向量法求空间点到平面的距离教案

向量法求空间点到平面的距离教案一、教学目标1.知识与技能目标让学生理解空间点到平面距离的概念。学生能够掌握用向量法求空间点到平面距离的方法，并能熟练运用该方法解决相关问题。2.过程与方法目标通过向量法求空间点到平面距离的学习，培养学生的逻辑推理能力和运算能力。经历向量法推导过程，提高学生的数学建模能力和将空间问题转化为向量问题的能力。3.情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。让学生体会数学的严谨性，感受数学在解决实际问题中的重要作用，增强学生的数学应用意识。

二、教学重难点1.教学重点向量法求空间点到平面距离公式的推导。运用向量法求空间点到平面的距离。2.教学难点理解向量法求空间点到平面距离公式的推导思路。如何引导学生将空间点到平面距离问题准确地转化为向量问题，并合理运用向量知识求解。

三、教学方法1.讲授法：讲解向量法求空间点到平面距离的基本概念、公式推导和解题步骤，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生讨论向量法的应用，鼓励学生积极思考，培养学生的合作交流能力和思维能力。3.练习法：通过适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高学生运用向量法解决实际问题的能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.回顾提问提问学生平面的法向量的定义和求法。让学生回忆空间向量的数量积运算及其几何意义。2.情境引入展示一个实际问题情境：已知一个空间中的平面和平面外一点，如何求该点到平面的距离？例如，在一个立体图形中，已知一个平面和平面外的一个顶点，求该顶点到平面的距离。引导学生思考如何解决这个问题，从而引出本节课的主题--向量法求空间点到平面的距离。

（二）知识讲解（15分钟）1.空间点到平面距离的概念给出空间点到平面距离的定义：过空间一点作平面的垂线，该点与垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离。强调点到平面距离的唯一性和最短性。2.向量法求空间点到平面距离公式的推导设平面\(\alpha\)的法向量为\(\vec{n}\)，点\(P\)是平面\(\alpha\)外一点，点\(A\)是平面\(\alpha\)内任意一点，则点\(P\)到平面\(\alpha\)的距离\(d\)等于向量\(\overrightarrow{PA}\)在法向量\(\vec{n}\)方向上的投影的绝对值。具体推导过程如下：已知\(\vec{n}\)是平面\(\alpha\)的法向量，\(A\in\alpha\)，\(P\notin\alpha\)，则\(\overrightarrow{PA}\)与\(\vec{n}\)的夹角为\(\theta\)（\(0\leq\theta\leq\pi\)）。根据向量的投影公式，\(\overrightarrow{PA}\)在\(\vec{n}\)方向上的投影为\(\vert\overrightarrow{PA}\vert\cos\theta\)。又因为\(\cos\theta=\frac{\vert\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\overrightarrow{PA}\vert\vert\vec{n}\vert}\)，所以\(\vert\overrightarrow{PA}\vert\cos\theta=\frac{\vert\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{n}\vert}\)。即点\(P\)到平面\(\alpha\)的距离\(d=\frac{\vert\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{n}\vert}\)。

（三）例题讲解（20分钟）1.例1已知平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(2,3,1)\)，点\(A(2,1,3)\)在平面\(\alpha\)内，点\(P(1,2,1)\)，求点\(P\)到平面\(\alpha\)的距离\(d\)。解：首先求向量\(\overrightarrow{PA}=(21,12,31)=(3,1,2)\)。然后计算\(\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}=(3)\times2+(1)\times(3)+2\times1=6+3+2=1\)。再求\(\vert\vec{n}\vert=\sqrt{2^2+(3)^2+1^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}\)。最后根据公式\(d=\frac{\vert\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{n}\vert}=\frac{\vert1\vert}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{14}\)。详细讲解每一步的计算依据和目的，让学生理解向量法求点到平面距离的具体操作过程。2.例2在棱长为\(1\)的正方体\(ABCDA_1B_1C_1D_1\)中，求点\(A_1\)到平面\(ACB_1\)的距离\(d\)。解：以\(D\)为原点，分别以\(DA,DC,DD_1\)所在直线为\(x,y,z\)轴，建立空间直角坐标系。则\(A(1,0,0)\)，\(C(0,1,0)\)，\(B_1(1,1,1)\)，\(A_1(1,0,1)\)。求平面\(ACB_1\)的法向量\(\vec{n}\)：设\(\vec{n}=(x,y,z)\)，\(\overrightarrow{AC}=(1,1,0)\)，\(\overrightarrow{AB_1}=(0,1,1)\)。由\(\begin{cases}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\\\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB_1}=0\end{cases}\)，可得\(\begin{cases}x+y=0\\y+z=0\end{cases}\)，令\(y=1\)，则\(x=1\)，\(z=1\)，所以\(\vec{n}=(1,1,1)\)。计算向量\(\overrightarrow{A_1C}=(1,1,1)\)。计算\(\overrightarrow{A_1C}\cdot\vec{n}=(1)\times1+1\times1+(1)\times(1)=1\)。计算\(\vert\vec{n}\vert=\sqrt{1^2+1^2+(1)^2}=\sqrt{3}\)。根据公式\(d=\frac{\vert\overrightarrow{A_1C}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{n}\vert}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。在讲解过程中，强调建立空间直角坐标系的方法以及如何根据已知条件求平面的法向量，引导学生逐步掌握用向量法解决立体几何中距离问题的步骤。

（四）课堂练习（15分钟）1.已知平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(3,4,5)\)，点\(A(2,1,3)\)在平面\(\alpha\)内，点\(P(1,2,4)\)，求点\(P\)到平面\(\alpha\)的距离。2.在正三棱柱\(ABCA_1B_1C_1\)中，各棱长都为\(2\)，求点\(B_1\)到平面\(A_1BC\)的距离。让学生在练习本上独立完成这两道练习题，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并给予纠正。请两位学生上台板演，其他学生做完后同桌之间互相批改，最后教师对学生的解题情况进行点评，强调解题的关键步骤和易错点。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容，包括空间点到平面距离的概念和向量法求空间点到平面距离的公式及推导过程。2.总结用向量法求空间点到平面距离的步骤：确定平面的法向量\(\vec{n}\)。找到平面内一点\(A\)和平面外一点\(P\)，计算向量\(\overrightarrow{PA}\)。计算\(\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}\)和\(\vert\vec{n}\vert\)。根据公式\(d=\frac{\vert\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{n}\vert}\)求出点\(P\)到平面的距离\(d\)。3.强调在解题过程中需要注意的问题，如建立合适的空间直角坐标系，准确计算向量的坐标和数量积等。

（六）布置作业（5分钟）1.教材课后习题：第[X]页，习题[X]组第[X]题。2.已知平面\(\alpha\)经过三点\(A(1,2,3)\)，\(B(2,0,1)\)，\(C(3,2,0)\)，求点\(P(0,2,\frac{7}{3})\)到平面\(\alpha\)的距离。3.思考：除了向量法，还有哪些方法可以求空间点到平面的距离？请查阅资料并简单介绍。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对向量法求空间点到平面的距离有了较为系统的认识和理解。在教学过程中，通过回顾相关知识引入新课，为公式的推导做好铺垫，然后详细讲解公式的推导过程，让学生理解其原理。例题和练习