三角形全等判定（三）（SAS）（课件）北师大版数学七年级下册

三角形全等判定（三）（SAS）●

考点清单解读●

重难题型突破●

易错易混分析●

方法技巧点拨■考点

一

用“SAS”判定两个三角形全等边角边（SAS）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”符号语言如图，在△ABC和△A′B′C′中，所以△ABC≌△A′B′C′（SAS）AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，

归纳总结

证明三角形全等时，如果已知两边相等，再给出角的关系时首先考虑“SAS”，注意角是两边的夹角.典例1

如图，已知OA=OC，OB=OD，∠AOC=∠BOD．

试说明：△AOB≌△COD.对点典例剖析［答案］

解：因为∠AOC=∠BOD，所以∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD，即∠COD=∠AOB，

在△AOB和△COD中，所以△AOB≌△COD（SAS）.OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，

■考点

二

已知两边及其夹角用尺规作三角形方法依据三角形全等的判定“SAS”作图，先作角，再在角的两边截取要求的边长已知已知线段a，c，∠α，用尺规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α步骤作法示范①作射线BN，在BN上截取BC=a续表步骤作法示范②以点B为顶点，以BC为一边，作∠DBC=∠α③在射线BD上截取线段BA=c④连接AC，△ABC就是所要作的三角形典例2

如图，

已知线段a，b和∠α．求作：△ABC，使得∠A=∠α，AB=a+b，AC=b．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）对点典例剖析［解题思路］先作∠A=∠α，再在角的两边分别截取AC=b，AE=a，EB=b，则AB=a+b.［答案］

解：如图，△ABC即为所作的三角形.■题型

运用“倍长中线法”构造全等三角形例

在△ABC中，AB=4cm，AC=3cm，则BC边上的中线AD的取值范围是____________．［解析］如图，延长AD到点E，使AD=DE，连接BE，因为AD是△ABC的边BC上的中线，所以BD=CD，在△ADC和△EDB中，因为所以△ADC≌△EDB（SAS），所以AC=EB，因为AB=4cm，EB=AC=3cm，根据三角形的三边关系可得（4-3）cm＜AE＜（4+3）cm，所以1cm＜AE＜7cm，所以0.5cm＜AD＜3.5cm．．［答案］0.5cm＜AD＜3.5cmCD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=ED，

变式衍生

如图，在△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F．若BE=AC，AF=2，CF=8，则BF的长度为____________．12思路点拨

遇到有关三角形中线的问题时，常将中线延长一倍（这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”），然后连接相应的顶点，构造全等三角形.根据全等三角形的性质将线段的关系进行转化，从而解决问题.■忽略“边角边”中的角必须是夹角例

如图，

已知AD平分∠BAC，

要使△ABD≌△ACD，根据“SAS”需添加一个条件为_________．［解析］因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，因为AD=AD，

所以要使△ABD≌△ACD，

根据“SAS”可添加条件AB=AC.

［答案］

AB=AC［易错］

BD=CD［错因］

误用“SSA”判定三角形全等.■方法：用“截长补短法”解决线段或角度问题在处理线段和差问题时，常考虑截长补短法.截长法是在较长线段上截取一段等于某一线段，再证剩下的那一段等于另一短线段即可.补短法一般有两种方式：一般是将某线段延长，使延长的一部分等于另一短线段；另一种是将某线段直接延长至等于较长的线段.例

如图，AB∥CD，点E为AD的中点，BE平分∠ABC，且AB+CD=BC，试说明：CE平分∠BCD．［答案］

解：截长法：如图1，在BC上截取BF，使得BF=AB，连接EF.因为AB+CD=BC，BF=AB，所以CD=CF.因为BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠FBE.在△ABE和△FBE中，

所以△ABE≌△FBE（SAS），所以AE=FE.AB＝FB，∠ABE＝∠FBE，BE＝BE，

因为E是AD的中点，所以AE=DE，所以DE=EF.在△FCE和△DCE中，所以△FCE≌△DCE（SSS），所以∠FCE=∠DCE，即CE平分∠BCD．补短法：如图2，延长CＤ

至点F，使CF=BC，连接EF.因为AB+CD=BC，且DF+CD=BC，所以AB=DF.EF＝ED，CF＝CD，CE＝CE，

因为AB∥CD，所以∠A=∠FDE.因为点E是AD的中点，所以AE=DE，在△ABE和△DFE中，所以△ABE≌△DFE（SAS），所以BE=FE.在△BCE和△FCE中，所以△BCE≌△FCE（SSS），所以∠BCE=∠FCE，即CE平分∠BCD．AB＝DF，∠A=∠FDE，AE＝DE，

BE=FE，CE＝CE，BC=FC，

三角形全等判定的简单应用●

考点清单解读●

重难题型突破■考点

全等三角形的判定思路归纳总结

寻找三角形全等的条件时，要结合图形，挖掘其中的隐含条件，如公共边、对顶角、中点、角平分线、高所带来的相等关系，以及等线段加（或减）同线段或等线段的和（或差）相等.典例如图，

在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在对角线BD上，且BE=DA，如果______，那么△ADB≌△EBC．

请填上能使结论成立的一个条件，并说明理由．对点典例剖析［答案］解：DB=BC（答案不唯一）理由如下：因为AD∥BC，所以∠ADB=∠EBC，在△ADB和△EBC中，

所以△ADB≌△EBC（SAS）.DA=BE，∠ADB=∠EBC，DB=BC，

■题型

全等三角形的判定和性质的综合应用例

如图，

在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，

点E在BC边上，且BE=BD，连接AE，DE，DC．（注：等腰三角形两底角相等）（1）试说明：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE=24°，求∠BDC的度数．

AB＝CB，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD，

变式衍生

如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF=ED，连接BE，CF．（1）试说明：CF∥AB；（2）若∠A=70°，∠F=35°，BE⊥AC，求∠BED的度数．解：（1）因为E为AC的中点，所以AE=CE，在△AED和△CEF中，所以△AED≌△CEF（SAS），所以∠A=∠ACF，所以CF∥AB；（2）因为CF∥AB，所以∠ADE=∠F=35°，所以∠AED=1