2024-2025学年高中数学 第1章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图象（教师用书）教学实录 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第1章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.3正切函数的性质与图象（教师用书）教学实录新人教A版必修4主备人备课成员教学内容本节课内容选自新人教A版必修4第1章三角函数1.4.3，主要围绕正切函数的性质与图象展开。通过学习，学生将掌握正切函数的定义、性质以及如何绘制其图象，为进一步学习三角函数在解决实际问题中的应用打下基础。核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等核心素养。通过正切函数性质与图象的学习，学生能够抽象出三角函数的一般特征，提升逻辑推理能力；通过图象绘制，锻炼数学建模和直观想象能力；在计算中应用，提高数学运算的准确性和效率。重点难点及解决办法重点：

1.正切函数的定义域和值域。

2.正切函数的单调性和奇偶性。

3.正切函数的周期性。

难点：

1.正切函数图象的绘制和理解。

2.正切函数性质的综合应用。

解决办法：

1.对于正切函数的定义域和值域，通过实例演示和公式推导，帮助学生理解。

2.通过几何直观和函数性质的分析，引导学生发现正切函数的单调性和奇偶性。

3.利用周期函数的性质，结合图象分析，帮助学生理解和绘制正切函数的图象。

4.通过解决实际问题，如求正切函数的零点、解三角方程等，帮助学生综合应用正切函数的性质。

5.针对难点，采用分组讨论、小组合作等方式，鼓励学生互相学习，共同突破。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都备有新人教A版必修4教材，以便课堂学习。

2.辅助材料：准备正切函数图象的相关图片、图表，以及教学视频，帮助学生直观理解。

3.实验器材：准备绘图工具，如坐标纸、直尺等，以便学生绘制正切函数图象。

4.教室布置：设置分组讨论区，以便学生进行小组合作学习；在教室前端放置多媒体设备，以便展示教学资源。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对正切函数的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“同学们，你们在学习三角函数时，是否对正切函数感到好奇？它在我们生活中有哪些应用呢？”

展示一些与正切函数相关的实际应用场景，如建筑设计、物理运动等，让学生初步感受正切函数的魅力。

简短介绍正切函数的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.正切函数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解正切函数的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解正切函数的定义，包括其主要组成元素或结构，如角度、邻边、对边等。

详细介绍正切函数的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解正切函数与直角三角形的关系。

3.正切函数案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解正切函数的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的正切函数案例进行分析，如计算物体的加速度、求解三角方程等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解正切函数在数学和物理中的应用。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用正切函数解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与正切函数相关的主题进行深入讨论，如“正切函数在几何中的应用”或“正切函数在工程计算中的角色”。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对正切函数的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调正切函数的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括正切函数的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调正切函数在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用正切函数。

7.课后作业布置（5分钟）

目标：巩固学习效果，提高学生的自主学习能力。

过程：

布置课后作业，要求学生完成以下任务：

（1）复习本节课所学内容，绘制正切函数图象。

（2）选择一个生活中的场景，应用正切函数进行计算。

（3）撰写一篇关于正切函数应用的小论文，展示你的理解和思考。知识点梳理1.正切函数的定义

-正切函数是三角函数的一种，表示直角三角形中，对边与邻边的比值。

-定义域：所有实数，即所有角度的终边在单位圆上的点。

-值域：所有实数，正切函数可以取到任何实数值。

2.正切函数的性质

-单调性：正切函数在每个周期内都是单调递增的。

-奇偶性：正切函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)。

-周期性：正切函数的周期是π，即f(x+π)=f(x)。

3.正切函数的图象

-图象特征：正切函数的图象是波浪状的，具有无穷多个渐近线。

-渐近线：正切函数的垂直渐近线是y=kπ（k为整数），水平渐近线不存在。

-周期性：图象在每个周期内重复，周期长度为π。

4.正切函数的图象绘制

-选择关键点：绘制图象时，选择关键点如x=kπ/2（k为整数）的值，因为这些点是函数值发生变化的点。

-连接点：将关键点连成平滑的曲线，注意曲线在渐近线处应该无限接近但不接触。

5.正切函数的对称性

-正切函数是奇函数，因此它的图象关于原点对称。

6.正切函数的极限

-当x趋近于kπ时，正切函数的极限不存在（即函数值趋于无穷大或无穷小）。

-当x趋近于kπ/2时，正切函数的极限不存在。

7.正切函数的导数

-正切函数的导数是正切函数的斜率，即f'(x)=sec²(x)。

8.正切函数的应用

-在几何学中，正切函数用于计算直角三角形的未知角度或边长。

-在物理学中，正切函数用于描述物体的运动，如加速度和速度。

-在工程学中，正切函数用于设计和分析机械系统。

9.正切函数与其它三角函数的关系

-正切函数与正弦、余弦函数的关系：tan(x)=sin(x)/cos(x)。

-正切函数与余切函数的关系：cot(x)=1/tan(x)。

10.正切函数在三角方程中的应用

-正切函数在解三角方程中起到关键作用，如解tan(x)=a的方程。

-利用正切函数的性质和图象，可以找到方程的解集。课堂课堂评价是教学过程中不可或缺的一部分，它有助于教师了解学生的学习情况，及时调整教学策略，确保教学目标的实现。以下是针对本节课的课堂评价方法：

