2024秋高中数学模块综合评价二含解析新人教A版必修1

PAGEPAGE1模块综合评价(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是()A．若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列B．若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列C．若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列D．若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列解析：eq\f(2b,2a)＝2b－a，eq\f(2c,2b)＝2c－b，因为a，b，c成等差数列，所以c－b＝b－a，所以2b－a＝2c－b，即eq\f(2b,2a)＝eq\f(2c,2b).答案：C2．在△ABC中，A＝135°，C＝30°，c＝20，则边a的长为()A．10eq\r(2) B．20eq\r(2)C．20eq\r(6) D.eq\f(20\r(6),3)解析：由正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，所以a＝eq\f(c·sinA,sinC)＝eq\f(20×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝20eq\r(2).答案：B3．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－1，2)，则a＋b的值为()A．1 B．－1C．0 D．－2解析：由已知得－eq\f(b,a)＝－1＋2，eq\f(2,a)＝－1×2，a<0，解得a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.答案：C4．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为()A．37 B．36C．20 D．19解析：由am＝a1＋a2＋…＋a9得(m－1)d＝9a5＝36d⇒m＝37.答案：A5．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)<0表示的区域为()ABCD解析：利用点(0，0)推断不等式(x－2y＋1)×(x＋y－3)＜0，故解除A、B项．利用点(0，4)推断不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)＜0，故解除D.答案：C6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝eq\r(2)，则C＝()A.eq\f(π,12) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,3)解析：因为a＝2，c＝eq\r(2)，所以由正弦定理可知，eq\f(2,sinA)＝eq\f(\r(2),sinC)，故sinA＝eq\r(2)sinC.又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C为△ABC的内角，故sinC≠0，则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(3π,4).从而sinC＝eq\f(1,\r(2))sinA＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).由A＝eq\f(3π,4)知C为锐角，故C＝eq\f(π,6).答案：B7．已知一个等差数列{an}的第8，9，10项分别为b－1，b＋1，2b＋3，则通项an等于()A．2n－5 B．2n－9C．2n－13 D．2n－17解析：依题意得2(b＋1)＝b－1＋2b＋3，解得b＝0，所以d＝2，a8＝－1，an＝a8＋(n－8)d＝－1＋(n－8)×2＝2n－17.答案：D8．设变量x，y满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1,x－y≤1，,x≥0，))则x＋2y的最大值和最小值分别为()A．1，－1 B．2，－2C．1，－2 D．2，－1解析：由线性约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1,x－y≤1，,x≥0))画出可行域如图阴影部分所示．设z＝x＋2y，则y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2).设l0：y＝－eq\f(1,2)x，平移l0，可知过A点时zmax＝0＋2×1＝2.过B点时zmin＝0＋2×(－1)＝－2.答案：B9．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A.eq\f(7,2) B．4C.eq\f(9,2) D．5解析：因为2y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))＝5＋eq\f(4a,b)＋eq\f(b,a)，又因为a>0，b>0，所以2y≥5＋2eq\r(\f(4a,b)·\f(b,a))＝9，所以ymin＝eq\f(9,2)，当且仅当b＝2a时“＝”成立．答案：C10．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将削减10k万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k的取值范围为()A．[2，8] B．(2，8)C．(4，8) D．(1，7)解析：设年产销售为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为70x·k%万元，其中x＝100－10k.由题意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.答案：A11．已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对随意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．8 B．6C．4 D．2解析：只需求(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))的最小值大于等于9即可，又(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a·eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＋a≥a＋1＋2eq\r(a·\f(x,y)·\f(y,x))＝a＋2eq\r(a)＋1，当且仅当a·eq\f(x,y)＝eq\f(y,x)时等号成立，所以(eq\r(a))2＋2eq\r(a)＋1≥9，即(eq\r(a))2＋2eq\r(a)－8≥0，求得eq\r(a)≥2或eq\r(a)≤－4(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4.答案：C12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满意b2＝ac，且c＝2a，则cosB＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(2),3)解析：因为b2＝ac且c＝2a，由余弦定理：cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4).答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知0＜x＜6，则(6－x)·x的最大值是________．解析：因为0＜x＜6，所以6－x＞0，所以(6－x)·x≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－x＋x,2)))eq\s\up12(2)＝9.