浙江省绍兴市中职学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试题（解析版）

绍兴市中职学校2024学年第一学期第一次联考试卷科目：数学适用班级：23级高考班考试时间：120分钟满分：150分出卷人：命题小组考试说明：1．答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每题2分，11-20每小题3分，共50分）（在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，错涂、多涂或者未涂均不得分）1.已知数列的通项公式是，则此数列是（）A.以为首项，公差为的等差数列 B.以为首项，公差为的等差数列C.以为首项，公差为的等差数列 D.不是等差数列【答案】A【解析】【分析】首先根据数列的通项公式求出首项和，再根据，结合等差数列的定义即可得答案.【详解】因为数列的通项公式是，所以，，所以，因此数列是以为首项，公差为的等差数列.故选：.2.数列的一个通项公式可以是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】观察所给数列，寻找与项数的关系，即可得到通项公式.【详解】因为数列各项正、负交替，故可用来调节，又因为，所以通项公式为.故选：.3.已知等差数列中，，则公差（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据等差数列通项公式即可解得.【详解】由题可得，则解得，故选：D4.等比数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据等比中项的性质即可解得.【详解】由题，为等比数列，且，则，解得，当时，不成立，故，故选：A5.在数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题可知数列是以为首项，为公差的等差数列，进而可求得通项公式，据此的值即可得解.【详解】设数列公差为，因为，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，因此.故选：.6.已知数列an的前项和，则该数列的第项等于（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】根据与之间的关系即可解得.【详解】由题，数列的前项和，则，故选：C7.数列是等比数列，下列等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的性质即可求解.【详解】根据等比数列的性质，对A、B：因为，所以A、B项错误；对C：，故C项正确；对D：，故D项错误.故选：C.8.在等比数列an中，已知，则首项和公比分别为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由等比数列的通项公式，求出，再由公比求解即可.【详解】因为为等比数列，，所以，则公比.故选：B.9.等差数列an中，则（）A. B. C. D.7【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的性质即可解得.【详解】由题，数列为等差数列，，则，故选：D.10.若等比数列的前三项依次为，则等于（）A. B.或 C. D.或【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的等比中项计算即可.【详解】由题意知：，解得或，当时，前三项为，不是等比数列，当时，前三项为，构成以的等比数列，所以.故选：.11.若数列满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由可得数列an是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列求和公式求解即可.【详解】因为，所以，即，，又因为，即，所以，所以数列an是以为首项，为公比的等比数列，设数列an的公比为，因此.故选：.12.已知数列an为等差数列，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等差数列和等差中项的性质，结合等差数列求和公式即可解得.【详解】由题，数列为等差数列，则，即，又知，则，故，故选：C13.已知等比数列的前项和，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据数列与之间的关系和等比数列的定义即可解得.【详解】由题，，，又知数列为等比数列，则，即，解得，故选：A14.设是等差数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质及前项和公式即可得解.【详解】因为.故选：A.15.等差数列中，，其前项和，则（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】【分析】先由等差数列的通项公式和已知条件求出公差，进而写出的表达式，然后令，解方程即可.【详解】设等差数列的公差为，因，所以，解得，所以，令，，解得，故选：.16.等比数列前n项和为，且成等差数列．若，则（）．A.7 B.8 C.15 D.16【答案】C【解析】【分析】利用成等差数列，得出，再代入等比数列的通项公式求出公比q的值；接下来运用等比数列前n项和公式，即可得出.【详解】因成等差数列，则，又因为数列an为等比数列，且，则整理为，解得，所以.故选：C.17.等比数列an中，如果，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据等比数列项之间的关系即可解得.【详解】由题，数列为等比数列，且公比为，则，则，，故选：A18.