(65)-专题65 计算体积容积

专题65计算体积容积

考点聚焦

重点速记

1、长方体和正方体的体积

长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）

正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长）

2、圆柱的体积。

若一个圆柱底面半径为r，高为h，则圆柱的体积为V=πr2h

3、圆锥的体积。

1

圆锥体积=×底面积×高，用字母表示：

3

11

V=Sh=πr2h，（S表示底面积，h表示高）

33

4、组合图形的体积。

可以先把组合图形分解成独立的图形，然后相加减去重叠部分的体积．

5、立体图形的容积。

所有立体图形的体积公式都是底面积乘高．

长方体=长×宽×高

正方体=棱长×棱长×棱长

圆柱=底面积×高，底面积=圆周率×半径的平方

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圆锥=底面积×高÷3．

6、不规则图形的体积。

（1）用排水法来测量不规则物体的体积．在有刻度的量杯里装上水，记下水的体积，把不

规则的物体放入杯中，记下此时的体积，求出两次体积的差，就求出了不规则物体的体积，

最后再将容积单位换算成体积单位．

（2）通过测多个相同物体的体积，然后除以数量得到每个物体的体积．

真题专练

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．一个从里面量底面直径是8分米，高是10分米的圆柱形容器，里面装有8分米深的水，

将一个长5分米，宽4分米，高6分米的长方体铁块放入容器中，水会溢出()升。

A．17.52B．19.52C．20.52D．21.52

2．（2分）（2022•昆明）一个长方体的盒子，从里面量，长8分米、宽5分米、高4分

米．如果把棱长2分米的正方体木块放到这个盒子里，最多能放()个．

A．12B．16C．20D．24

3．下面各图形以虚线为轴旋转一周形成几何体，()图形成的体积与如图形成的体积相等。

ABCD

4．（2分）（2023•惠山区）一个从里面量底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯内盛有一些水，

恰好占杯子容量的2，将一块石块放入，待完全浸没在水中后（水未溢出），这时水面上升

5

了12厘米，刚好与杯子口相平，这个玻璃杯的容积是()毫升。

A．6280B．7536C．7850D．9420

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5．（2分）（2023•渝中区）如图所示，一个拧紧瓶盖的瓶子里水的体积占瓶子容积的60%，

正放时，瓶内水的高度是15cm；倒放以后，水面距离瓶底()cm。

A．10B．12C．15D．25

6．（2分）（2023•沂南县）一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱的体积比圆锥的体积大()

12

A．2倍B．3倍C．D．

33

7．（2分）（2023•渑池县）在下面四个空容器中，分别注入60毫升的水（水均不溢出容器，

容器壁百度忽略不计）。容器底面尺寸如图所示（单位：cm)，水位最高的是()

A．B．C．D．

8．（2分）（2023•惠州）一个长方体，相交于一个顶点的三条棱的长度之和是12cm（长、

宽、高均不相等且为整数），这个长方体的体积最大是()cm3。

A．42B．48C．60D．30

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．（2分）（2023•庐阳区）如图是“圆柱容球”的几何图形，就是圆柱形容器里放了一个

球，且四周紧贴容器内壁，在这个图形中球的体积与圆柱体积的比是2:3，球的表面积与圆

柱表面积的比也是2:3，这时阿基米德最为满意的一个科学发现。如果圆柱的底面直径和高

都是6dm，那么按照“圆柱容球”的发现，球的体积是dm3，球的表面积是dm2。

10．（2分）（2023•江都区）一个圆柱和一个圆锥底面积相等，圆锥与圆柱的体积比是1:6，

圆柱的高是9.6厘米，圆锥的高是厘米。

11．（2分）（2023•赣榆区）如图，一个透明圆柱形水杯，已知杯中有水240毫升，还可以

再装水毫升。

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12．如图，酒瓶中装有一些酒，倒进一只酒杯中，酒杯口的直径是酒瓶的一半，共能倒满

