双曲线及其标准方程教学设计

双曲线及其标准方程教学设计一、教学目标1.知识与技能目标理解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程的两种形式及其推导过程。能根据已知条件求双曲线的标准方程，能根据双曲线的标准方程求焦点坐标、实轴长、虚轴长等基本量。2.过程与方法目标通过对双曲线定义的探究，培养学生观察、分析、归纳、概括的能力，体会类比、猜想、推理等数学思想方法。在双曲线标准方程的推导过程中，让学生感受坐标法在解析几何中的应用，提高学生的运算能力和逻辑思维能力。3.情感态度与价值观目标通过探究双曲线的定义和标准方程，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。让学生体会数学的严谨性和科学性，感受数学的美学价值，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点双曲线的定义和标准方程。双曲线标准方程的推导。2.教学难点双曲线定义中"差的绝对值"的理解。双曲线标准方程推导过程中化简根式的技巧。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合

四、教学过程

（一）新课导入1.复习回顾提问：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程有哪两种形式？学生回答后，教师总结：平面内与两个定点\(F_1,F_2\)的距离之和等于常数（大于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做椭圆。其标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)（焦点在\(x\)轴上）和\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)（焦点在\(y\)轴上）。2.情境引入展示一些含有双曲线的实际图片，如双曲线冷却塔、双曲线型拱桥等，让学生观察图片，感受双曲线在实际生活中的应用。提出问题：这些物体的形状与我们学过的椭圆有什么不同？它们的数学模型是什么？从而引出本节课的课题--双曲线及其标准方程。

（二）双曲线定义的探究1.实验探究取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点\(F_1,F_2\)上，把笔尖放在拉链的拉手\(M\)处，随着拉链的逐渐拉开或闭合，笔尖所经过的点的轨迹是什么？学生分组进行实验，教师巡视指导，引导学生观察并思考：当拉链逐渐拉开时，\(|MF_1||MF_2|\)的值有什么变化？当拉链逐渐闭合时，\(|MF_2||MF_1|\)的值有什么变化？学生汇报实验结果，教师总结：当\(|MF_1||MF_2|=\)常数（小于\(|F_1F_2|\)）时，笔尖的轨迹是双曲线的一支；当\(|MF_2||MF_1|=\)常数（小于\(|F_1F_2|\)）时，笔尖的轨迹是双曲线的另一支。2.抽象概括引导学生类比椭圆的定义，总结双曲线的定义：平面内与两个定点\(F_1,F_2\)的距离之差的绝对值等于常数（小于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，用\(2c\)表示。强调定义中的几个要点："平面内"--明确了轨迹的范围。"两个定点\(F_1,F_2\)"--这是双曲线的焦点。"距离之差的绝对值"--这是双曲线定义的核心，与椭圆定义中"距离之和"形成对比。"常数（小于\(|F_1F_2|\)）"--保证了轨迹是双曲线，若常数等于\(|F_1F_2|\)，则轨迹是以\(F_1,F_2\)为端点的两条射线；若常数大于\(|F_1F_2|\)，则无轨迹。3.定义的应用例1：已知\(F_1(5,0)\)，\(F_2(5,0)\)，一曲线上的动点\(P\)到\(F_1,F_2\)距离之差的绝对值为\(6\)，求动点\(P\)的轨迹方程。解：因为\(|F_1F_2|=10\)，\(|PF_1||PF_2|=6\lt|F_1F_2|\)，所以动点\(P\)的轨迹是以\(F_1,F_2\)为焦点的双曲线。设双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)，则\(2a=6\)，即\(a=3\)，又\(c=5\)，根据\(c^2=a^2+b^2\)，可得\(b^2=c^2a^2=259=16\)。所以动点\(P\)的轨迹方程为\(\frac{x^2}{9}\frac{y^2}{16}=1\)。例2：已知\(A(0,5)\)，\(B(0,5)\)，\(|PA||PB|=2a=8\)，求动点\(P\)的轨迹方程。解：因为\(|AB|=10\)，\(|PA||PB|=8\lt|AB|\)，所以动点\(P\)的轨迹是以\(A,B\)为焦点的双曲线的下支。设双曲线的标准方程为\(\frac{y^2}{a^2}\frac{x^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)，则\(2a=8\)，即\(a=4\)，又\(c=5\)，根据\(c^2=a^2+b^2\)，可得\(b^2=c^2a^2=2516=9\)。所以动点\(P\)的轨迹方程为\(\frac{y^2}{16}\frac{x^2}{9}=1(y\leq4)\)。练习：已知\(F_1,F_2\)是双曲线的两个焦点，\(|F_1F_2|=10\)，点\(P\)在双曲线上，且\(|PF_1||PF_2|=6\)，求双曲线的标准方程。