1.提问评价

提问是课堂评价的重要手段，通过提问可以检验学生对正切函数知识的掌握程度。以下是一些具体的提问评价方法：

-知识点提问：针对正切函数的定义、性质、图象等基础知识进行提问，如“正切函数的定义是什么？”“正切函数的周期性如何体现？”等。

-应用题提问：设计一些实际问题，让学生运用正切函数知识进行解答，如“如何利用正切函数计算直角三角形的未知边长？”

-分析题提问：针对正切函数的图象和性质进行提问，如“正切函数的图象具有哪些特点？”“正切函数的奇偶性如何？”

-比较题提问：将正切函数与其他三角函数进行比较，如“正切函数与余弦函数有何异同？”

通过提问评价，教师可以了解学生对知识的掌握程度，及时发现学生的困惑和不足，并进行针对性的讲解和指导。

2.观察评价

观察是课堂评价的重要手段之一，教师可以通过观察学生的课堂表现来了解其学习状态。以下是一些具体的观察评价方法：

-注意力观察：观察学生在课堂上的注意力集中程度，如是否认真听讲、积极参与讨论等。

-思考观察：观察学生在课堂上的思考过程，如是否能独立思考、提出问题等。

-合作观察：观察学生在小组讨论中的表现，如是否能与他人合作、分享观点等。

-实践观察：观察学生在实际操作中的表现，如是否能熟练运用正切函数知识进行计算等。

通过观察评价，教师可以了解学生的学习态度、学习习惯和学习能力，为后续的教学提供参考。

3.测试评价

测试是课堂评价的重要手段，通过测试可以检验学生对正切函数知识的掌握程度。以下是一些具体的测试评价方法：

-课堂小测验：在课堂教学中，适时进行小测验，如选择题、填空题等，以检验学生对知识的掌握情况。

-课堂练习：布置一些课堂练习题，让学生在规定时间内完成，以检验学生对知识的运用能力。

-课堂展示：让学生在课堂上展示自己的学习成果，如绘制正切函数图象、解答实际问题等，以检验学生对知识的理解和应用能力。

通过测试评价，教师可以了解学生的学习效果，及时调整教学策略，确保教学目标的实现。

4.反馈评价

课堂评价的最终目的是为了促进学生的发展，因此反馈评价至关重要。以下是一些具体的反馈评价方法：

-课堂点评：在课堂教学中，教师应及时对学生的回答、展示和作业进行点评，肯定学生的优点，指出学生的不足，并提出改进建议。

-作业反馈：对学生的作业进行认真批改和点评，及时反馈学生的学习效果，鼓励学生继续努力。

-个别辅导：针对学生在学习过程中遇到的困难，教师应进行个别辅导，帮助学生克服困难，提高学习成绩。

通过反馈评价，教师可以激发学生的学习兴趣，增强学生的学习动力，促进学生全面发展。课后作业1.绘制正切函数y=tan(x)在区间[-π/2,π/2]内的图象，并标注出其渐近线。

答案：在坐标系中，从x=-π/2开始，正切函数的图象从负无穷大逐渐上升至0，然后从0下降至正无穷大，直到x=π/2。渐近线为垂直于x轴的直线x=-π/2和x=π/2。

2.计算下列角度的正切值：

a)45°

b)135°

c)225°

答案：

a)tan(45°)=1

b)tan(135°)=-1

c)tan(225°)=-1

3.设tan(α)=2，求α的值（结果用弧度表示）。

答案：α=arctan(2)，由于tan(α)在第二象限也为正值，所以α=π+arctan(2)。

4.已知tan(θ)=3/4，求sin(θ)和cos(θ)的值。

答案：由于tan(θ)=sin(θ)/cos(θ)，我们可以设sin(θ)=3k和cos(θ)=4k，其中k是一个常数。由sin²(θ)+cos²(θ)=1，得9k²+16k²=1，解得k²=1/25，因此k=±1/5。由于tan(θ)>0，sin(θ)和cos(θ)同号，取k=1/5，得到sin(θ)=3/5，cos(θ)=4/5。

5.解下列三角方程：

a)tan(x)=2

b)tan(x)=-1

c)tan(x)=1/2

答案：

a)x=arctan(2)+kπ，其中k为整数。

b)x=π/4+kπ，其中k为整数。

c)x=arctan(1/2)+kπ，其中k为整数。

6.在直角三角形ABC中，∠A=30°，∠B=60°，求斜边AC的长度，如果对边BC的长度为3。

答案：由于∠A=30°，在30°-60°-90°的直角三角形中，对边BC是斜边AC的一半，因此AC=2*BC=2*3=6。

7.一个物体在水平面上做匀速直线运动，其加速度为a=5m/s²。求物体在时间t=2秒内的位移s。

答案：使用公式s=1/2*a