(60)-专题60 组合图形

专题60组合图形

考点聚焦

重点速记

一、平面图形的切拼。

1.图形的剪拼，即把一个几何图形剪成几块形状相同的图形，或是把一个几何图形剪开后拼

成另一种满足某种条件的图形。完成这样的图形剪拼，需要考虑图形剪开各部分的形状、大

小以及它们之间的位置关系。

2.在拼图形的过程中，要从图形的性质入手，观察它的对称点，对称轴，从这些性质出发解

决问题。

二、图形的拼组。

1．平面镶嵌的概念：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不

留空隙，不重叠地拼接在一起，这就是平面镶嵌．

2．规律：

用相同的正多边形镶嵌：只用一种多边形时，可以进行镶嵌的是三角形、四边形或正六边形．

用不同的正多边形镶嵌：

（1）用正三角形和正六边形能够进行平面镶嵌；

（2）用正十二边形、正六边形，正方形能够进行平面镶嵌．

三、简单的立方体切拼问题。

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1．拼起来，表面积减小，因为面的数目减少．

2．剪切会增加表面积，因为面的数目增加．

3．两种方式的体积都没有发生变化．

四、图形的密铺。

用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺

成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．

①正多边形密铺：

正六边形可以密铺，因为它的每个内角都是120°度，在每个拼接点处恰好能容纳3个内角；

正五边形不可以密铺，因为它的每个内角都是108度，而360°不是108的整数倍，在每个

拼接点处的内角不能保证没空隙或重叠现象；除正三角形、正四边形和正六边形外，其它正

多边形都不可以密铺平面．

②不可单独密铺的图形：a、所有任意三角形与任意四边形都可以密铺．b、正三角形、正四

边形、正六边形可以单独用于平移密铺．c、三对对应边平行的六边形可以单独密铺．

真题专练

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．下图是由5个相同的正方体木块搭成的几何体，从上面看到的图形是()

ABCD

11

2．如图中涂色部分的面积是长方形面积的，是圆面积的，圆的面积是长方形面积的()

64

3423

A．B．C．D．

4332

3．（2分）（2023•金湾区）如图所示，每个圆的直径是4cm，那么涂色部分的面积是()

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A．16cm2B．12.56cm2C．9.72cm2D．3.44cm2

4．（2分）（2023•莆田）正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到

5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，

¼¼，以此类推，根据以上操作，若要得到53个正方形，需要操作的次数是()

A．12B．13C．14D．15

5．如所示四幅图，每幅图都有一个小图形和一个大图形。下面描述不正确的是()

A．每幅图中，大图形都是由小图形累加得到。

B．每幅图中，小图形都可以用来测量大图形。

C．大图形里包含几个小图形，测量的结果就是几。

D．每幅图中，大图形都是由9个小图形组成。

6．如图，至少添上()个小正方体，就能拼成一个大正方体。

A．11B．16C．25D．27

7．（2分）（2023•永嘉县）文文家的客厅长3.6米，宽3.3米。要给这间客厅铺地砖，下面

哪一种地砖可以不用切割，正好密铺？()

A．40cm´40cmB．50cm´50cmC．110cm´60cmD．80cm´80cm

8．下面()图，和正好拼成一个棱长为2的大正方体。（每个小正方体的棱长为

1)

A．B．C．D．

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

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9．（2分）（2023•东阿县）如图所示，把一个高为10厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个

近似的长方体．如果这个长方体的底面积是50平方厘米，那么圆柱体积是立方厘米．

10．（2分）（2023•福清市）如图，两个同心圆中间有一个正方形，正方形的面积是10平

方厘米，外圆的面积是平方厘米，外圆的面积与内圆的面积比是(:)

