(28)-专题28 盈亏问题

专题28盈亏问题

考点聚焦

重点速记

1、盈亏问题。

在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，

在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足

的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。

2、解题关键。

盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次

共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得

物品数。

3、解题规律。

总差额÷每人差额=人数

总差额的求法可以分为以下四种情况：

第一次多余，第二次不足，总差额=多余+不足

第一次正好，第二次多余或不足，总差额=多余或不足

第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余

第一次不足，第二次也不足，总差额=大不足-小不足

真题专练

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一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）

1．（2分）（2022•镇安县）一箱乒乓球有40多个，如果把这箱乒乓球每6个装一盒，还剩

余5个，如果每9个装一盒，也剩余5个。这盒乒乓球有()个。

A．40B．41C．43D．46

2．（2分）（2022•邢台）六（2）班有40多人，体操汇演，如果每8人站一排，最后一排

是6人；如果每10人站一排，最后一排也是6人。这个班一共()人。

A．42B．46C．47D．49

3．（2分）（2020•保德县）有一段木头用一根绳子来量，绳子多出150公分，将绳子对折

后量，又短了35公分。问这段木头有多长？()

A．220B．250C．320D．360

4．（2分）（2020•宁德）小王从家开车上班，其实行驶10分钟后发生了故障，小王从后备

箱中取出自行车继续赶路，由于自行车的车速只有汽车的3/5，小王比预计时间晚了20分钟

到达单位，如果汽车再多行驶6公里，他就能少迟到10分钟，从小王家到单位的距离是()

公里。

A．12B．14C．15D．16

5．（2分）（2020•衢州）为了把2008年北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，

加强植树造林，某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路（不相交）的两旁栽上树，现运回

一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少

2754棵，若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗()

A．8500棵B．12500棵C．12596棵D．13000棵

6．（2分）（2020•保德县）李师傅加工一批零件，如果每天做50个，要比计划晚8天完成；

如果每天做60个，就可提前5天完成，这批零件共有多少个？()

A．3500个B．3800个C．3900个D．4000个

二．填空题（共11小题，满分22分，每小题2分）

7．（2分）（2023•红河县）李阿姨给小朋友们分苹果，如果每人分3个，剩下16个苹果；

如果每人分5个苹果，又少了4个苹果；那么小朋友有人，苹果有个。

8．六（1）班的同学去划船，他们提前在网上预约了几条船。经计算，若增加一条船，则正

好每条船坐6人；若减少一条船，则正好每条船坐8人，这个班共名同学。

9．（2分）（2023•北碚区）老师给学生发邮票，如果每人发240角邮票则缺1800角邮票，

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如果每人发200角邮票则余2200角，那么平均每人能发邮票角。

10．把一袋糖果分给x个小朋友。若每人分5块，最后还剩下2块，则这袋糖果有块；

若每人分6块，最后一个小朋友就差4块，所以这袋糖果的块数还可以表示为。

11．（2分）（2023•揭东区）学校准备给参加长跑的同学每人发15支铅笔做纪念，但这天

有四人没来，结果每人多发了2支，还剩6支，原定参加长跑的有人。

12．（2分）（2023•揭东区）六（1）班同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正

好每条船坐6人，如果减少一条船，正好每条船坐9人，则该班有名同学。

13．一个宾馆来了一批客人，若7人一间，多5人；若9人一间，多一间房，共有人．

14．（2分）（2022•袁州区）胡老师给同学们发口罩，每人发两个剩20个，每人发三个还

差20个，一共有个同学，老师准备了个口罩。

15．（2分）（2022•天元区）某公司给职工发奖金，每人发250元则缺180元，每人发200

元则余220元，那么平均每人能发奖金元．

16．（2分）（2022•南海区）甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖

给了乙，获利10%，而后来乙又将这手股票转给了甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的

价格的90%将这手股票卖给了乙．甲在上述股票交易中[选填“盈利”或“亏本”]