杯．

13．一个圆柱形的罐头盒，高8cm，底面半径是5cm。在它的侧面贴上商标纸，商标纸的面积

是cm2，这个罐头盒的容积是cm3。（罐头盒的厚度忽略不计）

14．（2分）（2023•曾都区）一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，表面积增加了

56平方厘米，原来这个长方体的体积是立方厘米。

15．如图，一个正方形边长为10厘米，在它的四个角各剪掉边长为1厘米的正方形，剩下图

形的周长为厘米，然后将其围成一个长方体，体积为立方厘米。

16．（2分）（2023•南平）淘气有一个陀螺，底面积为15cm2，圆柱与圆锥部分的高都为

3cm，这个陀螺的体积是立方厘米。

三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）

17．（2分）（2023•郯城县）如果圆锥的高是圆柱的高的3倍，那么它们的体积相等．．

1

18．一个圆锥的底面半径扩大到原来的4倍，高缩小到原来的，圆锥的体积不变。

16

19．（2分）（2023•金湖县）如果两个长方体的体积相等，那么它们的长、宽、高也一定分

别相等。

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20．（2分）（2023•防城区）一个正方体的棱长是6厘米，它的表面积和体积相等．

四．计算题（共2小题，满分12分，每小题6分）

21．（6分）（2023•金安区）按要求计算：单位：cm

（1）如图1，求出它的表面积．

（2）如图2，求出它的体积．

22．（6分）（2023•洛阳）求如图物体的体积。

五．解答题（共8小题，满分48分，每小题6分）

23．（6分）（2023•渌口区）一个棱长是4分米的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是

12平方分米的圆锥形的容器里，正好装满，这个圆锥的高是多少分米？

24．（6分）（2023•鲤城区）我们的祖先早在公元前700多年就发明了水漏计时的方法。科

技小组的同学也尝试用玻璃做了一个长方体水漏计时器，这个计时器长3分米，宽2分米，

高5分米，水全部漏完需要10小时。某天上午10时，同学们往水漏计时器里加水。希望下

午2时上学时能刚好漏完，同学们往水漏计时器里加入10L水，够吗？（请计算说明）

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25．（6分）（2023•金水区）郑州地区陶文化历时久远，黄河澄泥砚就是河南省非物质文化

遗产之一。它以沉淀千年的黄河渍泥为原料，经特殊炉火烧炼而成，是传统书法用具，被列

为中国四大名砚之一。图有一个圆柱形砚台，它的体积大约是多少？

26．（6分）（2023•蒙阴县）一个圆锥形沙堆，底面积是28.26平方米，高是2.5米．用这

堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？

27．（6分）（2023•未央区）下面是一个零件的示意图（单位：厘米），它是由一个长方体

从前往后挖掉（挖通）一个底面直径为10厘米的圆柱体得到的，求这个零件的体积。(p取

3.14)

28．如图所示，三名同学分别用了三种不同方法测量不同土豆的体积。（单位：cm)

（1）方法不能正确测量出土豆的体积。

（2）请你选出上面一种合理的方法，计算出所测土豆的体积。

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29．（6分）（2023•隆昌市）把一个圆柱沿底面直径竖直切成四块（如图①)，表面积增加

了48cm2；平行于底面切成三块（如图②)，表面积增加了50.24cm2；削成一个最大的圆锥（如

图③)，体积减少了多少立方厘米？

30．聪聪非常喜欢研究数学问题。妈妈的生日那天，聪聪从超市买来两个同样的礼品，如图

一。通过测量，他发现每个礼品的长、宽、高分别是15厘米、5厘米、4厘米。

聪聪想给妈妈一个惊喜，准备将这两个礼品重叠起来，再用彩纸给表面包装起来写上“妈妈

生日快乐！”。通过探索，他发现有3种不同的重叠方式，如图二。

他还发现两个结论：①无论怎样摆放，这两个礼品所占空间的大小不变；

②由于摆放方法不同，所需的外包装纸的大小不同。

（1）请帮聪聪算一算，这两个礼品所占的空间是多大？

（2）聪聪如果按最节省彩纸的方法包装，需要多少平方厘米彩纸？

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专题65计算体积容积

参考答案

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．【分析】根据题意可知，溢出水的体积=原来水的体积+长方体铁块的体积-圆柱形容器

