山东省泰安市2024年中考数学试卷含真题解析

山东省泰安市2024年中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分)1．的相反数是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：的相反数是故答案为：C.【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可求解.2．下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A、，不能合并，原选项错误，不合题意；

B、，原选项错误，不合题意；

C、，原选项错误，不合题意；

D、，原选项正确，符合题意.故答案为：D.【分析】本题考查整式运算，熟练掌握整式加减，单项式除以单项式，多项式乘以多项式，幂的乘方，积的乘方等知识，是解题关键，根据法则对选项逐一判断，可得答案.3．下面图形中，中心对称图形的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【解答】解：第1个、第2个、第3个是中心对称图形，共3个.故答案为：C.【分析】本题考查中心对称图形的概念，根据概念及特点可得答案.4．据泰山景区2024年1月4日消息，2023年泰山景区累计接待进山游客超860万人次，同比增长，剧新了历年游客是最高纪是.数据860万用科学记数法表示为（）A． B． C． D．8.【答案】D【解析】【解答】解：860万=8600000=8.60×106故答案为：D.【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.5．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵等边三角形ABC

∴∠ABC=∠ACB=60°∵直线l∥m

∴∠EBC+∠DCB=180°

∴∠ABE+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°

即21°+60°+60°+∠ACD=180°

∴∠ACD=39°

故答案为：B.【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键；由等边三角形ABC得∠ABC=∠ACB=60°；根据直线l∥m得∠EBC+∠DCB=180°，可得∠ACD=39°.6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，则∠A的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：∵AB是的直径

∴∠C=90°

∵

∴∠ABD=∠AOD=25°

∵BA平分

∴∠ABC=∠ABD=25°

∴∠A=90°-∠ABC=65°故答案为：A.【分析】由直径所对的圆周角是直角得∠C=90°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠ABD=∠AOD=25°，由角平分线的定义得∠ABC=∠ABD=25°，最后根据直角三角形两锐角互余可得∠A=65°.7．关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有实数根

∴=(-3)2-4×2k≥0

解得k≤故答案为：B.【分析】本题考查一元二次方程的根的情况，由根的判别式与0的关系决定；当＞0，一元二次方程有两个不相等的实数根；当=0，一元二次方程有两个相等的实数根；当＜0，一元二次方程无实数根；当≥0，一元二次方程有实数根，据此可得答案.8．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若，试向买甜果苦果各几个?若设买甜果个，买苦果个，可列出符合题意的二元一次方程组：根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（）A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱【答案】D【解析】【解答】解：设买甜果个，买苦果个，由知，x+y=1000是购买总数的数量关系，则另一方程为购买总价的数量关系，可知为甜果的单价，为苦果的单价，故答案为：D.【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理清题目的数量关系，购买总数，购买总价，可得答案.9．如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线MN分别与BC，AC交于点和点；以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧、两弧交于点，作射线AP.若射线AP恰好经过点，则下列四个结论：①；②AP垂直平分线段BF；③CE=2BE；④.其中，正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】【解答】解：由题意知：MN为线段AC的垂直平分线，AP为∠BAC的角平分线，

∴EA=EC，FA=FC=AC，∠EAC=∠EAB=∠BAC，

∴∠EAC=∠C=∠EAB

∵∠ABC=90°

∴∠BAC+∠C=90°

∴∠C=30°，故①正确；

∴AB=AC=AF，

∴AP垂直平分BF，故②正确；

∴BE=FE

∴CE=2BE，故③正确；

过F作FH⊥BC于H，如图

则FH为的中位线

∴FH=AB

∴.

即，故④正确，

正确结论的个数有4个.

故答案为：D.

【分析】本题考查尺规作图—线段垂直平分线，角平分线，30°直角三角形的性质，等腰三角形的性质，中位线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题关键；由题知：MN为线段AC的垂直平分线，AP为∠BAC的角平分线，证∠C=30°，AP垂直平分BF，CE=2BE，可知①②③正确，过F作FH⊥BC于H，可得FH=AB，，④正确，可得答案。10．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合.若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：如图，由题知：OA=OO'=AO'=2∴是等边三角形

∴，

∴

故答案为：A.【分析】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质及面积，熟练掌握扇形面积公式（，n为圆心角度数，r为半径）及等边三角形面积公式（，a为等边三角形边长）是解题关键；由题知是等边三角形，OA=OO'=AO'=2，得，，得.11．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2.则下列结论：①2a+b=0；②方程一定有一个根在-2和-1之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④.其中，正确结论的个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】【解答】解：如图可知：c=2，对称轴为直线x=1，∴，则2a+b=0，故①正确；

由图象知：二次函数与x轴有2个交点，则对应方程有2个根，一个根在2和3之间，由对称性知另一根在-1和0之间，故②错误；

二次函数与直线y=有2个交点，则对应方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；

∵二次函数与x轴的另一交点在-1和0之间

∴x=-1，y=a-b+2＜0

∴b-a＞2，故④错误；

综上，正确的有2个.