元．

17．某班学生租了一些小船在长寿湖游玩，若比实际租船数少租一艘船，则每艘船恰好坐9

人，若多租一艘船，则每艘船恰好坐6人，则这个班有名学生。

三．应用题（满分66分，每小题6分）

18．清明节期间，学校组织师生乘车到附近的烈士陵园开展“缅怀革命先烈”活动。学校原

计划安排载客数量相同的若干辆车。如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐

5人，恰好多余了一辆车，请问，学校原计划安排多少辆车，参加活动的师生共有多少人？

19．某商场在促销活动中，将一批商品降价处理．如果减去定价的12%出售，那么可以盈利

170元：如果减去定价的20%出售，那么亏损150元．此商品的购入价是多少元？

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20．（6分）（2023•房山区）老师给参加数学竞赛获奖的同学发奖品，若每人发6支笔，则

就多出22支；若每人发8支则正好分完，问获奖的同学有多人？有多少支笔？

21．（6分）（2022•乐山）林老师和几位老师带着学校科学社团的同学观看神舟十一号飞船

返回地球的全程直播。林老师数了数直播室里的座位椅（每张长椅共5个座位），算了算；1

人1个座位，如果每张长椅上坐1位老师和4位同学，则有3个同学没有座位；如果每张长

椅坐5位同学，则空出3个座位。问：学校科学社团共有几位同学？

22．（6分）（2022•内黄县）小东从家出发去学校，如果每分走70米，能在上课前5分到

校；如果每分走45米，就要迟到5分。那么小东家到学校的路程是多少米？

23．（6分）（2022•重庆）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人

出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差

45钱；若每人出7钱，还差3钱，请问合伙人数是多少，羊价是多少？

24．（6分）（2021•越城区）小红从家去学校，如果每分钟走80米，能提前6分钟到校，

如果每分钟走50米，就会迟到3分钟，小红家离校多少米？

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25．（6分）（2021•金安区）笑笑买了一大袋奶糖分给幼儿园大班的小朋友，如果每人分3

个奶糖，还剩37个；如果每人分5个奶糖，还差15个。幼儿园大班有多少位小朋友？

26．（6分）（2021•南部县）加工一批零件，若每天加工200个，则比原计划提前3天完成

任务；若每天加工150个，则比原计划延迟5天才能完成任务。原计划多少天完成任务？这

批零件一共有多少个？

27．（6分）（2023•林州市）一群猴子分桃吃，如果每只猴子吃5个，还剩7个；如果每只

猴子吃7个，就少5个．这群猴子一共有多少只？

28．（6分）（2022•兴义市）黔锋学校要定做一批凳子，如果加工厂每天加工200个，比规

定时间提前3天完成任务，如果每天加工120个，比规定时间多用5天完成任务，规定完成

任务的时间是多少天？

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专题28盈亏问题

参考答案

一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）

1．【分析】如果把这箱乒乓球每6个装一盒，还剩5个；如果每9个装一盒，也剩余5个，

说明这个数减去5后，能被6和9整除，这个数就是6和9的公倍数再加上5，据此解答。

【解答】解：6和9的最小公倍数为18，

18´2+5

=36+5

=41（个)

符合题意。

答：这箱乒乓球有41个。故选：B。

【点评】本题主要考查了同余定理，题目较为简单，找到6和9的公倍数是本题解题的关键。

2．【分析】班上的总人数是一定的，又知，最后一排每次站6人，前几排又都是8和10的

整倍数。求出8和10的最小公倍数，再加6。

【解答】解；8=2´2´2，10=2´5，8和10的最小公倍数是2´2´2´5=40

40+6=46（人)。

答：这个班一共有46人。故选：B。

【点评】本题关键是明确两次分配后的盈余是相等的关系。

3．【分析】木头的长度比绳子长度的一半长35公分，所以木头长度的2倍比绳子的长度长

了70公分，即2个木头的长度减去绳子长度就是70公分，1个木头的长度加上150公分就

是绳子的长度，所以木头的长度减去150公分就是70公分，据此解答即可。

【解答】解：150+70=220（公分）

答：这段木头长220公分。故选：A。

【点评】明确1段木头的长度比绳子短150公分以及2段木头的长度比绳子长70公分是解题

的关键。

4．【分析】根据题意，若汽车多行驶6公里，小王少迟到10分钟，那么汽车行驶12公里，

小王刚好不迟到，所以剩下的距离是12公里，又因为汽车速度与自行车速度的比是5:3，那

么所用时间的比就是3:5，自行车所用时间比汽车所用时间多出2份，多出20分钟，那么汽

车走剩余的路程12公里所用的时间就是30分钟，相应的，汽车前10分钟就走了4公里，再

加上后面的12公里就是16公里。依此解答。

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【解答】解：由题意可知，自行车速度：汽车速度=3:5

那么行驶同样的路程自行车所用时间与汽车所用时间的比为：5:3

20¸2=10（分)

