2024-2025学年新教材高中数学 第3章 排列、组合与二项式定理 3.1 排列与组合 3.1.1 第2课时 基本计数原理的应用教学实录 新人教B版选择性必修第二册

2024-2025学年新教材高中数学第3章排列、组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.1第2课时基本计数原理的应用教学实录新人教B版选择性必修第二册课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、设计意图本节课通过基本计数原理的应用，帮助学生掌握排列与组合的计数方法，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。通过实际问题引入，让学生体会数学在生活中的应用，激发学生学习兴趣，为后续学习打下坚实基础。二、核心素养目标分析培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。通过排列与组合的学习，提升学生运用数学语言表达现实世界的能力，增强解决实际问题的能力，同时培养学生严谨求实的科学态度和合作交流的团队精神。三、学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在进入本节课之前，已具备一定的数学基础，包括整式运算、方程（组）的解法、不等式（组）的解法等。此外，学生对集合、函数等概念也有初步的了解。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中学生对数学学习普遍抱有较高的兴趣，尤其是对逻辑性和挑战性较强的内容。学生的能力水平参差不齐，部分学生具备较强的逻辑推理能力和空间想象力，而部分学生可能在抽象思维和运算能力上存在不足。学习风格方面，部分学生偏好通过直观图形理解概念，而另一部分学生则更倾向于通过公式和运算来解决问题。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在学习排列与组合时，可能面临以下困难和挑战：一是理解排列与组合的概念和区别；二是将实际问题转化为排列与组合问题；三是计算过程中可能出现的错误，如重复计数或遗漏情况。针对这些困难，教师需引导学生通过实例分析、小组讨论等方式，逐步克服。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都有新教材选择性必修第二册高中数学，特别是第3章“排列、组合与二项式定理”的内容。

2.辅助材料：准备与排列、组合相关的生活实例图片、图表，以及二项式定理的应用视频，以帮助学生理解抽象概念。

3.教学工具：使用多媒体投影仪展示教学课件，方便学生跟随讲解。

4.教室布置：设置分组讨论区，确保每组有足够的空间进行互动和讨论，同时准备黑板或白板，用于展示解题步骤和关键公式。五、教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示生活中常见的排列组合现象，如生日蛋糕上的蜡烛排列、礼花绽放的图案等。