的容积，据此解答即可。

【解答】解：8¸2=4（分米）

3.14´42´8+5´4´6-3.14´42´10

=120-3.14´42´(10-8)

=120-100.48

=19.52（立方分米）

19.52立方分米=19.52升

答：水会溢出19.52升。故选：B。

【点评】此题主要考查圆柱的体积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

2．【分析】首先分别求出沿长方体的长一排可以放几个，沿长方体的宽可以放几排，沿长方

体的高可以放几层，然后根据长方体的体积公式：V=abh，把数据代入公式解答．

【解答】解：8¸2=4（个)

5¸2=2（排)¼1（分米）

4¸2=2（层)

4´2´2=16（个)

答：最多能放16个．故选：B．

【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．

3．【分析】这个图形中三角形绕一条直角边所在的直线旋转一周得到的是底面半径为2厘米，

1

高为6厘米的圆锥，根据圆锥的体积计算公式“V=pr2h”即可求出它的体积；同理可求出

3

选项A中旋转形成的圆柱体积；选项B中长方形绕它的一条边旋转一周得到的立体图形是一

个底面半径为2厘米，高为3厘米圆柱，根据圆柱的体积计算公式“V=pr2h”即可求出它的

体积；同理，可求出选项C的体积，选项D中旋转成的圆锥的体积；根据圆锥的体积计算公

1

式“V=pr2h”即可求出它的体积；然后通过比较即可进行选择。

3

1

【解答】解：p´22´6´=8p(cm3)

3

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A、p´22´2=8p(cm3)

B、p´22´3=12p(cm3)

C、p´32´2=18p(cm3)

1

D、´p´62´2=24p(cm3)

3

故选：A。

【点评】此题主要是考查圆柱体积的计算、圆锥体积的计算．在这里五个算式中都有p，没

必须取3.14再计算，体积可以用含有p的式子表示。

4．【分析】根据题意，可以先求出圆柱形杯子的高，已知原来杯子里面的水占杯子容量的

22

，即杯中水的高也占杯子高，将一块石块放入浸没在水中，这时水面上升了12厘米，刚

55

2

好与杯子口相平，把杯子的高看作单位“1”，12厘米占杯子高的(1-)，由此可以求出杯子

5

的高；再根据圆柱体的体积（容积）公式，v=sh，列式解答。

2

【解答】解：12¸(1-)

5

3

=12¸

5

=20（厘米）

3.14´(20¸2)2´20

=3.14´100´20

=6280（立方厘米）

6280立方厘米=6280毫升

答：这个玻璃杯的容积是6280毫升。故选：A。

【点评】此题解答关键是求出杯子的高，再根据圆柱体的体积（容积）计算公式解答即可。

5．【分析】把瓶子的容积看作单位“1”，把瓶子的容积看作是水的体积和空气的体积之和，

因为水的体积占瓶子容积的60%，则空气的体积占瓶子容积的(1-60%)，假设瓶子底面积为

S，瓶子倒放后水面距离瓶底的高度为h。则根据题意可得：15S=60%，Sh=40%，据此即可

求出h。

【解答】解：把瓶子的容积看作单位“1”，把瓶子的容积看作是水的体积和空气的体积之和。

因为水的体积占瓶子容积的60%，则空气的体积占瓶子容积的：1-60%=40%

假设瓶子底面积为S，瓶子倒放后水面距离瓶底的高度为h，则根据题意可得：

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15S=60%，即S=60%¸15=0.04（平方厘米）