6´2¸30=0.4（公里）

0.4´10+6´2

=4+12

=16（公里）

答：从小王家到单位的距离是16公里。故选：D。

【点评】路程一定时，速度与时间成反比是解本题的关键。

5．【分析】树苗两次的多少完全是由距离的变换带来的，所以一共相差2754´4+396´5的路

程，每段的长度相差为5-4=1，所以一共相差(2754´4+396´5)¸1的段数，然后因为两端也要

种树，一共两条路，所以加上1´4，根据此解答即可。

【解答】解：(2754´4+396´5)¸(5-4)+1´4

=11016+1980+4

=13000（棵)

故选：D。

【点评】本题的关键是要考虑到植树问题中两端都要种，并且是两条路。

6．【分析】根据题意：可得到等量关系式：零件的个数¸50-8=零件的总个数¸60+5，设这

批零件共有x个，把未知数代入等量关系式解答即可。

【解答】解：设这批零件共有x个。

x¸50-8=x¸60+5

xx

-8=+5

5060

6x-2400=5x+1500

x=3900

答：这批零件共有3900个。故选：C。

【点评】解答此题的关键是根据原计划的天数不变找到等量关系式，然后列方程解答。

二．填空题（共11小题，满分22分，每小题2分）

7．【分析】用盈亏差除以分配差，求人数，再根据一次分配的情况求苹果数即可。

【解答】解：(16+4)¸(5-3)

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=20¸2

=10（人)

10´3+16

=30+16

=46（个)

答：小朋友有10人，苹果有46个。故答案为：10，46。

【点评】本题主要考查盈亏问题公式的应用。

8．【分析】设租了x条船，根据总人数不变，列方程求解即可。

【解答】解：设租了x条船。

6´(x+1)=8´(x-1)

6x+6=8x-8

2x=14

x=7

(7+1)´6

=8´6

=48（名)

答：这个班共48名同学。故答案为：48。

【点评】本题主要考查盈亏问题的应用，关键根据租船条数和人数列方程求解。

9．【分析】根据盈亏问题公式：（盈+亏）¸分配差=人数，再根据一次分配情况求邮票数，

用邮票的钱数除以人数，求平均每人分的钱数即可。

【解答】解：(1800+2200)¸(240-200)

=4000¸40

=100（人)

100´240-1800

=24000-1800

=22200（角)

22200¸100=222（角)

答：平均每人能发222角。故答案为：222。

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【点评】本题主要考查盈亏问题公式的应用。

10．【分析】把一袋糖果分给x个小朋友。若每人分5块，最后还剩下2块，则这袋糖果有(5x+2)

块，若每人分6块，最后一个小朋友就差4块，所以这袋糖果的块数还可以表示为6x-4。

【解答】解：若每人分5块，最后还剩下2块，则这袋糖果有(5x+2)块；

若每人分6块，最后一个小朋友就差4块，所以这袋糖果的块数还可以表示为6x-4。

故答案为：(5x+2)；6x-4。

【点评】注意用字母表示数时有加减符号且后面有单位的式子要带括号。

11．【分析】根据题意可知，铅笔的总数量没有变，设原定参加长跑的有x人，则

15x=(15+2)(x-4)+6，据此解答。

【解答】解：设原定参加长跑的有x人。

15x=(15+2)(x-4)+6

15x=17(x-4)+6

2x=62

x=31

答：原定参加长跑的有31人。故答案为：31。

【点评】本题主要考查了盈亏问题，解题的关键是认真审题，理清数量关系。

12．【分析】根据“如果增加一条船，正好每条船坐6人，如果减少一条船，正好每条船坐9

人”可知，每条船坐6人，余6人；如果每条船坐9人，则少9人，即：相差(6+9)人，每条

船的人数相差(9-6)人，用(6+9)除以(9-6)即可求出船的数量，进而根据题意求出该班的人

数，据此解答。

【解答】解：(6+9)¸(9-6)