11．一张长方形纸长26cm、宽20cm，用它剪半径3cm的圆，最多可以剪个。

12．（2分）（2021•兴义市）数学课上小兰要在一张正方形纸片上剪一个面积是12.56cm2的

圆形，她至少要准备一张面积cm2的正方形纸片。

13．（2分）（2021•瑞金市）用圆规画周长为25.12cm的圆，圆规两脚间的距离应该是，

若在一块长24cm、宽14cm的卡纸上，最多可剪个这样的圆片。

14．如图所示，如果圆的直径是6厘米，那么正方形的面积是平方厘米．

15．（2分）（2023•南平）如图，用“十字形”分割正方形，分割一次，分成了4个正方形，

分割两次，分成了7个正方形（不计组合成的正方形），分割三次，分割成正方形。如

果连续用“十字形”分割10次，分成了正方形。

16．一张等腰三角形纸片，底和高的比是8:3．把它沿底边上的高剪开，可以拼成一个长方

形．拼成的长方形的周长是28厘米，原来这张三角形纸片的面积是平方厘米．

三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）

17．（2分）（2023•洛龙区）两个等底、等高的三角形一定可以拼成一个平行四边形．

18．（2分）（2023•永川区）由4个棱长1分米的小正方体拼成的长方体，表面积可能是18

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平方分米，也可能是16平方分米．．

19．（2分）（2023•郯城县）任何两个等底等高的三角形都能拼成一个平行四边形。

20．（2分）（2022•米脂县）一个立体图形，从上面和正面看到的形状是，搭建这样的

立体图形至少需要5个小正方体。

四．计算题（共2小题，满分12分，每小题6分）

21．（6分）（2023•湾沚区）计算如图图形阴影部分的面积。

22．（6分）（2022•济宁）求图形中阴影部分的面积。

五．应用题（共8小题，满分48分，每小题6分）

23．（6分）（2023•大城县）在长是7.8cm，宽是4.6cm的长方形纸上，最多可以剪下多少个

半径是1cm的圆？

24．（6分）（2022•大渡口区）某种饮料罐的形状为圆柱形，底面直径为6cm，高为12cm，

将24罐这种饮料按如图所示的方式放入箱内，这个箱子的长、宽、高至少是多少厘米？这个

纸箱的容积至少有多大？

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25．（6分）（2021•西城区）小明先将两张同样长的长方形卡片分别等分成3份和4份（如

图1所示），然后进行了重新拼摆（如图2所示），拼摆后的图形长多少厘米？

26．（6分）（2020•雨花区）草原上有一等边三角形建筑物边长是6米，一只羊被拴在建筑

物的一个角上.已知绳子长8米，这只羊能吃到草的总面积是多少平方米？(p取3.14，结果精

确到小数点后一位）

27．（6分）（2021•曲阜市）如图中，半圆的半径是3厘米，中间是一个顶点在半圆上的等

腰直角三角形．阴影部分的面积是多少平方厘米？

28．（6分）（2023•凤凰县）如图是一张长方形的硬纸板．请你沿着图中的虚线把这张硬纸

版剪成三块，使每一块都可以折成一个无盖的正方体．该怎样剪？（在图中画出来）．

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29．（6分）（2022•固安县）下面图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。请画出图形⑤，

并把下表补充完整。

图形①②③④⑤

面积/cm20.250.751.5

周长/cm246

30．（6分）（2023•固镇县）如图，A、B两种积木一共用了15块，交替而且没有规律地拼

成了一个大的长方体，两种积木各用了多少块？

?

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专题60组合图形

参考答案

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．【分析】从侧面看到的形状是下面两个正方形，上面一个正方形；正面看到的是下面3个

正方形上面一个正方形在右边；从上面看到的形状是下面3个正方形上面一个正方形在左边．

【解答】解：由分析得，从上面看到的图形是：故选：C。

【点评】此题考查了从不同方向观察物体和几何体．锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能

力．

1111

2．【分析】由题意可知：长方形面积的等于圆面积的，即长方形面积´=圆面积´，

6464

要求圆的面积是长方形面积的几分之几，用圆的面积除以长方形的面积即可。

11112

【解答】解：因为长方形面积´=圆面积´，所以，圆的面积¸长方形的面积=¸=。

64643

2

答：圆的面积是长方形面积的。故选：C。

3

【点评】此题的关键是明确长方形面积的1等于圆面积的1，再根据求一个数是另一个数的

64

几分之几，用除法进行解答。

3．【分析】

阴影部分面积=边长是4厘米的正方形的面积-半径2厘米的圆的面积，据此解答即可。

【解答】解：4´4-3.14´(4¸2)2

=16-12.56

=3.44（平方厘米）

答：涂色部分的面积是3.44平方厘米。故选：D。

【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本

的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。

4．【分析】根据正方形的个数变化可设第n次得到53个正方形，则4n+1=53，求出即可。

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【解答】解：第1次：分别连接各边中点如图2，得到4+1=5（个)正方形；

第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4´2+1=9（个)正方形.....，以

此类推，根据以上操作，若第n次得到53个正方形，则4n+1=53，解得：n=13。故选：B。

【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键。

5．【分析】如所示四幅图，每幅图都有一个小图形和一个大图形。每幅图中，大图形都是由

小图形累加得到；每幅图中，小图形都可以用来测量大图形；大图形里包含几个小图形，测

量的结果就是几；第1、2、4幅图中，大图形都是由9个小图形组成，第3幅图中，大图形

都是由27个小图形组成。

【解答】解：如所示四幅图，每幅图都有一个小图形和一个大图形。描述不正确的是每幅图

中，大图形都是由9个小图形组成。故选：D。

【点评】本题主要考查图形的拼组，关键找到每幅图中小图形和大图形的关系。

6．【分析】观察图形可知：拼组后的大正方体的每条棱长至少是由3个小正方体组成的，由

此可以求出拼组后的大正方体中的小正方体的个数，再减去图中已有的小正方体个数即可。

【解答】解：3´3´3-11

=27-11

=16（个)