数列an，bn都是等差数列，且则数列的前项的和为（）A.1000 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据等差数列求和公式即可解得.【详解】由题，数列都是等差数列，则设数列的前项和为，即.故选：D19.等差数列an中，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等差数列的性质可求得的值，进而可求得的值，再由代入求值即可.【详解】设等差数列公差为，因为，所以，即，，即，所以，所以.故选：.20.设数列的前n项和为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知与等比数列求和公式写出数列通项公式，再由分组求和即可解得.【详解】由题，数列通项公式，故，故选：D.二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）21.数列，依次规律，此数列的第项________.【答案】【解析】【分析】根据规律写出数列的通项公式即可解得.【详解】由题可知，数列通项公式，则，故答案为：22.数列中，，则________.【答案】11【解析】【分析】由累加法即可求解.【详解】因为，所以，所以，即.因为，所以，所以，所以，则.故答案为：11.23.与的等比中项是__________.【答案】##2或-2【解析】【分析】由等比中项的定义即可求解.【详解】设与的等比中项为，所以，解得.故答案为：.24.已知是等差数列，，其前项和，则其公差为________.【答案】##【解析】【分析】根据求得的值，再根据等差数列前项和公式及求得，进而求出公差.【详解】因为，所以，即，因为，所以，即，因为，所以，即，因此公差为.故答案为：1225.在等比数列中，若公比，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式为________.【答案】【解析】【分析】根据等比数列的定义即可求解.【详解】由题意知，，因为，所以，解得.所以该数列的通项公式为.故答案为：.26.在等比数列中，若，若，则________.【答案】5【解析】【分析】根据等比中项即可解得.【详解】由题，数列为等比数列，则，又知，则，故答案为：27.若数列的前项和为，且，则________.【答案】【解析】【分析】由题意利用裂项相消法可求出，再令，求得的值即可.【详解】因为数列的前项和为：由题意可得：，解得：.故答案为：.三、解答题（本大题共7小题共72分）（解答应写出文字说明及演算步骤）28.已知数列的前项和，且，求：（1）；（2）；（3）数列的通项公式.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）（2）（3）根据数列与之间的关系即可解得.【小问1详解】.【小问2详解】.【小问3详解】当时，，当时，，由上得时符合，所以.29.已知等差数列满足：，求：（1）数列的通项公式；（2）数列前项和的最大值，并求出此时的值.【答案】（1）（2）最大值为，【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式，求出首项与公差，即可求出数列的通项公式；（2）利用等差数列的前项和公式，结合二次函数的性质求解数列前项和的最大值和此时的值.【小问1详解】设等差数列的公差为，由题意可得：，解得，所以.【小问2详解】由（1）可得：，当时，取得最大值，又因为，所以当时，取得最大值，因此数列前项和的最大值为，此时的.30.已知等比数列满足：，且，求：（1）数列的通项公式；（2）数列前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等比数列通项公式解方程可得首项和公比，进而可得到所求通项公式；（2）由等比数列的求和公式，计算可得答案.【小问1详解】由题意可得：，化简可得，解得：或，因为，所以，所以，因此通项公式为：.【小问2详解】由（1）可得：，因此数列前项和.31.已知等差数列满足：，公差，且恰为等比数列的前三项.（1）求数列与的通项公式；（2）若数列满足：，求数列前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据等比中项的概念结合等差数列的通项公式列方程可求出的值，再由等比数列的通项公式及等差数列的通项求值即可.（2）根据等差数列与等比数列的前前项和公式即可求值.【小问1详解】已知an为等差数列，由恰为等比数列bn可得，即，其中，则，化简可得，解得（舍）或，则数列an的通项公式为：，数列bn中，，，即，则数列bn的通项公式为：.【小问2详解】由（1）可知，，，则，所以.32.已知数列满足：且.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）通过在两边构造相同形式得到递推数列，再根据等比数列的定义即可证明数列为等比数列.（2）根据（1）证明数列为等比数列求出的通项公式，再因此得到数列的通项公式.【小问1详解】证明：因为，所以，所以，即，所以，所以数列为公比为的等比数列.【小问2详解】因为，所以.由（1）可知，，则.当时，符合题意，所以数列的通项公式.33.某公司年初投入万元引进一条高科技生产线，第一年投入10万元对该生产线进行维护，且以后每年投入的维护费逐年递增5万元，预估此生产线从年开始每年可收入万元.（1）若an表示前年的总维护费，求：；（2）另不考虑其他因素，问哪年该生产线开始盈利.【答案】（1），（2）年【解析】【分析】（1）根据题中规律，结合等差数列前项和公式即可解得.（2）根据已知列出不等式，结合一元二次不等式求解即可.小问1详解】由题意知：，每一年的维护费可构成首项为10，公差为5的等差数列，所以.【小问2详解】由题，第年末，利润共有，若