（三）双曲线标准方程的推导1.建系设点以双曲线的两个焦点\(F_1,F_2\)所在直线为\(x\)轴，线段\(F_1F_2\)的垂直平分线为\(y\)轴，建立平面直角坐标系。设\(F_1(c,0)\)，\(F_2(c,0)\)，双曲线上任意一点\(P(x,y)\)。2.列式化简根据双曲线的定义\(\vert\vertPF_1\vert\vertPF_2\vert\vert=2a\)，可得\(\sqrt{(x+c)^2+y^2}\sqrt{(xc)^2+y^2}=\pm2a\)。移项得\(\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\sqrt{(xc)^2+y^2}\pm2a\)。两边平方得\((x+c)^2+y^2=(xc)^2+y^2\pm4a\sqrt{(xc)^2+y^2}+4a^2\)。展开并化简得\(cxa^2=\pma\sqrt{(xc)^2+y^2}\)。两边再平方得\(c^2x^22a^2cx+a^4=a^2(x^22cx+c^2+y^2)\)。展开并整理得\((c^2a^2)x^2a^2y^2=a^2(c^2a^2)\)。令\(b^2=c^2a^2\)（\(b\gt0\)），则双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)。当焦点在\(y\)轴上时，同理可得双曲线的标准方程为\(\frac{y^2}{a^2}\frac{x^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)。3.方程说明引导学生观察双曲线的标准方程，思考以下问题：双曲线标准方程中\(a,b,c\)的几何意义是什么？双曲线标准方程的两种形式有什么区别和联系？教师总结：在双曲线标准方程\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)中，\(a\)表示双曲线的实半轴长，\(b\)表示双曲线的虚半轴长，\(c\)表示半焦距，且满足\(c^2=a^2+b^2\)。焦点在\(x\)轴上的双曲线标准方程的形式为\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1\)，焦点在\(y\)轴上的双曲线标准方程的形式为\(\frac{y^2}{a^2}\frac{x^2}{b^2}=1\)，它们的区别在于\(x^2\)与\(y^2\)的系数正负不同，联系是都满足\(c^2=a^2+b^2\)。

（四）双曲线标准方程的应用1.求双曲线的标准方程例3：已知双曲线的焦点在\(x\)轴上，离心率\(e=\frac{5}{4}\)，且经过点\(M(4,3)\)，求双曲线的标准方程。解：设双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)。因为离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}\)，所以\(c=\frac{5}{4}a\)。又\(c^2=a^2+b^2\)，所以\((\frac{5}{4}a)^2=a^2+b^2\)，即\(b^2=\frac{9}{16}a^2\)。因为双曲线经过点\(M(4,3)\)，所以\(\frac{(4)^2}{a^2}\frac{3^2}{b^2}=1\)。将\(b^2=\frac{9}{16}a^2\)代入上式得\(\frac{16}{a^2}\frac{16}{a^2}=1\)，解得\(a^2=4\)。则\(b^2=\frac{9}{16}\times4=\frac{9}{4}\)。所以双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{4}\frac{y^2}{\frac{9}{4}}=1\)，即\(\frac{x^2}{4}\frac{4y^2}{9}=1\)。例4：已知双曲线的渐近线方程为\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，且过点\((2,3)\)，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的渐近线方程为\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，所以可设双曲线的方程为\(\frac{x^2}{16}\frac{y^2}{9}=\lambda(\lambda\neq0)\)。因为双曲线过点\((2,3)\)，所以\(\frac{2^2}{16}\frac{3^2}{9}=\lambda\)，解得\(\lambda=\frac{3}{4}\)。所以双曲线的标准方程为\(\frac{y^2}{\frac{27}{4}}\frac{x^2}{12}=1\)。练习：已知双曲线的焦点在\(y\)轴上，实轴长为\(4\)，离心率\(e=\frac{3}{2}\)，求双曲线的标准方程。2.根据双曲线方程求基本量例5：求双曲线\(9x^216y^2=144\)的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程。解：将双曲线方程\(9x^216y^2=144\)化为标准方程\(\frac{x^2}{16}\frac{y^2}{9}=1\)。则\(a^2=16\)，\(a=4\)，\(2a=8\)，所以实轴长为\(8\)。\(b^2=9\)，\(b=3\)，\(2b=6\)，所以虚轴长为\(6\)。\(c^2=a^2+b^2=16+9=25\)，\(c=5\)，所以焦点坐标为\((\pm5,0)\)。离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}\)。渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{3}{4}x\)。例6：已知双曲线\(\frac{y^2}{25}\frac{x^2}{9}=1\)，求其离心率、焦点坐标和渐近线方程。解：由双曲线方程\(\frac{y^2}{25}\frac{x^2}{9}=1\)可知\(a^2=25\)，\(a=5\)，\(b^2=9\)，\(b=3\)。\(c^2=a^2+b^2=25+9=34\)，\(c=\sqrt{34}\)。离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{34}}{5}\)。焦点坐标为\((0,\pm\sqrt{34})\)。渐近线方程为\(y=\pm\frac{a}{b}x=\pm\frac{5}{3}x\)。练习：求双曲线\(4x^2y^2=4\)的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程。

（五）课堂小结1.知识内容回顾双曲线的定义、标准方程及其推导过程。强调双曲线标准方程中\(a,b,c\)的几何意义以及两种形式的区别和联系。2.思想方法总结