2.提出问题：引导学生思考如何计算这些现象的排列组合方式。

3.引导学生回顾已学知识：集合、函数等概念，为排列组合的学习做好铺垫。

二、讲授新课（20分钟）

1.排列的定义及计算方法：介绍排列的概念，通过实例讲解排列的计算方法，如A_n^m。

2.组合的定义及计算方法：介绍组合的概念，通过实例讲解组合的计算方法，如C_n^m。

3.排列与组合的区别：讲解排列与组合的区别，强调排列考虑顺序，组合不考虑顺序。

4.二项式定理：介绍二项式定理的概念，通过实例讲解二项式定理的应用。

三、巩固练习（15分钟）

1.练习1：计算排列与组合的实例，如计算班级中选5名代表的不同组合方式。

2.练习2：应用二项式定理解决实际问题，如计算抛硬币的概率问题。

3.小组讨论：分组讨论排列与组合在实际生活中的应用，如设计密码、抽奖等。

四、课堂提问（5分钟）

1.提问1：排列与组合在生活中的应用有哪些？

2.提问2：如何将实际问题转化为排列与组合问题？

3.提问3：如何运用二项式定理解决实际问题？

五、师生互动环节（10分钟）

1.教师提问：引导学生思考排列与组合的规律，如排列与组合的公式推导过程。

2.学生回答：鼓励学生积极参与课堂讨论，分享自己的解题思路。

3.教师点评：针对学生的回答，给予肯定和指导，帮助学生纠正错误。

六、核心素养能力的拓展要求（5分钟）

1.培养学生的数学抽象能力：引导学生从实际问题中抽象出排列与组合的概念。

2.培养学生的逻辑推理能力：通过排列与组合的计算方法，培养学生的逻辑思维能力。

3.培养学生的数学建模能力：引导学生将实际问题转化为数学模型，运用排列与组合解决问题。

七、总结与作业布置（5分钟）

1.总结本节课所学内容，强调排列与组合的概念、计算方法及二项式定理的应用。

2.布置作业：完成教材中的相关练习题，巩固所学知识。

教学过程流程环节如下：

1.导入环节（5分钟）

2.讲授新课（20分钟）

3.巩固练习（15分钟）

4.课堂提问（5分钟）

5.师生互动环节（10分钟）

6.核心素养能力的拓展要求（5分钟）

7.总结与作业布置（5分钟）

总用时：45分钟六、学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握：

-学生能够熟练掌握排列、组合的基本概念，理解排列与组合的区别和联系。

-学生能够运用排列与组合的公式进行计算，解决实际问题。

-学生能够运用二项式定理解决生活中的概率问题。

2.能力提升：

-学生的逻辑思维能力得到锻炼，能够从实际问题中抽象出数学模型。

-学生的数学运算能力得到提高，能够熟练进行排列与组合的计算。

-学生的空间想象力得到培养，能够理解排列与组合在空间问题中的应用。

3.应用能力：

-学生能够将排列与组合的知识应用于日常生活，如设计密码、抽奖等。

-学生能够将排列与组合的知识应用于科学研究中，如遗传学、统计学等。

-学生能够将排列与组合的知识应用于工程技术领域，如电路设计、网络布局等。

4.思维品质：

-学生的严谨求实、勇于探索的科学态度得到培养。

-学生的创新意识和团队协作精神得到提升。

-学生的批判性思维和问题解决能力得到锻炼。

5.学习兴趣：

-学生对数学学习产生浓厚兴趣，愿意主动探索数学知识。

-学生在学习过程中体验到数学的趣味性和实用性，增强学习动力。

-学生在解决实际问题的过程中，体会到数学的价值，提高学习信心。

6.评价与反思：

-学生能够对自己的学习过程进行评价，总结经验教训，不断改进学习方法。

-学生能够反思自己的学习成果，明确自己的不足，制定改进计划。

-学生能够与他人交流学习心得，分享学习经验，共同提高。七、典型例题讲解例题1：从5名男生和4名女生中选出3人参加比赛，要求至少有1名女生，求不同的选法共有多少种？

解答：首先，从4名女生中选出1名，有C(4,1)种选法。然后，从剩下的5名男生中选出2名，有C(5,2)种选法。根据乘法原理，总共有C(4,1)*C(5,2)=4*10=40种选法。

例题2：有5个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个球，求不同的放法共有多少种？

解答：首先，将5个球分成3组，有C(5,3)种分组方法。然后，将分好的3组球放入3个盒子中，有A(3,3)种放法。根据乘法原理，总共有C(5,3)*A(3,3)=10*6=60种放法。

例题3：从0、1、2、3、4、5这六个数字中，任取三个不同的数字，组成一个三位数，求这个三位数的个数。

解答：首先，百位上不能是0，所以有5种选择（1、2、3、4、5）。然后，十位和个位可以是任意一个剩余的数字，所以各有5种选择。根据乘法原理，总共有5*5*5=125个三位数。

例题4：一个密码锁由4位数字组成，每位数字可以是0到9中的任意一个，求这个密码锁的总数。

解答：每位数字有10种可能（0到9），因此密码锁的总数为10*10*10*10=10,000种。

例题5：在班级中，有6名男生和4名女生，要从中选出2名男生和3名女生参加比赛，求不同的选法共有多少种？

解答：首先，从6名男生中选出2名，有C(6,2)种选法。然后，从4名女生中选出3名，有C(4,3)种选法。根据乘法原理，总共有C(6,2)*C(4,3)=15*4=60种选法。八、教学反思与总结今天这节课，我们学习了排列、组合与二项式定理的相关内容，我觉得整体来说，教学效果还是不错的。下面，我就从教学反思和教学总结两个方面来谈谈我的体会。