=15¸3

=5（条)

9´(5-1)

=9´4

=36（名)

答：该班有36名同学。故答案为：36。

【点评】本题是典型的盈亏问题，关键是根据少的人数的和，与每条船上少坐的人数的差，

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求出原计划租的船数。

13．【分析】两次安排房间的总差额是：9+5=14（人)，两次每间的差额是：9-7=2（人)，

那么房间数是：14¸2=7（间)；则总人数：7´7+5=54（人)；据此解答．

【解答】解：间数：(9+5)¸(9-7)

=14¸2

=7（间)

人数：7´7+5=54（人)

答：共有54人．故答案为：54．

【点评】盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，

二是每份的差额，将这两个差相除，就可求出总份数，然后再求物品数；基本关系式为：总

差额¸每份的差额=总份数．

14．【分析】利用一盈一亏的解法：（盈数+亏数）¸两次每人分配数的差=人数，由题意可

知，盈20，亏20，两次分配的差为(3-2)，则共有学生：(20+20)¸(3-2)=40（个)，再根据

每人发两个还剩20个列式求出口罩的个数。

【解答】解：(20+20)¸(3-2)

=40¸1

=40（个)

40´2+20

=80+20

=100（个)

答：一共有40个同学，老师准备了100个口罩。故答案为：40；100。

【点评】灵活应用盈亏公式是解答本题的关键。

15．【分析】由题意可知，奖金总数是不变的，员工人数是不变的，有等量关系：250´人数

-180=200´人数+220，就可以计算出人数，然后求出奖金总数，除以人数就是平均每人发的

奖金数．

【解答】解：设员工共x人，则

250x-180=200x+220

250x-200x=220+180

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50x=400

x=8

每人发250元则缺180元，所以奖金总数：

250´8-180

=2000-180

=1820（元)，

那平均每人发的奖金数就是：1820¸8=227.5（元)，

答：平均每人能发奖金227.5元．故答案为：227.5．

【点评】本题的关键是根据每人多发的钱数，和应多发的总钱数，求出职工的人数．

16．【分析】要求甲最后是盈利还是亏本，应先计算出第一次卖给乙的价钱，通过题意可知，

第一次交易，甲获利10%，把甲买股票的原价看作单位“1”，卖给乙的价钱是原价的

(1+10%)，即卖了1100元；第二次交易，乙损失了10%，把甲获利后的价钱(1100元）看作单

位“1”，卖了1100元的(1-10%)即990元；第三次交易，甲按乙卖给甲的价格的90%将这手

股票卖给了乙，把乙卖给甲的价格（即990元）看作单位“1”，实际卖了990元的90%即

891元；然后根据交易的数据，进行计算即可．

【解答】解：甲乙第一次交易：1000´(1+10%)=1100（元)，

第二次交易：1100´(1-10%)=990（元)，

第三次交易：990´90%=891（元)，

甲的实际收入：1100+891-1000-990=1（元)，

答：甲在上述股票交易中盈利1元．故答案为：盈利，1．

【点评】此题属于复杂的分数应用题，做题时应先判断单位“1”，然后根据一个数乘分数的

意义进行列式计算，进而得出结论．

17．【分析】设实际租船x艘，则9(x-1)与6(x+1)相等，根据这个等量关系列方程求出实际租

船数，再将x的值代入9(x-1)或6(x+1)求出这个班的学生数即可。

【解答】解：设实际租船x艘。

9(x-1)=6(x+1)

9x-9=6x+6

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9x-9+9=6x+6+9

9x=6x+15

9x-6x=6x+15-6x

3x¸3=15¸3

x=5

当x=5时，9(x-1)=9´(5-1)=36

答：这个班有36名学生。故答案为：36。

【点评】利用方程解决实际问题的关键是找准题目中的等量关系。

三．应用题（满分66分，每小题6分）

18．【分析】如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车，可以转化为如果每车坐(65+5)人，则

缺(65+5)人，转化为基本盈亏问题，即盈5，亏(65+5)，两次分配的差为5，则原计划安排车

子(5+65+5)¸5=15（辆)，然后再求人数即可。

【解答】解：(65+5+5)¸(65+5-65)

=75¸5

=15（辆)

15´65+5=980（人)

