3.2.2 双曲线的几何性质（教案）-高二数学（高教版2023修订版拓展模块一上册）

教学目标3.2.2双曲线的几何性质教学目标1.理解双曲线标准方程的求导过程，会根据标准方程判断焦点位置；2. 掌握双曲线标准方程中参数之间的关系.教学重难点教学重点：双曲线标准方程的推导教学重难点教材分析教学难点：双曲线图形的绘制．教材分析教学工具本节课是通过研究双曲线的标准方程来探究双曲线的简单几何性质，是本单元的重点内容之一，利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务目的，通过本节课的学习，既让学生了解了双曲线的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程.教学工具教学课件教学过程（一）教学过程1.范围2.对称性3.顶点4.离心率前面，我们借助于椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质．那么，如何借助与双曲线的标准方程来研究双曲线的几何性质呢？【设计意图】引导启发学生得出结果.（二）探索新知下面以为例,探究双曲线的几何性质.1．范围 将双曲线的标准方程化为.因为，所以由双曲线的标准方程知道，双曲线上的点的横坐标满足，即．于是有x≤－a或x≥a． 这说明,双曲线的两支分别位于直线x=-a的左侧与直线x=a的右侧,如图所示.2.对称性在双曲线的标准方程中，将y换成－y，方程依然成立．这说明双曲线关于x轴对称．同理可知，双曲线关于y轴对称，也关于坐标原点对称．x轴与y轴都叫做双曲线的对称轴，坐标原点叫做双曲线的对称中心（简称中心）．3.顶点 在双曲线的标准方程中，令，得到．因此，双曲线与x轴有两个交点和．双曲线和它的对称轴的交点叫做双曲线的顶点．因此和是双曲线的顶点．令，得到，这个方程没有实数解，说明双曲线和y轴没有交点．但是，我们也将点与画出来．线段，分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为和．a和b分别表示双曲线的半实轴长和半虚轴长．显然,双曲线的焦点、顶点与实轴都在同一个坐标轴上．4．渐近线 经过分别作y轴的平行线x=－a，x=a，经过分别作x轴的平行线y=－b，y=b．这四条直线围成一个矩形．矩形的两条对角线所在的方程为．观察左图可以看出,双曲线的两支向外延伸时，分别与这两条直线逐渐接近但又永不相交,我们把这两条直线称为双曲线的渐近线.双曲线的标准方程可以写成， 可以看到，当|x|无限增大时，y的值无限接近于的值．这说明双曲线的两支曲线与两条直线无限接近（但不能相交）．5．离心率双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，记作e．即． 因为，所以双曲线的离心率．由 可以看到，e越大，的值越大，即渐近线的斜率的绝对值越大，这是双曲线的“张口”就越大．因此，离心率e的值可以刻画出双曲线“张口”的大小．为什么冷却塔的塔身大多是双曲线的形状？冷却塔做成双曲线形的是为了提高冷却的效率，底部有最大的圆周，可以最大限度地进入冷空气，冷空气到达最细部位时，接触热水，这时首先由于管径变小，空气流速加快，可以尽快的带走热水中的热量，其次由于管径变小，冷空气的体积也受到压缩，故压力也有增加，而压力增加流体的含热能力会随之增加，于是在细腰部冷空气可以最大限度的吸收热水的热量从而使热水冷却。到了最上部，管径再次扩大，已携带了大量热量的空气由于速度减慢，压力减小，又将所含的热量释放出来形成白色的水蒸气.【设计意图】双曲线的范围和对称性易于直观判断，运用代数方法进行界定可以帮助学生习得几何问题代数化的思想方法，培养学生科学严谨的科学精神.（三）典例剖析例1.求双曲线4y²-16x²=64的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.解:将方程化成标准方程为 因此双曲线的焦点在y轴上且故．所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦点为，顶点坐标为，离心率为，渐近线方程为．例2.求满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一个焦点的坐标为(10,0),一条渐近线的方程为3x-4y=0； （2）焦距为12,离心率为．解:（1）由题设可知，双曲线的焦点在x轴上,渐近线的方程为于是有解得因此，所求的双曲线的标准方程为（2）由已知条件知，于是焦点在x轴上时．双曲线的标准方程为．焦点在y轴上时．双曲线的标准方程为．例3.用“描点法”画出双曲线的图形.分析：由于双曲线具有对称性,一般只需先画出双曲线在第一象限内的图形,然后利用对称性,画出全部图形.解:当y≥0时,双曲线的方程可以变形为,在[4,+∞)上,选取几个整数作为x的值,计算出对应的y值,列表x45678y02.253.354.315.2以表中的x值为横坐标,对应的y值为纵坐标,在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y),用光滑的曲线顺次链接各点,得到双曲线在第一象限内的图形.然后利用双曲线的对称性,画出全部图形.我们可以利用双曲线的顶点和渐近线,画出大致图像.具体步骤如下：（1）由a²=16,得a=4,则得到双曲线的两个顶点A1(-4,0)、A2(4,0)；（2）由b²=9,得b=3,则得到双曲线的另外两个顶点B1(0,-3),B2(0,3)；

（3）作出由直线x=±4、y=±3所围成的矩形,画出矩形两条对角线所在的直线,即双曲线的两条渐近线；

（4）依据双曲线经过实轴端点,且逐渐接近渐近线这一特点,画出大致图像.例4.已知A、B两个哨所相距

1600m,在A哨所听到炮弹爆炸声比在B哨所晚3s.求炮弹爆炸点所有可能位置构成的曲线的方程(声速为

340

m/s).

根据题意,由A、B两处听到爆炸声的时间差可算出A、B两处与爆炸点的距离差,它是一个定值.因此,爆炸点所有可能的位置都在某双曲线上,又因为爆炸点距离A处比距离B处远,所以爆炸点应在该双曲线中靠近B处的一支上.

如图所示,建立平面直角坐标系,使A、B两点在x轴上,且坐标原点为线段

AB

的中点.设爆炸点M的坐标为(x,y),则|MA|-|MB|=340×3=1020，于是有2a=1020,a=510,a²=260100.因为|AB|=1600，所以2c=1600,c=800，b²=c²-a²=379900.又|MA|-|MB|=1020>0,故爆炸点M在双曲线的右支上,从而x≥510.因此，所求曲线方程为

能否用一根无弹性细绳、一把直尺、几颗图钉和一支笔画出双曲线？【设计意图】例1强调先将双曲线化为标准方程并要规范解题步骤，例2应强调先确定双曲线的焦点位置再求出相应的量，例3强化学生作图的能力，例4给出解决双曲线应用题的方法.（四）巩固练习1.求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标离心率以及渐近方程．解：双曲线方程是，双曲线标准方程为：，，，，实轴长：18，虚轴长：6，焦点坐标，离心率：，渐近线方程为：．2．求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在轴上，离心率为，两顶点间的距离为6；(2)以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点.解：（1）设双曲线的方程为.由，，得，，，所以双曲线的方程为.（2）由题意可知，双曲线的焦点在轴上.设双曲线的方程为，则，，，所以双曲线的