首先，在教学方法上，我尝试了多种方式来激发学生的学习兴趣。比如，通过生活中的实例引入排列组合的概念，让学生感受到数学与生活的紧密联系。我发现，这样的方式能够有效提高学生的参与度，让他们更加主动地参与到课堂中来。

在教学过程中，我注重了师生互动，鼓励学生提问和发表自己的观点。比如，在讲解排列组合的公式时，我让学生自己推导出公式，而不是直接给出。这样的做法不仅让学生更好地理解了公式的来源，也提高了他们的逻辑思维能力。

然而，在教学管理上，我也发现了一些问题。比如，部分学生在课堂上注意力不够集中，容易分心。针对这个问题，我将在今后的教学中更加注重课堂纪律的管理，通过设置一些有趣的互动环节，吸引学生的注意力。

在教学总结方面，我认为学生在知识、技能、情感态度等方面都有所收获和进步。首先，在知识方面，学生对排列、组合与二项式定理的概念有了更深入的理解，能够运用所学知识解决实际问题。其次，在技能方面，学生的逻辑推理能力和数学运算能力得到了提升。最后，在情感态度方面，学生对数学学习的兴趣更加浓厚，自信心也有所增强。

当然，在教学过程中，我也发现了一些不足之处。比如，对于一些较难的问题，部分学生可能还是难以理解。为了解决这个问题，我计划在今后的教学中，更多地采用小组讨论、合作学习等方式，让学生在互动中共同解决问题。

此外，我还发现，在讲解二项式定理的应用时，部分学生可能对公式的推导过程不太熟悉。因此，我打算在下一节课中，专门安排时间来讲解二项式定理的推导过程，帮助学生更好地理解这个定理。板书设计①排列与组合的基本概念

-排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列的方法数。

-组合：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，不考虑顺序的方法数。

②排列与组合的计算公式

-排列数公式：A_n^m=n!/(n-m)!

-组合数公式：C_n^m=n!/[m!(n-m)!]

③二项式定理

-二项式定理公式：(a+b)^n=C_n^0*a^n*b^0+C_n^1*a^(n-1)*b^1+...+C_n^m*a^(n-m)*b^m+...+C_n^n*a^0*b^n

-其中，C_n^k=n!/[k!(n-k)!]

④排列与组合的实际应用

-生活中的排列组合实例：生日蛋糕蜡烛的排列、礼花绽放的图案等。

-科学研究中的应用：遗传学、统计学、工程技术等领域的排列组合问题。课堂课堂评价是教学过程中不可或缺的一环，它有助于我们了解学生的学习情况，及时发现问题并进行解决。以下是我对课堂评价的几点思考和实践：

1.提问策略：在课堂上，我会通过提问来检验学生对知识的掌握程度。我会设计不同难度的问题，从基础到深入，以考察学生对概念的理解和应用能力。例如，在讲解排列组合时，我会先问学生如何计算从5个不同的元素中选取3个元素的排列数，然后逐步深入到如何处理实际问题。

2.观察学生反应：通过观察学生的表情、肢体语言和参与度，我可以判断他们对知识的接受程度。如果学生在课堂上表现出困惑或迷茫，我会及时调整教学节奏，或者通过小组讨论来帮助学生理解。

3.小组合作评价：在小组讨论环节，我会观察学生之间的互动和合作情况。这不仅考察了学生的沟通能力，也反映了他们对知识的理解和应用能力。我会鼓励学生提出问题、分享观点，并从中发现他们的思考过程。

4.课堂测试：为了更直观地了解学生的学习效果，我会定期进行课堂测试。这些测试可以是选择题、填空题或者简答题，旨在考察学生对知识点的掌握程度。测试后，我会及时批改并反馈结果，帮助学生查漏补缺。

5.学生自评与互评：在课堂上，我会引导学生进行自评和互评。学生可以反思自己在学习过程中的表现，而互评则可以让他们从他人的解题思路中学习到不同的方法。这种评价方式有助于提高学生的自我认知