答案：914．已知x>1，y>1，且lnx，1，lny成等差数列，则x＋y的最小值为________．解析：由已知lnx＋lny＝2，所以xy＝e2，x＋y≥2eq\r(xy)＝2e.当且仅当x＝y＝e时取“＝”，所以x＋y的最小值为2e.答案：2e15．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N＋，若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a3＝a1＋2d＝16，S20＝20a1＋eq\f(20×19,2)d＝20，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝16，,2a1＋19d＝2，))解得d＝－2，a1＝20.所以S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)d＝200－90＝110.答案：11016．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝eq\r(2)，b＝2，sinB＋cosB＝eq\r(2)，则角A的大小为________．解析：由题意知，sinB＋cosB＝eq\r(2)，所以eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝eq\r(2)，所以B＝eq\f(π,4)，依据正弦定理可知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得eq\f(\r(2),sinA)＝eq\f(2,sin\f(π,4))，所以sinA＝eq\f(1,2)，又a<b，故A＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{an}中，a1＝8，a3＝4.(1)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最大值及使得Sn最大的序号n的值；(2)设bn＝eq\f(1,n（12－an）)(n∈N*)，求Tn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)．解：(1)由题意知{an}是以8为首项，公差d＝eq\f(a3－a1,3－1)＝－2的等差数列，所以an＝10－2n.设Sn＝a1＋a2＋…＋an，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝－n2＋9n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(9,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(81,4)，于是，当n取4或5时，Sn最大，(Sn)max＝20.(2)bn＝eq\f(1,n（12－an）)＝eq\f(1,n·（2n＋2）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,2)[(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))]＝eq\f(n,2（n＋1）)(n∈N*)．18．(本小题满分12分)一缉私艇发觉在北偏东45°方向，距离12nmile的海面上有一走私船正以10nmike/h的速度沿南偏东75°方向逃跑．缉私艇的速度为14nmile/h，若要在最短时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去追，求追上走私船所需的时间和α角的正弦值．解：设A，C分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x小时后在B处追上(如图所示)．则有AB＝14x，BC＝10x，∠ACB＝120°，(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，所以x＝2，AB＝28，BC＝20，sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14).所以所需时间为2小时，α角的正弦值为eq\f(5\r(3),14).19．(本小题满分12分)在△ABC中，cosA＝－eq\f(5,13)，cosB＝eq\f(3,5).(1)求sinC的值；(2)设BC＝5，求△ABC的面积．解：(1)由cosA＝－eq\f(5,13)，得sinA＝eq\f(12,13)，由cosB＝eq\f(3,5)，得sinB＝eq\f(4,5).所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(12,13)×eq\f(3,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))×eq\f(4,5)＝eq\f(16,65).(2)由正弦定理得AC＝eq\f(BC·sinB,sinA)＝eq\f(5×\f(4,5),\f(12,13))＝eq\f(13,3).所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)·BC·AC·sinC＝eq\f(1,2)×5×eq\f(13,3)×eq\f(16,65)＝eq\f(8,3).20．(本小题满分12分)已知数列{an}满意a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明：因为an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，所以an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．又a1＝5，a2＝5，所以a2＋2a1＝15，所以an＋2an－1≠0(n≥2)，所以eq\f(an＋1＋2an,an＋2an－1)＝3(n≥2)，所以数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)解：由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，则an＋1＝－2an＋5×3n，所以an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．又因为a1－3＝2，所以an－3n≠0，所以{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列，所以an－3n＝2×(－2)n－1，即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0)，(1)若不等式f(x)＞0的解集为(－1，3)，求a，b的值；(2)若f(1)＝2，a＞0，b＞0，求eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值．解：(1)因为不等式f(x)＞0的解集为(－1，3)，所以－1和3是方程f(x)＝0的两实根，从而有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）＝a－b＋5＝0，,f（3）＝9a＋3（b－2）＋3＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋5＝0，,3a＋b－1＝0，))解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝4.))(2)由f(1)＝2，a＞0，b＞0得到a＋b＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))·(a＋b)＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(4a,b)，,a＋b＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f