C'处，折痕为MN，点D落在点D'处，C'D'交AD于点E．若BM＝3，BC'＝4，AC'＝3，则DN＝．【答案】【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，BC=AD，

∵BM=3，BC'=4，

∴根据勾股定理得，

∵AC'=3，

∴CD=AB=AC'+BC'=3+4=7，BM=AC'，

∵折叠的性质，

∴∠EC'M=∠C=∠D'=∠D=90°，CM=C'M=5，C'D'=CD=7，DN=D'N，

∴AD=BC=BM+CM=3+5=8，

∵∠EC'M=90°，∠A=90°，

∴∠AC'E+∠BC'M=∠AC'E+∠AEC'=90°，

∴∠BC'M=∠AEC'，

在和中，

，

∴，

∴C'E=C'M=5，AE=BC'=4，

∴D'E=C'D'-C'E=7-5=2，

设DN=D'N=x，

∴EN=AD-AE-DN=8-4-x=4-x，

在中，根据勾股定理得，x2+22=(4-x)2，

解得，即.故答案为：.【分析】根据矩形的性质、折叠的性质，利用勾股定理求出CM=C'M=5，AB=CD=C'D'=7，BC=AD=8，∠A=∠B=∠C=∠D=∠EC'M=∠D'=90°，接下来利用”一线三垂直“模型得，从而有C'E=C'M=5，AE=BC'=4，求出D'E=2，设DN=D'N=x，得EN=4-x，利用勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值即可.三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦•时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦•时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦•时．求一盏A型节能灯每年的用电量．【答案】解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦•时，则一盏A型节能灯每年的用电量为（2x﹣32）千瓦•时，根据题意得：，解得：x＝96，经检验，x＝96是所列方程的解，且符合题意，∴2x﹣32＝2×96﹣32＝160（千瓦•时），答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦•时．【解析】【分析】设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦•时，则一盏A型节能灯每年的用电量为（2x﹣32）千瓦•时，根据A、B型节能灯的数量相同列出关于x的分式方程，解分式方程，经检验得x的值，从而代入求2x-32的值即可求解.18．为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定6个及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了20名男生2至6月份的测试成绩．其中，2月份测试成绩如表1，6月份测试成绩如图1（尚不完整）．整理本学期测试数据得到表2和图2（尚不完整）．表1：2月份测试成绩统计表个数0136810人数484121表2：本学期测试成绩统计表平均数/个众数/个中位数/个合格率2月2.6a120%3月3.13425%4月44535%5月4.555540%6月b86c请根据图表中的信息，解答下列问题：（1）将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；（2）从多角度分析本次引体向上训练活动的效果；（3）若将此活动在邻校八年级推广，该校八年级男生按400人计算，以随机抽查的20名男生训练成绩为样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数．【答案】（1）解：6月测试成绩中，引体向上3个的人数为20-4-1-6-4＝5（人），补充统计图如下：∴，，

根据表2可得a＝1；（2）解：本次引体向上训练活动的效果明显，理由如下：从平均数和合格率看，平均数和合格率逐月增加，从中位数看，引体向上个数逐月增加，从众数看，引体向上的个数越来越大（答案不唯一，合理即可）；（3）解：400×55%＝220（人），答：估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数约220人．【解析】【分析】（1）观察图1，用总人数减去引体向上个数不为3个的其他人数，从而求出引体向上3个的人数，进而补充完整图1，利用平均数、众数的定义求出b、a的值，根据题意计算出合格率c；

（2）可从平均数、众数、中位数、合格率入手进行分析；

（3）根据样本估计总体，用样本中的合格率×八年级男生人数即可求解.19．某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）．课题测量某护堤石坝与地平面的倾斜角成员组长：×××ㅤㅤ组员：×××，×××，×××测量工具竹竿，米尺测量示意图说明：AC是一根笔直的竹竿．点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离．∠α是要测量的倾斜角测量数据…………（1）设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．（2）根据（1）中选择的数据，写出求∠α的一种三角函数值的推导过程．（3）假设sinα≈0.86，cosα≈0.52，tanα≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为▲．【答案】（1）解：需要的数据为：AB＝a，AC＝c，DE＝e，CD＝f；（2）解：过点A作AM⊥CB于点M，

∴∠AMB＝90°，∵DE⊥CB，

∴∠DEC=∠AMB=90°，∴DE∥AM，∴△CDE∽△CAM，∴，即，∴，∴；（3）①【解析】【解答】解：（3）解：∵，∴按键顺序为2ndF，sin，0，•，8，6，＝，

故答案为：①．

【分析】（1）根据题意，选择需要的数据即可；

（2）过点A作AM⊥CB于点M，根据垂直的定义得∠DEC=∠AMB=90°，由“同位角相等，两直线平行”得DE∥AM，从而证出△CDE∽△CAM，根据相似三角形的性质得，代入求出，最后根据正弦的定义求出sinα的值即可；

（3）由（2）有，即可确定计算器的按键顺序.20．（1）感悟ㅤ如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB＝AE，BC＝DE．求证：∠BAC＝∠EAD．（2）应用ㅤ：①如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不写作法，保留作图痕迹）；②如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE＝∠BAC，且DE＝AB（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】（1）解：如图1，过点A作AH⊥BE于点H，

∵AB＝AE，

∴AH平分∠BAE，BH=EH，

∴∠BAH＝∠EAH，

∵BC＝DE，

∴CH=DH，

∴AH垂直平分CD，

∴AC=AD，

∴AH平分∠CAD，

∴∠CAH＝∠DAH，

∴∠BAC＝∠DAE；（2）解：①如图2，点D，E即为所求；

②如图3，点D，E即为所求．

【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥BE于点H，根据等腰三角形的“三线合一”得AH平分∠BAE，BH=EH，从而有∠BAH=∠EAH，CH=DH，进而求出AH垂直平分CD，根据垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”的AH平分∠CAD，利用角平分线的定义得∠CAH＝∠DAH，最后根据角的和差关系即可得证；