因为瓶子不管正放还是倒放空气的体积没有变化，所以：

Sh=40%，即0.04h=40%，所以h=40%¸0.04=10（厘米）

答：倒放以后，水面距离瓶底10cm。故选：A。

【点评】本题考查了圆柱体体积的应用。

6．【分析】根据一个圆柱体和一个圆锥体在“等底等高”的条件下，圆柱体的体积应是圆锥

体的3倍，把圆锥体的体积看作1份，那圆柱体的体积是3份，由此得出圆柱体积比圆锥的

体积大的倍数。

【解答】解：因为，等底等高的圆柱体的体积是圆锥体的体积的3倍，所以把圆锥体的体积

看作1份，那圆柱体的体积是3份。

圆柱体积比圆锥的体积大的倍数：

(3-1)¸1

=2¸2

=2

答：一个圆锥和一个圆柱等底等高，圆柱体积比圆锥的体积大2倍。故选：A。

【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。

7．【分析】由于向四个空容器中分别倒入同样多的水，则容器的底面积越小，容器的水位越

高，依此计算四个空容器的底面积进行比较即可求解。

【解答】解：5´4=20(cm2)

4´4=16(cm2)

3´4=12(cm2)

(4¸2)2´3.14

=22´3.14

=4´3.14

=12.56(cm2)

20>16>12.56>12

所以容器C的水位最高。故选：C。

【点评】本题考查了长方体的体积和圆柱的容积，关键是灵活运用长方体的体积和圆柱的容

积公式。

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8．【分析】根据题意，相交于一个顶点的三条棱的长度之和是12厘米（长、宽、高均不相

等且为整数），要使这个长方体的体积最大，那么只有它最接近正方体时候（长、宽、高的

差最小，均不相等且为整数）才符合题意，所以可以求出长方体的长、宽、高分别是5厘米、

4厘米、3厘米，根据长方体的体积=长´宽´高，解答即可。

【解答】解：当图形越接近正方体时，体积越大，可知长方体的长、宽、高分别是5厘米、4

厘米、3厘米。

5´4´3

=20´3

=60（立方厘米）

答：长方体的体积最大是60立方厘米。故选：C。

【点评】本题考查了长方体体积公式的灵活运用，解决本题的关键是明确在长方体的棱长和

一定时，长、宽、高的差越小，体积越大。

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．【分析】圆柱的高与底面直径相等，都是6厘米；据此求出圆柱的体积和表面积，再利用

