高中数学 第三章 导数应用 3.2 导数在实际问题中的应用教学实录2 北师大版选修2-2

高中数学第三章导数应用3.2导数在实际问题中的应用教学实录2北师大版选修2-2学校授课教师课时授课班级授课地点教具设计意图本节课以“导数在实际问题中的应用”为主题，通过实例分析，引导学生将导数知识应用于实际问题中，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。教学过程紧密结合北师大版选修2-2教材，注重理论与实践相结合，培养学生独立思考、合作交流的能力。核心素养目标培养学生数学建模能力，通过实际问题引入导数概念，使学生学会运用导数分析函数变化趋势，解决实际问题。提升逻辑推理能力，通过导数在几何、物理等领域的应用，引导学生进行严谨的数学论证。增强应用意识，让学生认识到数学在现实生活中的重要性，激发学生运用数学知识解决实际问题的兴趣。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在学习本节课之前，已具备函数、极限、导数的基本概念和性质，能够进行简单的导数运算，并了解导数在几何和物理中的应用。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生对数学学科普遍保持一定兴趣，尤其对实际问题解决有较强的好奇心。学生具备较强的逻辑思维能力，但部分学生在抽象思维方面可能存在困难。学习风格上，学生偏好通过实例和直观演示来理解新概念。

3.学生可能遇到的困难和挑战：部分学生可能对导数的概念理解不够深入，难以将抽象的数学概念与实际问题相结合。在解决实际问题时，学生可能面临如何选择合适的数学模型和如何应用导数解决复杂问题的挑战。此外，学生在面对多变量函数时，可能难以把握导数的几何意义和物理意义。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的北师大版选修2-2教材，包含导数概念、应用实例等相关内容。

2.辅助材料：准备与导数应用相关的图片、图表、视频等多媒体资源，以直观展示导数在实际问题中的运用。

3.教学课件：制作包含课堂讲解内容、实例分析、练习题等的教学课件，便于学生跟随课堂进度。

4.教室布置：根据教学需求，设置分组讨论区，以便学生进行小组合作学习，并预留实验操作台空间，便于进行演示实验。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：提前一周，通过班级微信群发布导数应用的预习资料，包括PPT、相关视频和文档，要求学生理解导数的基本概念和应用场景。

设计预习问题：围绕“如何利用导数分析函数在某一点的局部变化趋势”，设计问题，如“请举例说明导数在经济学中的应用”。

监控预习进度：通过微信群反馈和作业提交情况，监控学生的预习进度。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生根据预习任务，阅读并理解导数的基本概念和应用。

思考预习问题：学生思考并尝试解答预习问题，记录自己的理解和疑问。

提交预习成果：学生将预习笔记和思考的问题提交至班级微信群。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：通过预习任务，培养学生的自主学习能力。

信息技术手段：利用微信群实现资源共享和进度监控。

作用与目的：

学生通过预习，对导数应用有初步的认识，为课堂学习打下基础。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过展示公司利润随时间变化的图表，引出导数在经济学中的应用。

讲解知识点：讲解导数在经济学中的具体应用，如边际成本和边际收入的分析。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生分析实际问题，如计算某产品的边际成本。

解答疑问：针对学生在讨论中提出的问题，进行解答和指导。

学生活动：

听讲并思考：学生认真听讲，思考导数在经济学中的具体应用。

参与课堂活动：学生积极参与小组讨论，分析实际问题。

提问与讨论：学生提出问题，参与讨论，加深对导数应用的理解。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过讲解，帮助学生理解导数在经济学中的应用。

实践活动法：通过小组讨论和实际问题分析，让学生在实践中掌握应用技能。

合作学习法：通过小组活动，培养学生的团队合作和沟通能力。

作用与目的：

学生通过实例学习，深入理解导数在经济学中的应用，掌握分析实际问题的技能。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置与导数应用相关的实际问题分析作业，如计算某函数的瞬时变化率。

提供拓展资源：推荐相关书籍和在线资源，供学生进一步学习。

反馈作业情况：及时批改作业，提供反馈，指导学生改进。

学生活动：

完成作业：学生独立完成作业，巩固所学知识。

拓展学习：利用推荐资源，进行进一步的学习和研究。

反思总结：学生反思自己的学习过程，总结经验，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：通过作业和拓展学习，培养学生的自主学习能力。

反思总结法：通过反思和总结，帮助学生提高学习效果。

作用与目的：

学生通过课后作业和拓展学习，巩固和深化对导数应用的理解，提高解决实际问题的能力。拓展与延伸一、提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

