九年级数学全册模型构建专题相似三角形中的基本模型练习

模型构建专题：相像三角形中的基本模型——熟知须要用相像来解决的图形eq\a\vs4\al(◆)模型一“A”字型1．(2024·徐州中考)如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为________．第1题图第2题图2．(2024·罗平县二模)如图，△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：____________，使△ABC∽△AED.3．如图，△ABC中，DE∥BC，eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3)，M为BC上一点，AM交DE于N.(1)若AE＝4，求EC的长；(2)若M为BC的中点，S△ABC＝36，求S△ADN的值．eq\a\vs4\al(◆)模型二“X”字型4．(2024·哈尔滨中考)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论肯定正确的是()A.eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)B.eq\f(DF,FC)＝eq\f(AE,EC)C.eq\f(AD,DB)＝eq\f(DE,BC)D.eq\f(DF,BF)＝eq\f(EF,FC)第4题图第5题图5．(2024·贵港中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE.下列结论：①∠ACD＝30°；②S▱ABCD＝AC·BC；③OE∶AC＝eq\r(3)∶6；④S△OCF＝2S△OEF，成立的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，假如CE＝2，EB＝4，FD＝1.5，那么AD＝________．第6题图7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G.(1)若FD＝2，eq\f(ED,BC)＝eq\f(1,3)，求线段DC的长；(2)求证：EF·GB＝BF·GE.eq\a\vs4\al(◆)模型三旋转型8．(2024·滦县期末)如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是()A．∠C＝∠EB．∠B＝∠ADEC.eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE)D.eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE)第8题图第9题图9．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9，BD＝3，则CF等于()A．1B．2C．3D．4eq\a\vs4\al(◆)模型四“子母”型(大三角形中包含小三角形)10．(2024·毕节中考)在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2eq\r(2)，AB＝3，则BD＝________．第10题图第11题图11．(2024·云南中考)如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，假如△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为()A．15B．10C.eq\f(15,2)D．5eq\a\vs4\al(◆)模型五垂直型12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相像三角形共有()A．1对B．2对C．3对D．4对第12题图第13题图13．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是()A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)14．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝eq\f(3,4)x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为________．15．(2024·齐齐哈尔中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当AD＝BD，AC＝3时，求BF的长．eq\a\vs4\al(◆)模型六一线三等角型16．如图，等边△ABC的边长为6，D是BC边上的点，∠EDF＝60°.若BD＝1，CF＝3时，则BE的长为________．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．模型构建专题：相像三角形中的基本模型1．1∶42．∠ADE＝∠C(答案不唯一)3．解：(1)∵DE∥BC，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3).∵AE＝4，∴AC＝6，∴EC＝6－4＝2；(2)∵M为BC的中点，∴S△ABM＝eq\f(1,2)S△ABC＝18.∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，∴eq\f(S△ADN,S△ABM)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,AB)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,9)，∴S△ADN＝8.4．A5．D解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°.∵CE平分∠BCD交AB于点E，∴∠DCE＝∠BCE＝60°，∴△CBE是等边三角形，∴BE＝BC＝CE，∠CEB＝60°.∵AB＝2BC，∴AE＝BE＝BC＝CE，∴∠CAE＝30°，∴∠ACB＝180°－∠CAE－∠ABC＝90°.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB＝30°，故①正确；∵AC⊥BC，∴S▱ABCD＝AC·BC，故②正确；在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AB＝2BC，∴AC＝eq\r(3)BC.∵AO＝OC，AE＝BE，∴OE∥BC，∴OE＝eq\f(1,2)BC，∴OE∶AC＝eq\f(1,2)BC∶eq\r(3)BC＝eq\r(3)∶6，故③正确；∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴eq\f(CF,EF)＝eq\f(BC,OE)＝2，∴S△OCF∶S△OEF＝eq\f(CF,EF)＝2，∴S△OCF＝2S△OEF，故④正确．故选D.6．4.5解析：∵AB∥EF，∴eq\f(FO,AF)＝eq\f(EO,EB)，则eq\f(FO,EO)＝eq\f(AF,EB).又∵EF∥CD，∴eq\f(FO,FD)＝eq\f(EO,EC)，则eq\f(FO,EO)＝eq\f(FD,EC)，∴eq\f(AF,EB)＝eq\f(FD,EC)，即eq\f(AF,4)＝eq\f(1.5,2)，解得AF＝3，∴AD＝AF＋FD＝3＋1.5＝4.5.7．(1)解：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴eq\f(FD,FC)＝eq\f(ED,BC)＝eq\f(1,3)，∴FC＝3FD＝6，∴DC＝FC－FD＝4；(2)证明：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，∴eq\f(EF,BF)＝eq\f(DE,BC)，eq\f(AE,BC)＝eq\f(GE,GB).∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，∴eq\f(EF,BF)＝eq\f(GE,GB)，∴EF·GB＝BF·GE.8．D9．B解析：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，∠E＝∠EAD＝60°，∴∠B＝∠E，∠BAD＝∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB∶BD＝AE∶EF.同理：△CDF∽△EAF，∴CD∶AE＝CF∶EF，∴CD∶CF＝AE∶EF，∴AB∶BD＝CD∶CF，即9∶3＝(9－3)∶CF，∴CF＝2.10.eq\f(8,3)11．D解析：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA.∵AB＝4，AD＝2，∴S△ACD∶S△ABC＝1∶4，∴S△ACD∶S△ABD＝1∶3.∵S△ABD＝15，∴S△ACD＝5.故选D.12．C13.A14.eq\f(28,5)解析：依据“垂线段最短”，得PM的最小值就是当PM⊥AB时PM的长．∵直线y＝eq\f(3,4)x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴令x＝0，得y＝－3，∴点B的坐标为(0，－3)，即OB＝3.令y＝0，得x＝4，∴点A的坐标为(4，0),即OA＝4，∴PB＝OP＋OB＝4＋3＝7.在Rt△AOB中，依据勾股定理得AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝eq\r(42＋32)＝5.在Rt△PMB与Rt△AOB中，∵∠PBM＝∠ABO，∠PMB＝∠AOB，∴Rt△PMB∽Rt△AOB，∴eq\f(PM,OA)＝eq\f(PB,AB)，即eq\f(PM,4)＝eq\f(7,5)，解得PM＝eq\f(28,5).15．(1)证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD；(2)解：∵AD＝BD，△ACD∽△BFD，∴eq\f(AC,BF)＝eq\f(AD,BD)＝1，∴BF＝AC＝3.16.eq\f(5,3)解析：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∵∠EDF＝60°，∴∠BED＋∠EDB＝∠EDB＋∠FDC＝120°，∴∠BED＝∠FDC，∴△BDE∽△CFD，∴eq\f(BE,CD)＝eq\f(BD,CF).∵BC＝6，BD＝1，∴CD＝BC－BD＝5，∴eq\f(BE,5)＝eq\f(1,3)，解得BE＝eq\f(5,3).17．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