比例可得求得球的体积。据此解答。

2

【解答】解：3.14´(6¸2)2´6´

3

=3.14´9´4

=113.04（立方分米）

2

[3.14´(6¸2)2´2+3.14´6´6]´

3

2

=[3.14´18+3.14´36]´

3

2

=3.14´54´

3

=3.14´36

=113.04（平方分米）

答：球的体积是113.04dm3，球的表面积是113.04dm2。故答案为：113.04，113.04。

【点评】解答本题的关键是熟练掌握圆柱的体积和表面积计算公式，知道球与圆柱的关系。

10．【分析】根据等底等高的圆锥与圆柱体积比是1:3，已知一个圆锥和一个圆柱的底面积相

等，体积的比是1:6．由此推出这个圆锥与这个圆柱的高的比是1:2；也就是圆柱的高应该是

圆锥高的2倍；由此解答。

【解答】解：设圆柱和圆锥的底面积为S，圆柱高为h，根据题意得：

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1

V圆锥=´9.6S

3

V圆柱=Sh

得，V圆柱=6V圆锥

1

Sh=6´´9.6S

3

h=19.2（厘米）

答：圆锥的高是19.2厘米。故答案为：19.2。

【点评】此题主要根据等底等高的圆锥的体积是圆柱的体积的这一关系，由已知圆锥和圆柱

体积的比是1:6，推导出这个圆锥与圆柱高的比是1:2；由此解答即可。

11．【分析】根据圆柱的体积=底面积´高，底面积=圆柱体积¸高，求出圆柱的底面积，再

乘15，求出圆柱的体积，再减去240毫升，即可解答。

【解答】解：240毫升=240立方厘米

240¸10=24（平方厘米）

24´15-240

=360-240

=120（立方厘米）

120立方厘米=120毫升

答：还可以再装水120毫升。故答案为：120。

【点评】本题考查的是圆柱的体积计算，熟记公式是解答关键。

12．【分析】要求共能倒江满多少杯，要求出酒杯的容积，和酒瓶内酒的体积．因酒杯口的

直径直酒瓶直径的一半，那么酒瓶的半径就是酒杯口半径的2倍．设酒杯的半径是r，高是

13

h，则酒杯的容积为pr2h，酒瓶内酒的体积为p(2r)2h´(1+)．具此可解．

32

1

【解答】解：设酒杯的半径是r，高是h，酒杯的容积=pr2h，

3

3

酒瓶中酒的体积=p(2r)2h´(1+)=10pr2h．

2

1

能倒的杯数就是(10pr2h)¸pr2h=30（杯)．故答案为：30．

3

【点评】综合考查学生对圆锥，圆柱体积公式的灵活应用能力，以及分数应用题．

13．【分析】根据圆柱的侧面积公式：S=2prh，圆柱的体积（容积）公式：V=pr2h，把数

据代入公式解答。

【解答】解：2´3.14´5´8

=31.4´8

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=251.2（平方厘米）

3.14´52´8

=3.14´25´8

=78.5´8

=628（立方厘米）

答：商标纸的面积是251.2平方厘米，这个罐头盒的容积是628立方厘米。故答案为：251.2

628。

【点评】此题主要考查圆柱的侧面积公式、体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。

14．【分析】由题意可知，一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，表面积增加了56

平方厘米，表面积增加的是高为2厘米的长方体的4个侧面的面积，用增加的面积除以4求

出原来长方体的底面周长，用底面周长除以4求出底面边长，原来长方体的高比底面边长短2

厘米，据此可以求出原来的高，然后根据长方体的体积公式：V=abh，把数据代入公式解答。

【解答】解：56¸2¸4

=28¸4

=7（厘米）

7´7´(7-2)

=49´5

=245（立方厘米）

答：原来长方体的体积是245立方厘米。故答案为：245。

【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

15．【分析】通过观察图形可知，剩下图形的等于原来正方形的周长，根据正方形的周长=

边长´4，把数据代入公式解答；围成长方体的底面边长是(10-1-1)厘米，高是1厘米，根据

长方体的体积公式：V=abh，把数据代入公式解答。

【解答】解：10´4=40（厘米）

(10-1-1)´(10-1-1)´1

=8´8´1

=64（立方厘米）

答：剩下图形的周长是40厘米，围成长方体的体积是64立方厘米。故答案为：40，64。

【点评】此题主要考查正方形的周长公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

1

16．【分析】根据圆柱的体积公式：V=Sh，圆锥的体积公式：V=Sh，把数据代入公式求

3

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出它们的体积和即可。

1

【解答】解：15´3+´15´3

3

=45+15

=60（立方厘米）

答：这个陀螺的体积是60立方厘米。故答案为：60。

【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）

1

17．【分析】圆柱的体积=底面积´高，圆锥的体积=´底面积´高，由此根据体积公式即可

3

推理解答．

【解答】解：圆柱与圆锥的体积不仅与它的高有关，还与它们的底面积有关，只有在底面积

相等的情况下：“如果圆锥的高是圆柱的高的3倍，那么它们的体积相等”才成立，

所以原题说法错误．故答案为：错误．

【点评】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用，要求小学生要注意数学语言的严密

性和准确性．

1

18．【分析】根据圆锥的体积公式：V=pr2h，圆锥的底面半径扩大到原来的4倍，圆锥的

3

1

底面积就扩大到原来的(4´4)倍，高缩小到原来的，圆锥的体积不变。据此判断。

16

1

【解答】解：4´4´=1

16

1

所以一个圆锥的底面半径扩大到原来的4倍，高缩小到原来的，圆锥的体积不变。

16

因此题干中的结论是正确的。故答案为：Ö。

【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活应用，因数与积的变化规律及应用。

19．【分析】长方体的体积V=abh，可以假设出长方体的体积，进而就能确定出长、宽、高

的值，就可以进行判断。

【解答】解：假设长方体的体积为24立方厘米，

因为4´2´3=24，2´2´6=24，

所以长方体的长、宽、高可以为4厘米、2厘米和3厘米，

也可以为2厘米、2厘米、6厘米，

所以两个长方体的体积相等，它们的长、宽、高不一定相等。故答案为：´。

【点评】此题主要考查长方体的体积的计算方法，举实例证明，即可推翻题干的结论。

20．【分析】正方体的表面积是指它的6个面的总面积；正方体的体积是指它所占空间的大

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小；正方体的表面积和体积单位不相同，没法比较它们的大小，由此判断即可．