1.《微积分原理及其应用》：这本书详细介绍了微积分的基本原理和应用，包括导数、积分等概念，适合对导数应用有深入兴趣的学生阅读。

2.《经济学原理》：该书从经济学角度阐述了导数的应用，如边际成本、边际收入等，有助于学生理解导数在经济学中的实际应用。

3.《物理中的微积分》：这本书探讨了微积分在物理学中的应用，如运动学、动力学等领域，有助于学生将数学知识应用于物理问题。

4.《工程数学》：该书介绍了微积分在工程领域的应用，如电路分析、信号处理等，适合对工程学感兴趣的学生。

二、鼓励学生进行课后自主学习和探究

1.学生可以尝试解决教材中未解答的问题，如探索导数在几何、物理、经济学等领域的应用。

2.学生可以尝试自己设计实际问题，并运用导数知识进行解决，如分析某商品价格与销售量的关系。

3.学生可以查阅相关资料，了解导数在计算机科学、生物统计学等领域的应用。

4.学生可以参与数学竞赛或挑战，如美国数学竞赛（AMC）、加拿大数学竞赛（CIMC）等，提升自己的数学素养。

5.学生可以尝试编写数学小论文，总结自己在导数应用方面的学习心得和经验。

6.学生可以组建学习小组，共同探讨导数在各个领域的应用，分享学习成果。

7.学生可以关注数学教育相关的公众号、论坛等，了解数学教育领域的最新动态。

8.学生可以参加数学讲座、研讨会等活动，拓宽自己的知识面。

三、知识点拓展

1.导数的几何意义：导数可以表示函数在某一点的切线斜率，即函数在该点的瞬时变化率。

2.导数的物理意义：导数可以表示物理量在某一点的瞬时变化率，如速度、加速度等。

3.导数的经济学意义：导数可以表示经济量在某一点的边际变化率，如边际成本、边际收入等。

4.导数的工程学意义：导数可以表示工程量在某一点的瞬时变化率，如电路中的电流、电压等。

5.高阶导数：导数的导数称为高阶导数，如二阶导数、三阶导数等，可以描述函数的凹凸性、拐点等。

6.微分中值定理：微分中值定理是导数在函数分析中的一个重要定理，可以用来证明函数在某区间内的最大值和最小值。

7.洛必达法则：洛必达法则是求解不定型极限的一种方法，适用于“0/0”和“∞/∞”型极限。

8.泰勒公式：泰勒公式可以用来近似表示函数在某点的值，有助于分析函数的变化趋势。

9.微分方程：微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程，广泛应用于物理学、生物学、经济学等领域。

10.傅里叶变换：傅里叶变换是一种将函数分解为不同频率成分的方法，广泛应用于信号处理、图像处理等领域。内容逻辑关系①导数概念及其几何意义

-重点知识点：导数的定义、导数的几何意义（切线斜率）

-重点词句：导数表示函数在某一点的瞬时变化率，切线斜率是函数图像在该点的局部线性逼近。

②导数的物理意义

-重点知识点：导数在物理学中的应用，如速度、加速度

-重点词句：导数可以表示位移对时间的导数（速度），速度对时间的导数（加速度）。

③导数的经济学意义

-重点知识点：导数在经济学中的应用，如边际成本、边际收入

-重点词句：导数可以表示成本函数、收入函数的边际变化率，即边际成本和边际收入。

④导数的应用实例

-重点知识点：导数在几何、物理、经济学等领域的具体应用

-重点词句：通过实例分析，展示导数如何解决实际问题，如计算曲线的切线、分析物理过程中的加速度等。

⑤导数的计算方法

-重点知识点：导数的计算规则，包括四则运算法则、复合函数求导法则等

-重点词句：导数的计算遵循导数的运算法则，如（u+v）'=u'+v'，(uv)'=u'v+uv'。

⑥导数的性质

-重点知识点：导数的连续性、可导性、单调性等性质

-重点词句：导数是连续函数的充分必要条件，可导函数在其定义域内具有局部性质。

⑦导数在实际问题中的应用

-重点知识点：导数在解决实际问题中的应用，如优化问题、极值问题等

-重点词句：运用导数解决实际问题，如求函数的最值、确定函数的极值点等。教学评价与反馈1.课堂表现：

课堂表现是评价学生学习情况的重要方面。在教学过程中，我将关注以下几个方面：

-学生对导数概念的掌握程度，如能否正确理解和应用导数的定义。

-学生对导数计算方法的熟悉程度，如能否熟练运用导数的运算法则进行计算。

-学生对导数应用实例的理解和解决能力，如能否正确分析实际问题并运用导数进行解决。

2.小组讨论成果展示：

小组讨论是培养学生合作能力和问题解决能力的重要环节。我将通过以下方式评价小组讨论成果：

-评估小组讨论的参与度，如每位成员是否积极参与讨论。

-评价小组讨论的深度，如是否能够深入探讨导数在各个领域的应用。

-评估小组讨论的成果，如能否提出有创意的解决方案或新的思考方向。

3.随堂测试：

随堂测试是即时评价学生学习效果的有效手段。我将进行以下随堂测试：

-设计针对导数概念和计算方法的测试题，以检验学生对基本知识的掌握。

-设置实际问题解决题，评估学生运用导数解决实际问题的能力。

-通过测试反馈学生的错误和困惑，以便及时调整教学策略。

4.课后作业完成情况：

课后作业是巩固课堂所学知识的重要环节。我将通过以下方式评价作业完成情况：

-评估作业的完成质量，如解答是否准确、步骤是否完整。

-关注学生的作业态度，如是否按时提交、是否认真对待。

-通过作业反馈学生的掌握程度，如是否存在普遍性的错误或难题。

5.教师评价与反馈：

教师评价与反馈是促进学生学习和改进教学的重要手段