答：至少再添16个小正方体。故选：B。

【点评】此题主要考查了学生通过观察立体图形解决问题的能力，根据已知图形确定出拼组

后的正方体的最小棱长是解决本题的关键。

7．【分析】把文文家客厅的长、宽化成厘米，长、宽必须是正方形地砖边长的倍数；若是地

砖长方形，客厅长、宽必须是地砖长（或宽）的倍数，客厅宽必须是地砖的宽（或长）的倍

数。

【解答】解：3.6米=360厘米

3.3米=330厘米

A、360¸40=9

330¸40=8.25不符合题意；

B、360¸50=7.2不符合题意；

C、360¸60=6

330¸110=3符合题意；

D、360¸80=4.5不符合题意。故选：C。

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【点评】由于地砖不用切割，因此，客厅的长、宽必须是正方形地砖的倍数，若是地砖长方

形，客厅长、宽必须是地砖长（或宽）的倍数，客厅宽必须是地砖的宽（或长）的倍数。

8．【分析】根据图形拼组知识，结合题意可知，和正好拼成一个棱长为2的大正方

体。据此解答即可。

【解答】解：和正好拼成一个棱长为2的大正方体。故选：A。

【点评】本题考查了图形拼组知识，结合题意分析解答即可。

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．【分析】观察图形可知：这个长方体的底面积等于原来圆柱的底面积，长方体的高等于原

来圆柱的高，由此利用圆柱的体积公式即可计算解答．

【解答】解：50´10=500（立方厘米），

答：这个圆柱的体积是500立方厘米．故答案为：500．

【点评】抓住圆柱切割拼组长方体的方法，得出长方体的底面积和高分别与原来圆柱的底面

积和高相等，是解决本题的关键．

10．【分析】因为正方形面积是边长的平方，正方形的边长又是内圆的直径，正方形的对角

线又是外圆的直径，由此可求出内外圆的面积。

【解答】解：设正方形的边长为a厘米，a´a=10平方厘米

aa10

S内圆=3.14´´=3.14´=7.85（厘米2)

224

设外圆半径为r厘米。2r´r¸2´2=10

2r´r=10

r´r=5

S外圆=3.14´r´r=3.14´5=15.7（厘米2)

15.7:7.85=2:1

故答案为：15.7（厘米2)，2:1。

【点评】本学生题主要考查了学生的观察能力，以及对圆与正方形特征的掌握。

11．【分析】根据题意可知，半径是3厘米的圆的直径是(3´2)厘米，也就是在边长为(3´2)

厘米的正方形纸上可以剪一个半径是3厘米的圆，根据“包含”除法的意义，用除法求出长

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方形的长里面包含多少个(3´2)厘米，长方形的宽里面包含多少个(3´2)厘米，然后根据乘法

的意义，用乘法解答。

【解答】解：3´2=6（厘米）

26¸6=4（个)¼¼2（厘米）

20¸6=3（个)......2（厘米）

4´3=12（个)

答：最多可以剪12个。故答案为：12。

【点评】此题解答的关键是明确：半径是3厘米的圆必须在边长是6厘米的正方形内剪出。

所以先求出长方形的长和宽各包含多少个6厘米，进而求出可以剪出圆的个数。

12．【分析】要剪一个面积是12.56平方厘米的圆形纸片，求至少需要面积是多少平方厘米

的正方形纸片，所需要的正方形纸张的边长应等于圆的直径，圆的面积已知，于是可以利用

圆的面积求出半径的平方值，而正方形的边长等于2´半径，从而可以求出正方形纸张的面积。

【解答】解：设圆的半径为r，则正方形纸张的边长为2r

则r2=12.56¸3.14

=4（厘米）

正方形的面积：

2r´2r

=4r2

=4´4

=16（平方厘米）

答：她至少要准备一张面积16cm2的正方形纸片。故答案为：16。

【点评】解答此题的关键是明白：正方形纸张的边长应等于圆的直径。

13．【分析】圆规两脚间的距离即为圆的半径，根据圆的周长公式C=2pr即可求出。

半径为4厘米的圆的直径是8厘米，求出这张长方形纸的长里面有几个8厘米，宽里面有几

个8厘米，然后把它们乘在一起即可。

【解答】解：25.12¸3.14¸2

=8¸2

=4(cm)