故答案为：B.【分析】本题考查二次函数的图象与性质，与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，与x轴，y轴的交点，与一元二次方程关系等知识是解题关键；根据图象得c=2，对称轴为直线x=，与x轴有2个交点，则对应方程有2个根，一个根在2和3之间，由对称性知另一根在-1和0之间，可知②④错误，①正确；方程的根可理解为两个函数的交点问题，可知③正确，可得答案.12．如图，菱形ABCD中，，点是AB边上的点，，点是BC上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结AG.当点在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（）A．2 B． C． D．4【答案】C【解析】【解答】解：如图所示，过点E作EP⊥BC于P，过点P作PK⊥AB于K，连接PG并延长，过点A作AH⊥GP于H∴∠EPF=90°

∴∠EPF+∠EGF=180°

∴点E、G、F、P四点共圆

∴∠EPG=∠EFG=30°

∵∠B=60°，BE=8

∴∠BEP=30°，BP=4，EP=

∴∠BEP=∠EPG，PK=

∴AB∥PH

∴AH=PK=

∴AG≥AH

∴线段AG的最小值是

故答案为：C.【分析】本题考查菱形的性质，30°直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形性质，平行线的判定与性质，垂线段最短等知识，熟练掌握以上知识，添加正确的辅助线是解题关键。过点E作EP⊥BC于P，过点P作PK⊥AB于K，连接PG并延长，过点A作AH⊥GP于H，证点E、G、F、P四点共圆

∴∠EPG=∠EFG=30°，证AB∥PH，得AH=PK=，由AG≥AH，线段AG的最小值是.二、填空题(本大题共6小题、满分24分.只要求填写最后结果,每小题填对得4分)13．单项式的次数是.【答案】3【解析】【解答】解：单项式的次数是1+2=3故答案为：3.【分析】本题考查单项式的次数，单项式中所有字母指数的和是单项式的次数，据此可得答案.14．某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动.小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颖准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是.【答案】【解析】【解答】解：小明和小颖随机选择一本书籍的所有情况共有9种，其中，小明和小颖恰好选中书名相同的书的情况有2种，则小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是.故答案为：.【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率，掌握列表法或树状图法求概率的方法是关键.15．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度.他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机.如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米(图中点A，B，C，P在同一平面内).那么大汶河此河段的宽AB为米.(参考数据：)【答案】74【解析】【解答】解：如图，过点P作PH⊥AB于H，过点C作CK⊥PH于K

∴∠PHB=∠B=∠CKH-90°

∴四边形CBHK为矩形

∴BC=KH，CK=BH

由题知：∠A=50°，∠PCK=63.6°，PH=60米，BC=12米

∴PK=PH-KH=48米，KH=12米

在中，tan∠A=tan50°=

∴AH=

在中，tan∠PCK=tan63.6°=

∴CK=

∴BH=

∴AB=AH+BH=+50+24=74米

则大汶河此河段的宽AB为74米.

故答案为：74.

【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角，明确已知条件，添加正确的辅助线，找出线段之间的数量关系，准确应用锐角三角函数是解题关键；过点P作PH⊥AB于H，过点C作CK⊥PH于K得PH=60米，BC=KH=12米，CK=BH，PK=48米，解直角三角形tan∠A=得AH=；由tan∠PCK=得CK=，则可得AB.16．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是平方米.【答案】450【解析】【解答】解：设围成菜园的宽为x米，则长为（60-2x）米，根据题意得：

，

解得10≤x＜30

则菜园面积S=x（60-2x）=-2x2+60x=-2(x-15)2+450∴x=15时，菜园的最大面积是450平方米.