（2）①由（1）可知，以A为圆心，AB、AC分别为半径作圆交BC于点E、D即可求解；

②延长AC，在延长线上取一点D，使DC=AC，接下来作∠CDE=∠BAC即可求解.21．定义ㅤ我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离AB＝a﹣b（a≥b）．特别的，当a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a﹣0．当a＜0时，表示数a的点与原点的距离等于0﹣a．应用ㅤ如图，在数轴上，动点A从表示﹣3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？（2）求点A，B到原点距离之和的最小值．【答案】（1）解：设经过t秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度，根据题意，得：|（-3+t）-（12-2t）|＝3，解得：t＝4或t＝6，答：经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；（2）解：设经过x秒，点A，B到原点距离之和为y，根据题意，得：y＝|-3+x|+|12-2x|，当x≤3时，y＝|-3+x|+|12-2x|＝3-x+12-2x＝-3x+15，

∵-3<0，

∴y随x的增大而减小，∴当x＝3时，y值最小，为6，当3＜x<6时，y＝|-3+x|+|12-2x|＝-3+x+12-2x＝-x+9，当x≥6时，y＝|-3+x|+|12-2x|＝-3+x-12+2x＝3x-15，

∵3>0，

∴y随x的增大而增大，∴当x＝6时，y值最小，为3，综上所述，点A，B到原点距离之和的最小值为3．【解析】【分析】（1）设经过t秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度，根据题意列出关于t的方程，解方程求出t的值即可求解；

（2）设经过x秒，点A，B到原点距离之和为y，先根据题意表示出y，再分类讨论，利用一次函数的增减性求y的最小值.22．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝CD．点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F．∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H＝45°．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BE＝2，CE＝4，求AF的长．【答案】（1）证明：如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵BC＝CD，

∴，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AF，

∴∠OCE＝∠F，∵EH平分∠FEG，

∴2∠FEH＝2∠GEH=∠FEG，∵∠GEH＝∠H+∠BAC，∠FEG＝∠F+∠BAF，∴2∠H+2∠BAC＝∠F+∠BAF，

∵∠BAF=2∠BAC，∴2∠H＝∠F，

∵∠H=45°，

∴∠F=90°，∴∠OCE＝∠F＝90°，即OC⊥EF，∵OC是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：由（1）得∠OCE=∠OCB+∠BCE=90°，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°，

∴∠ACO=∠BCE，又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠BCE＝∠OAC，∵∠CEB＝∠CEA，∴△BCE∽△CAE，

∵BE=2，CE=4，∴，∴CE2＝BE•AE，即16＝2AE，解得AE＝8，∴AB＝8-2＝6，在Rt△ABC中，AB＝6，，

根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2，即5BC2=36，

解得，∴，∵∠F＝∠ACB＝90°，∠FAC＝∠BAC，∴△FAC∽△CAB，∴，∴．【解析】【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质、圆周角定理得得∠OAC＝∠DAC，从而有OC∥AF，进而得∠OCE＝∠F，根据角平分线的定义、三角形外角的性质得2∠H+2∠BAC＝∠F+∠BAF，从而有2∠H＝∠F=∠OCE=90°，最后根据切线的判定定理得证；

（2）根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，从而得∠ACO=∠BCE，根据等腰三角形的性质得∠ACO＝∠OAC，从而有∠BCE＝∠OAC，根据相似三角形的判定定理证得△BCE∽△CAE，由相似三角形的性质得，从而有CE2＝BE•AE，进而求出AE=8，然后求出AB=6，接下来利用勾股定理得5BC2=36，解方程求出BC的长，从而求AC的长，根据相似三角形的判定定理得△FAC∽△CAB，由相似三角形的性质得，最后代入计算出AF即可.23．如图，在菱形ABCD中，AB＝10cm，∠ABC＝60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF＝60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF．点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止．设△BEF的面积为ycm2，点E的运动时间为x秒．（1）求证：BE＝EF；（2）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）求x为何值时，线段DF的长度最短．【答案】（1）证明：设CD与EF相交于点M，∵四边形ABCD为菱形，

∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE，AB∥CD，

∴∠ABC=∠DCF，∵∠ABC＝60°，∴∠DCF＝60°，

∵∠DEF=60°，

∴∠DEF=∠DCF，在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBE＝∠CDE，BE＝DE，∵∠DMF＝∠DEF+∠CDE＝∠DCF+∠CFE，又∵∠DEF＝∠DCF，∴∠CDE＝∠CFE，∴∠CBE＝∠CFE，∴BE＝EF；（2）解：过点E作EN⊥BC于N，∴∠ENC＝90°，∵BE＝EF，∴BF＝2BN，∵四边形ABCD为菱形，AB=10，

∴ВС＝АВ＝10，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ECN＝60°，ВС＝АВ＝AC=10，∵CE＝2x，

∴，，∴BN＝BC-CN＝10-x，∴BF＝2（10-x），

∴，∵0＜2x≤10，∴0＜x≤5，

∴；（3）解：∵BE＝DE，BE＝EF，∴DE＝EF，∵∠DEF＝60°，∴△DEF为等边三角形，∴DE＝DF=EF，∴BE＝DF，∴线段DF的长度最短，即BE的长度最短，当BE⊥AC时，BE取最短，如图，由（2）有△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝AC＝10，∵BE⊥AC，

∴，

∵CE=2x，

∴2x=5，

解得，∴当时，线段DF的长度最短．24．已知抛物线y＝x2+bx+c（b