【解答】解：因为正方体的表面积和体积单位不相同，没法比较它们的大小，

所以“一个正方体的棱长是6厘米，它的表面积和体积相等”的说法是错误的．故答案为：

´．

【点评】比较两个数的大小必须是统一单位下，面积和体积的单位不同，没法比较．

四．计算题（共2小题，满分12分，每小题6分）

21．【分析】（1）根据圆柱的表面积=侧面积+底面积´2，圆柱的侧面积=底面周长´高，

圆的面积公式：S=pr2，把数据代入公式解答．

1

（2）根据圆锥的体积公式：V=pr2h，把数据代入公式解答．

3

【解答】解：（1）3.14´10´15+3.14´(10¸2)2´2

=31.4´15+3.14´25´2

=471+157

=628（平方厘米）

答：这个圆柱的表面积是628平方厘米．

1

（2）´3.14´(10¸2)2´12

3

1

=´3.14´25´12

3

=314（立方厘米）

答：这个圆锥的体积是314立方厘米．

【点评】此题主要考查圆柱的表面积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．

22．【分析】观察图形可知，这个图形的体积等于长30厘米，宽20厘米，高15厘米的长方

体的体积减去底面直径为10厘米，高30厘米的半圆柱的体积一半，据此利用长方体和圆柱

体的体积公式计算即可解答。

【解答】解：30´20´15-3.14´(10¸2)2´30¸2

=9000-3.14´25´15

=9000-1177.5

=7822.5(cm3)

答：物体的体积是7822.5立方厘米。

【点评】此题考查了计算不规则物体的体积的计算方法。

五．解答题（共8小题，满分48分，每小题6分）

第15页共18页

23．【分析】根据题意可知，倒入前后的水的体积不变，由此先利用正方体的容积公式：V=a3

求出水的体积，再利用圆锥的高=水的体积´3¸底面积，即可解答．

【解答】解：4´4´4´3¸12

=64´3¸12

=192¸12

=16（分米）

答：这个圆锥形容器的高是16分米．

【点评】此题考查了正方体和圆锥的体积公式的灵活应用，此题中水的体积就是正方体和圆

锥的容积，抓住水的体积不变进行解答是关键．

24．【分析】用计时器中水的体积除以10，求每小时漏的水的体积，再乘(14-10)，求需要的

水的体积，与10升比较即可。

【解答】解：下午2时=14时

3´2´5¸10´(14-10)

=30¸10´4

=12（立方分米）

12立方分米=12升

12>10

答：不够。

【点评】本题主要考查长方体体积公式的应用。

25．【分析】根据圆柱的体积=底面积´高，解答此题即可。

【解答】解：10¸2=5（厘米）

3.14´5´5´5=392.5（立方厘米）

答：它的体积大约是392.5立方厘米。

【点评】熟练掌握圆柱的体积公式，是解答此题的关键。

1

26．【分析】要求能铺多少米，首先根据圆锥的体积公式：V=sh，求出沙堆的体积，把这

3

堆沙铺在长方形的路面上就相当于一个长方体，只是形状改变了，但沙的体积没有变，因此，

用沙的体积除以长方体的宽与高的乘积就是所铺的长度．由此列式解答．

【解答】解：2厘米=0.02米，

1

´28.26´2.5¸(10´0.02)

3

=9.42´2.5¸0.2

第16页共18页

=23.55¸0.2

=117.75（米)

答：能铺117.75米．

【点评】本题主要考查了学生对圆锥和长方体体积公式的掌握，注意题目中的单位．

27．【分析】通过观察图形可知，这个零件的体积等于长方体的体积减去圆柱的体积，根据

长方体的体积公式：V=abh，圆柱的体积公式：V=pr2h，把数据代入公式