故答案为：450.【分析】本题考查二次函数的实际应用—面积问题，根据题意，设围成菜园的宽为x米，则长为（60-2x）米，结合所给范围及实际情况，可得10≤x＜30，由S=-2(x-15)2+450，可得x=15时，菜园的最大面积是450平方米.17．如图，AB是的直径，AH是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连结BD交AC于点，延长BD与AH相交于点.若，则AE的长为.【答案】【解析】【解答】解：∵AH为的切线

∴∠FAB=90°

即∠FAD+∠DAB=90°

∵AB为的直径

∴∠ADB=90°

∴∠DAB+∠B=90°

∴∠FAD=∠B

∵点D为的中点

∴=

∴∠DAC=∠B

∴∠FAD=∠B=∠DAC

∵DF=1，

∴，，

∴AD=2，DE=1

∴AE=故答案为：.【分析】本题考查圆的直径，切线性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题关键。由AH为的切线得∠FAD+∠DAB=90°；由AB为的直径得∠DAB+∠B=90°，由点D为的中点得∠DAC=∠B，得∠FAD=∠B=∠DAC，根据，得AD=2，DE=1，得AE=.18．如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”.按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍.【答案】12【解析】【解答】解：第（1）个“小屋子”中图形“○”个数是1个；“●”的个数是4个，4=2×1+2；

第（2）个“小屋子”中图形“○”个数是3个，1+2=3；“●”的个数是6个，6=2×2+2；

第（3）个“小屋子”中图形“○”个数是6个，1+2+3=6；“●”的个数是8个，8=2×3+2；

第（4）个“小屋子”中图形“○”个数是10个，1+2+3+4=10；“●”的个数是10个，10=2×4+2；

第（5）个“小屋子”中图形“○”个数是15个，1+2+3+4+5=15；“●”的个数是12个，12=2×5+2；

以此类推，第（n）个“小屋子”中图形“○”个数是1+2+3+4+5+6+···（n-1）+n=个，；“●”的个数是2n+2；

当小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍时，则=3（2n+2）；

解得n=12故答案为：12.【分析】本题考查图形规律及一元一次方程，找出图形规律是解题关键；由每个图形的“○”个数的变化得和“●”的个数的变化，则规律是第（n）个“小屋子”中图形“○”个数是1+2+3+4+5+6+···（n-1）+n=个，“●”的个数是2n+2，根据题意，列出方程即可得n值.三、解答题(本大题共7小题,满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)19．（1）计算：；（2）化简：.【答案】（1）解：

=7（2）解：

【解析】【分析】本题考查实数的混合运算及分式的化简，掌握特殊三角函数值，负整数指数幂，绝对值，二次根式的性质，因式分解的方法，完全平方公式，平方差等知识是解题关键。

（1）计算tan60°，=4，，，按实数运算法则计算即可；

（2）先通分，除法变乘法，因式分解，约分化简。20．某超市打算购进一批苹果.现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径(单位：)，并制作统计图如下：根据以上信息，解答下列问题：（1）统计量供应商平均数中位数众数甲8080b乙ma76则，，b=.（2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，供应商供应的苹果大小更为整齐。(填“甲”或“乙”)（3）超市规定直径(含)以上的苹果为大果.超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个?【答案】（1）80；79.5；83（2）甲（3）解：2000×=600（个）

答：大约有600个.【解析】【解答】解：（1）平均数m==80；

把乙组的数据按从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数是79和80，=79.5，则中位数a=79.5；

甲组数据中，83出现了3次，次数最多，则众数b=83；

故答案为：80；79.5；83；

（2）解：甲的方差==5.8；

乙的方差==18.4

∵5.8＜18.4

∴甲供应商的苹果大小更为整齐.

故答案为：甲；

【分析】本题考查统计图，平均数，中位数，众数，方差及意义，用样本估计整体等知识，熟练掌握以上知识是解题关键.

（1）从乙图，把数据按从小到大的顺序排列，可得a；根据求平均数公式可得m；从甲图可得众数b；（2）计算方差，越小越整齐，可得答案；

（3）计算出样本的大果百分数，可知总体的大果数量.21．直线与反比例函数的图像相交于点，与轴交于点.（1）求直线的表达式；（2）若，请直接写出满足条件的的取值范围；（3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积.【答案】（1）解：∵点A（-2，m），点B（n，-1）在反比例函数的图象上

∴-2m=-8，-n=-8

∴m=4，n=8

∴点A（-2，4），点B（8，-1）

∵点A（-2，4），点B（8，-1）在直线上

∴

解得：k=，b=3

∴直线（2）解：∵直线与反比例函数的图象交于点A（-2，4），点B（8，-1）

∴x＜-2，；

0＜x＜8，

∴，满足条件的的取值范围是x＜-2或0＜x＜8（3）解：∵直线

∴x=0，y=3

∴点C（0，3）

∵过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点

∴D的纵坐标为3，横坐标为

∴CD=

∴S△ACD=

∴的面积是.【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，函数与不等式的关系，与坐标轴的交点坐标，求三角形面积等知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键；

（1）由反比例函数可得A（-2，4），点B（8，-1），代入直线，得k=，b=3；可得直线；

（2）由函数图象可得x＜-2，；0＜x＜8，；则满足条件的的取值范围是x＜-2或0＜x＜8；

（3）由直线得点C（0，3），得CD=，得S△ACD=.22．随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间.某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品.已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍.求甲、乙两组各有多少名工人?【答案】解：设甲组有x名工人，乙组有（35-x）名工人.根据题意得：

解得：x=20

经检验，x=20是分式方程的解.