答：圆规两脚间的距离应取4cm。

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2´4=8（厘米）

24¸8=3（个)

14¸8=1（个)¼¼6（厘米）

1´3=3（个)

答：最多能剪3个。故答案为：4cm，3。

【点评】本题考查了圆的周长公式的灵活运用及剪拼知识，抓住在长方形内剪切圆的方法即

可解答此类问题。

14．【分析】根据题意知把圆的内接正方形分成4个小等腰直角三角形，每个等腰直角三角

形的直角边长都等于圆的半径，根据三角形的面积公式：S=ah¸2，即可求出一个三角形的

面积，再乘4就是正方形的面积．据此解答．

【解答】解：(6¸2)´(6¸2)¸2´4

=3´3¸2´4

=18（平方厘米）答：正方形的面积是18平方厘米．故答案为：18．

【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本

的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可．

15．【分析】根据图示可知：

分割1次，分成了4个正方形，4=1´3+1；

分割2次，分成了7个正方形，7=2´3+1；

分割3次，分成了3´3+1=10（个)正方形；

¼¼

分割n次，分成了3n+1个正方形。

据此解答。

【解答】解：分割1次，分成了4个正方形，4=1´3+1；

分割2次，分成了7个正方形，7=2´3+1；

分割3次，分成了3´3+1=10（个)正方形；

¼¼

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分割n次，分成了3n+1个正方形。

3´10+1=31（个)

答：分割三次，分割成10个正方形。如果连续用“十字形”分割10次，分成了31个正方形。

故答案为：10个；31个。

【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。

16．【分析】如图所示，三角形的底和高的比是8:3，底是8则高是3，拼成的长方形的长占

“4”份，宽占“3”，

周长是(4+3)´2=14（份)，由实际长方形的周长是28厘米，则28¸14=2（厘米），每份是2

厘米，由此求出长方形的长和宽，面积可以求出，三角形的面积和长方形面积相等．

【解答】解：如图，

(4+3)´2=14（份)；

28¸14=2（厘米）；

4´2=8（厘米），3´2=6（厘米）；

S△=S长方形=长´宽=8´6=48（平方厘米）．

答：原来这张三角形纸片的面积是48平方厘米．故答案为：48．

【点评】此题考查了图形的拼组，按照比例画出图形，根据比例求出各边长是解决此题的关

键．

三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）

17．【分析】等底等高的三角形形状不一定一样，故组成的不一定是平行四边形；如：两个

三角形，一个是直角的，一个是钝角的，并且等底等高，不能拼成平行四边形；关键是要两

个三角形形状完全一样（全等）．

【解答】解：两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形，而两个等底等高的三角形不一

定能拼成一个平行四边形，如图：

所以原题说法错误．故答案为：´．

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【点评】两个三角形拼成平行四边形的条件是：只有两个完全相同的三角形才能拼成一个平

行四边形．

18．【分析】由4个棱长1分米的小正方体拼成的长方体，可以有两种拼法，可以拼成长、

宽、高分别是4分米、1分米、1分米的长方体，也可以拼成长、宽、高分别是2分米、1分

米、2分米的长方体，根据长、宽、高求出表面积判断．

【解答】解：4´1´4+1´1´2，

=18（平方分米），

2´1´4+2´2´2，

=16（平方分米），故答案为：正确．

【点评】此题主要考查简单的立方体切拼问题以及长方体表面积的求法．

19．【分析】等底等高的两个三角形的面积相等，但是形状不一定相同，只有两个完全一样

的三角形能拼成一个平行四边形而不是面积相等的两个三角形，据此解答。

【解答】解：两个完全一样的三角形才可以拼成一个平行四边形。故原题说法错误。

故答案为：´。

【点评】本题考查了两个完全一样的两个三角形，才能拼成一个平行四边形。

20．【分析】这个立方体图形，从正面看是3个正方形，说明从正面看是由3个小正方体组

成的，分两层，下层2个，上层1个居左，从上面看也是3个正方形，由3个正方体组成，

分两行，前面一行有3个，这3个就是从正面看到的这3个小正方体，后面一行最少有1个，

最多有2个，据此解答。

【解答】解：从上面和正面看到的形状都是如图：

搭成这样的立体图形前排3个小正方体，后排靠左边最少有1个，最多有2个。

最少需要3+1=4（个)

