《常微分方程的初等积分法分析7800字（论文）》

]。分项组合法的侧重点是组合，关于组合的基本原则是如果在分项之后只剩下和与有关联的项，或者只有和与有关联的项时，应当把它们视为独立的项，不参与项的组合。其余的所以微分相关的项组合成一项。这里列举几种常用的函数的微分：，，，，等。例题4.1求微分方程的通解。分析首先进行“拆项”，得到。然后进行项的“组合”，这里的、，即和是呈全微分的相关项，把它们组合成新的一项，剩下的单独作为一项。把方程转换为分组的全微分方程。由于，，就有，所以方程的通解是（是任意的一个常数）。例题4.2求解微分方程。分析观察后进行“拆项”并组合，得到，。将方程的左端重新进行组合，有，所以原方程的通解是，是任意常数。4.2把微分方程中的变为当有一阶微分方程的形式如同，或者说能够转化成这种形式，并且不方便求解时，可以考虑在等式的两边分别取倒数，这样就可以把微分方程变成的形式。经过作此变换后（是未知量，是自变量），这样微分方程就可能是我们所熟知的方程类型。例题4.3求微分方程的通解。分析显而易见，是该方程的一个解。因此我们只讨论的情况，当直接进行求解有困难的时候，不妨考虑转换的策略。原方程可化为,（4-1）然后求解上式所对应的齐次方程的通解，通解是。(4-2)利用常数变易法，让，得到，(4-3)将方程（4-2）和方程（4-3）代到方程（4-1）中，并化简，得：，两边做积分化处理，得：，再把等式（4-4）代到等式（4-2）中，化简可得：，为任意常数。故原方程的通解就是：，为任意常数。例题4.4求解方程。分析让，，则。所以有，这是伯努利方程，令，，方程就变成。求解，得到，即，所以原方程的通解是，是任意常数。4.3关于积分因子的选择我们知道，如果微分方程不是恰当微分方程的时候需要借助于积分因子来求解。由前文可知，一个齐次微分方程的积分因子可以有多个，那么选择哪一个积分因子能够让求解过程变得更加简便呢？通常求解方程的积分因子就是重新组合后的各个项的公因子。例题4.5求解微分方程。分析第一步：进行分项，重新进行组合则原方程即，这里是独立的微分项，应该单独列为一项。这样方程就可以改写成。第二步：找积分因子根据和，推出与都可以作为左端的积分因子。但是由于方程的右端的符号是负号，为了计算简便，这里选择作为方程左端的积分因子。在方程的两端同乘，可得：，两边做积分化处理，有：，为任意常数。因此原方程的通解就是，为任意常数。例题4.6求解方程。分析令，，在平面上有连续偏导数，、均为、的多项式。然后计算，，所以方程不是恰当微分方程，因为，所以，解得，积分因子是，得。此时方程是恰当微分方程，进行凑微分，方程可化为因此，方程的通解是，是任意常数。结论关于初等积分法，它的本质是求积分，因为都把求解变成求积分。在求解完成后，用初等函数或它们的积分的方式，经过有限次数的运算，把方程的解表示出来。在一般的常微分方程的求解过程中，化归思想的应用最为普遍，可以优化求解流程和简化解题步骤。我们经常会依照给定微分方程的形式特点和方程类型，来选择合适的解法。再者是对微分方程做出恰当的变换和改写，把方程转化为常见的或者便于求解的方程类型后再进行运算。其中值得特别注意的是，若方程以微分形式出现，应当优先考虑使用分项和组合的策略，这样可以使微分方程的解答相对简练快捷。四年相对人生来说并不太长，这四年里我收获了很多，它对于我的人生都意义非凡。在此我要感谢我的父母，我的母校以及各位老师和同学们。感谢父母对我多年来的养育之恩，感谢他们对我学业上的支持和生活上的关爱，是他们一直在默默地做我坚实的后盾，才让我得以在成长的道路上勇往直前。感谢母校对我的栽培，让我在学校得以提升自己。感谢老师和同学们四年来的帮助和关怀，是他们伴随我走过了丰富多彩的大学生活。本次毕业论文是在导师的精心指导下完成的，在本论文的构思和写作过程中，我要感谢袁威威老师对我的细心指导和耐心解答。我在袁老师的从教上感受到了治学的严谨精神，也在其他任课老师那学到了应该如何做好一位人民教师，这对我今后从事教育方向的工作意义重大，再次感谢他们这四年来的教导与帮助。参考文献袁荣.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2012.4.张晓梅,张振宇,迟东璇.常微分方程[M].上海:复旦大学出版社,2010.8.刘秀湘,田艳玲,徐志庭,等.应用常微分方程[M].北京:科学出版社,2019.2.郭玉琼.基于化归思想的几种常微分方程解法研究[J].淮南职业技术学院学报,2018,18(05):89-90.韩祥临,张海亮,欧阳成,等.常微分方程简明教程[M].杭州:浙江大学出版社,2013.7.李娅.变量代换法在常微分方程求解中的应用[J].高等数学研究,2017,20(03):8-9.(瑞典)NailH.lbragimov著.微分方程与数学物理问题(中文校订版)[M].卢琦,杨凯,胡享平译.北京:高等教育出版社,2013.8.窦霁红.常微分方程导教·导学·导考[M].西安:西北工业大学出版社,2014.8.郭玉翠.常微分方程习题解答与学习指导[M].北京:清华大学出版社,2013.7.祁玉海,普瓜才让.积分因子法在求解常微分方程中的应用[J].数学学习与研究,2017(21):5-6.安然,田十方,刘晓薇.一阶微分方程的积分因子研究[J].齐鲁工业大学学报,2021,35(01):69-72.于娟.全微分方程的求解方法研究[J].电子技术,2020,49(11):142-143.Kh.A.Khachatryan,A.K.Kroyan.ExistenceofOddSolutionstoBoundaryValueProblemswithPowerNonlinearity[J].JournalofMathematicalSciences,2021,(253),382-390.AnhNgocPhamHuu.Contractionofstochasticdifferentialequations[J].Commun-icationsinNonlinearScienceandNumericalSimulation,2021,(95),56-64.BaccouchMahboub.Thediscontinu