则35-x=15

答：甲组有20名工人，乙组有15名工人.【解析】【分析】本题考查分式方程的应用，由题意，理清数量关系是关键；设甲组有x名工人，乙组有（35-x）名工人，根据“乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍”列出方程，可得答案，注意检验.23．综合与实践为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动.（1）【探索发现】同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连结BG.EF与BG相交于点H.同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由.（2）【拓展延伸】同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF.将纸片展平，连结EG，FH，FG.同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”，即.请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由.【答案】（1）解：同学们的发现正确.

如图，过点E作EP⊥BC于P，则∠EPF=90°，∠PEF+∠EFP=90°

∵四边形ABCD为矩形

∴∠ABC=∠C=90°，四边形ABPE为矩形

∴∠EPF=∠C，∠CBG+∠BGC=90°，AB=EP

∵把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，

∴EF垂直平分BG

∴∠BHF=90°

∴∠CBG+∠EFP=90°

∴∠EFP=∠BGC

∴

∴

∴​​​​​​​（2）解：正确

由折叠知：AB=BG，∠1=∠2

∵平行四边形ABCD

∴CD=AB=BG

∵FG∥CD

∴，∠2=∠3

∴∠1=∠3

∴GF=GD

∴

∴.

则点恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”，【解析】【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是关键；

（1）过点E作EP⊥BC于P，∠EPF=90°，得∠EPF=∠C，AB=EP，证∠EFP=∠BGC，证，得，则；

（2）由折叠知AB=BG，∠1=∠2，由平行四边形得CD=AB=BG；由FG∥CD得，证GF=GD；可得.24．如图1，在等腰Rt中，，点D，E分别在AB，CB上，、连结AE，CD，取AE中点，连结BF.（1）求证：CD=2BF，CD⊥BF；（2）将△DBE绕点顺时针旋转到图2的位置.①请直接写出BF与CD的位置关系；②求证：.【答案】（1）证明：∵AB=CB，∠ABE=∠CBD=90°，EB=DB

∴，∠ABF+∠FBE=90°

∴AE=CD，∠BAE=∠BCD

∵F为AE的中点

∴AE=2BF，AF=BF

∴CD=2BF，

∠BAE=∠ABF

∴∠BCD+∠FBE=90°

∴CD⊥BF（2）解：①BF⊥CD

②如图，延长BF到M，使BF=FM，连接AM，则BM=2BF

∵F为AE中点

∴EF=AF

∵∠EFB=∠AFM

∴

∴EB=AM，∠MAF=∠BEF

∴AM∥BE

∴∠MAB+∠ABE=180°

∵∠ABE+∠DBC=180°

∴∠MAB=∠DBC

∵BE=BD

∴AM=BD

∵AB=BC

∴

∴BM=CD

∴CD=2BF【解析】【解答】解：（2）①如图，延长BF到M，使BF=FM，连接AM，则BM=2BF，过A作AP⊥CD于P，

∴∠APC=∠ABC=90°

∴∠BCD=∠BAP

∵F为AE中点

∴EF=AF

∵∠EFB=∠AFM

∴

∴EB=AM，∠MAF=∠BEF

∴AM∥BE

∴∠MAB+∠ABE=180°

∵∠ABE+∠DBC=180°

∴∠MAB=∠DBC

∵BE=BD

∴AM=BD

∵AB=BC

∴

∴∠ABM=∠BCD

∴∠ABM=∠BAP

∴BF∥AP

∴BF⊥CD；

【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质与判定，熟练掌握全等的判定与性质，正确添加辅助线是解题关键；

（1）用SAS证△ABE≌△CBD，得AE=CD，∠BAE=∠BCD；根据直角三角形斜边中线得AE=2BF，AF=BF，得CD=2BF，∠BAE=∠ABF，∠BCD+∠FBE=90°，可证CD⊥BF；

（2）①延长BF到M，使BF=FM，连接AM，则BM=2BF，过A作AP⊥CD于P，证∠BCD=∠BAP，用SAS证△MAB≌△DBC，得∠ABM=∠BAP，得BF∥AP则BF⊥CD；

②延长BF到M，使BF=FM，连接AM，则