答：学校原计划安排15辆车，参加活动的师生共有980人。

【点评】由于两次分配的数量不统一，因此据已知条件将每次分配的数量统一后，算出盈与

亏是完成本题的关键。

19．【分析】把定价看作单位“1”，两种减价相差170+150=320元，它对应的分率是20%-12%=8%，

根据盈亏问题的解答方法可得定价是320¸8%=4000元，然后再根据百分数乘法的意义求出减

去定价的12%后的钱数，再减去盈利即可．

【解答】解：(170+150)¸(20%-12%)

=320¸8%

=4000（元)

4000´(1-12%)-170

=3520-170

=3350（元)

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答：此商品的购入价是3350元．

【点评】本题考查了盈亏问题与百分数应用题的综合应用，解答思路是：通过比较已知条件，

找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可求出定价．

20．【分析】笔的总数是一定的，无论怎么分笔的数量不变，设获奖的同学有x人，则6´人

数+22=8´人数，算出总人数，8´总人数就是一共有多少支笔。

【解答】解：设获奖的同学有x人

6x+22=8x

x=11

11´8=88（支)

答：获奖有11人，笔有88支。

【点评】找准等量关系是关键。

21．【分析】因为每张长椅上坐4位学生，有3名学生没地方坐，每张长椅上坐5位学生，

就有3个空座位，也就是每个长椅上多坐1人，就多坐3+3=6（人)，所以椅子数就是

(3+3)¸(5-4)，进而求出学生数。

【解答】解：椅子数：

(3+3)¸(5-4)

=6¸1

=6（把)

学生数：

4´6+3

=24+3

=27（位)

答：学校科学社团共有27位同学。

【点评】此题主要考查学生运用盈亏问题的有关知识，灵活解决生活中的实际问题的能力；

此题运用了下列关系式：（盈数+亏数）¸两次分配之差=份数。

22．【分析】由题意可知，如果每分钟走70米，能在上课前5分钟到校，也就是按原预定时

间能多走70´5=350（米)，每分钟走45米，迟到5分钟，也就是按预定时间能少走了45´5=225

（米)，路程相差：350+225=575（米)，每分钟相差：70-45=25（米)，由根据盈亏问题公

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式可知预定时间为：575¸25=23（分钟），再求家到学校的距离即可。

【解答】解：(70´5+45´5)¸(70-45)

=(350+225)¸25

=575¸25

=23（分钟）

(23+5)´45

=28´45

=1260（米)

答：小东家到学校的路程是1260米。

【点评】在根据时间´速度求出盈余与不足的路程的基础上，根据（盈+亏）¸两次分配的差

=参于分配的数量的基础上求出预定时间是完成本题的关键。

23．【分析】设合伙人数为x人，由购买羊的总钱数不变，列出方程即可求解。

【解答】解：设合伙人数为x

5x+45=7x+3

45-3=7x-5x

42=2x

42¸2=2x¸2

x=21

把x=21代入5x+45得：

5´21+45

=105+45

=150（钱)

答：合伙人数是21人，羊价是150钱。

【点评】本题考查了找准等量关系，正确列出方程求解即可。

24．【分析】根据题意可知：每分钟走80米，能提前6分钟到校，也就是多走了80´6=480

（米)；每分钟走50米，就会迟到3分钟，也就是少走50´3=150（米)，路程相差480+150=630

（米)，每分钟相差80-50=30（米)，根据盈亏问题公式“相差路程¸相差速度”=预定时

间，据此代入数值，求出预定时间，进而求出小红家到学校的距离，据此解答。

【解答】解：80´6=480（米)

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50´3=150（米)

480+150=630（米)

80-50=30（米)

630¸30=21（分)

(21+3)´50

=24´50

=1200（米)

答：小红家离校1200米。

【点评】本题考查了盈亏问题，在根据“时间´速度”求出盈余与不足的路程的基础上，根

据（盈+亏）¸两次分配的差=参与分配的数量的基础上求出预定的时间是完成本题的关键。

25．【分析】此题属于盈亏问题，“如果每人分3个奶糖，还剩37个”，这剩下的37个，

是由于每人少分了造成的；“如果每人分5个奶糖，还差15个”，这15个是由于每人多分

了造成的；每人分5个就比每人分3个少(37+