最多需要3+2=5（个)故答案为：´。

【点评】本题是从不同方向观察物体和几何体，意在训练学生观察能力和分析判断能力。

四．计算题（共2小题，满分12分，每小题6分）

21．【分析】如图：

第14页共19页

图中半圆的直径是5厘米，半径是5¸2=2.5（厘米）。右边的阴影部分割补到左面后，图中

的阴影部分面积等于底是5厘米，高是5厘米的三角形面积减去底是5厘米，高是5¸2=2.5

（厘米）的三角形面积，据此解答即可。

【解答】解：如图：

5´5¸2-5´(5¸2)¸2

=12.5-6.25

=6.25（平方厘米）

答：阴影部分的面积是6.25平方厘米。

【点评】本题考查了组合图形面积计算知识，结合三角形的面积公式解答即可。

22．【分析】圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，根据公式：

2222

S=pr2-pr1=p(r2-r1)据此解答即可．

【解答】解：3.14´(62-42)

=3.14´20

=62.8（平方厘米）

答：图形中阴影部分的面积是62.8平方厘米．

【点评】本题考查了圆环面积公式的灵活应用．

五．应用题（共8小题，满分48分，每小题6分）

23．【分析】半径为1厘米的圆，直径是1´2=2厘米，因为圆是不能密铺的图形，所以把圆

看作边长是2厘米的正方形，求出这张长方形纸的长里面有几个2厘米，宽里面有几个2厘

米，然后把它们乘在一起即可

【解答】解：1´2=2（厘米）

7.8¸2=3.9»3（个)

4.6¸2=2.3»2（个)

3´2=6（个)

答：最多可以剪6个。

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【点评】抓住在长方形内剪切圆的方法即可解答此类问题．注意圆是不能密铺的图形。

24．【分析】从图上可得这个箱子的长等于6个圆柱形饮料罐的底面直径的和，用6乘以6，

求出这个箱子的长至少是多少；然后根据这个箱子的宽等于4个圆柱形饮料罐的底面直径的

和，用6乘以4，求出这个箱子的宽至少是多少；最后根据这个箱子的高等于每个圆柱形饮

料罐的高，可得这个箱子的高至少等于12厘米。再根据长方体的体积公式：V=abh，将数据

代入，据此即可得出答案。

【解答】解：这个箱子的长至少是：6´6=36（厘米）；

这个箱子的宽至少是：6´4=24（厘米）；

因为这个箱子的高等于每个圆柱形饮料罐的高，所以这个箱子的高至少是12厘米。

36´24´12

=864´12

=10368（立方厘米）

答：这个箱子的长是36厘米，宽是24厘米，高是12厘米。这个纸箱的容积至少有10368立

方厘米。

【点评】解答此题的关键是判断出这个箱子的长、宽与圆柱形饮料罐的底面直径的关系，以

及这个箱子的高与每个圆柱形饮料罐的高的关系。

25．【分析】观察第二个图发现：现在的总长度是原长方形的长度加上右边多出这部分的长

度，多出的部分是原长方形的3比2长的部分，根据分数乘法的意义分别求出原长的3、2，

4343

再相减，得出右边多的长度，再加上原来一个长方形的长度即可。

32

【解答】解：19.2´-19.2´+19.2

43

=14.4-12.8+19.2

=1.6+19.2

=20.8（厘米）

答：拼摆后的图形长20.8厘米。

【点评】解决本题关键是根据图二，得出现在的长度与原来长方形长的关系，从而解决问题。

26．【分析】根据题意可知，羊可以吃到草的面积是以8米为半径、圆心角为：360°-60°=300°

的扇形的面积，加上2个半径是：8-6=2（米)、圆心角是180°-60°=120°的扇形面积的和。

利用扇形面积公式计算即可。

【解答】解：如图：

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360°-60°=300°

180°-60°=120°

300120

´3.14´82+´3.14´(8-6)2´2

360360

1608

=´3.14+´3.14

33

=56´3.14

»175.8（平方米）

答：这只羊能吃到草的总面积是175.8平方米。

【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键是利用扇形面积公式计算。

27．【分析】阴影部分的面积=半圆的面积-等腰直角三角形的面积，然后根据圆和三角形的

面积公式解答即可．

【解答】解：3.14´32¸2-3´2´3¸2

=14.13-9

=5.13（平方厘米）

答：阴影部分的面积是5.13平方厘米．

【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本

的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可．

28．【分析】由平面图形的折叠及无盖的正方体的8种展开图的特点，结合题目给出的图形

剪成三块即可．

【解答】解：画图如下：

【点评】考查了正方体的展开图和图形的拼组，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图

的各种情形．

29．【分析】（1）根据分析可知，是图形几，这个图形最高的一列就有几个小正方形，所以

图形⑤最右