高考数学精准复习专项大招7仿射变换含答案或解析

大招7仿射变换大招总结仿射变换,通俗来讲,就是将一个空间内的图形按照一定法则变换,就会在另一个空间内得到与之对应的新图形.在高考数学解析几何题目中,我们可以利用仿射变换将一部分有关椭圆的问题转化为圆的问题,这样就可以借助圆中的特有的一些性质解决问题,从而使问题的解决过程大大简化.椭圆,经过仿射变换,则椭圆变为了圆,并且变换过程有如下对应关系：(1)点变为(2)直线斜率变为(3)图形面积变为(4)点、线、面位置不变(中点依然是中点,相切依然是相切)(5)弦长关系满足,因此同一条直线上线段比值不变.仿射变换一般而言主要应用于选填中快速得出结果,对于大题可以利用仿射变换快速得出结果但是容易丟掉步骤分,因此还是用正常方法写出过程.当出现以下几个场景的时候就可以联想仿射变换去处理:(1)面积问题(尤其是有一个顶点是坐标原点的时候);(2)斜率之积出现之类;(3)同一条线段的比例问题;(4)其他与之相关联的问题.典型例题例1.-新课标已知点,椭圆的离心率为是椭圆的右焦点,直线的斜率为为坐标原点.+(I)求的方程; (II)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程.分析:这里第二问出现面积最大,因此可以联想仿射变换化椭为圆去做..解(I)设,由条件知,得,又,所以,故的方程.(II)方法1:依题意当轴不合题意,故设直线,设将代入,得,当,即时,从而又点到直线的距离,所以的面积,设,则,当且仅当等号成立,且满足,所以当的面积最大时,的方程为:或.方法2:作变换,椭圆变为圆:,,此时过点,此时因此最大时,同样最大.当且仅当时最大设直线方程为,那么到直线距离 直线的方程为总结思考:当过椭圆外一个定点作一条直线与椭圆交于两点时,面积最大值,当且仅当经过仿射变换之后的与原点所构成的三角形为直角三角形时取到最大值.如果定点是圆内点,则有两种情况:(1)如果作仿射变换之后到圆心距离大于等于,那么面积最大值仍然是如果作仿射变换之后到圆心距离小于,那么当时面积取到最大值.例2.设、分别是椭圆的左、右焦点.(1)若是该椭圆上的一个动点,求的取值范围;(2)设是它的两个顶点,直线与相交于点,与椭圆相交于、两点.求四边形面积的最大值.解(1)由题意可知, ∵∴设∴ 由椭圆的性质可知,* (2)方法1:设,联立消去整理可得 ∴直线的方程为:根据点到直线的距离公式可知,点到直线的距离分别为 ∴四边形的面积为 (当且仅当即时,上式取等号,所以的最大值为.方法2:作变换之后椭圆变为圆,方程为此时当且仅当时面积取到最大此时例3.(2017-肇庆三模)已知圆,定点是圆上的一动点,线段的垂直平分线交半径于点.(I)求点的轨迹的方程;(II)四边形的四个顶点都在曲线上,且对角线过原点,若,求证:四边形的面积为定值,并求出此定值.解(1)解:因为在线段的中垂线上,所以.所以所以轨迹是以为焦点的椭圆,且,所以。故轨迹的方程.(2)证明:方法1:不妨设点、位于轴的上方,则直线的斜率存在,设的方程为联立,得,则由,得.由(1)、(2),得.设原点到直线的距离为 由(3)、(4),得,故四边形的面积为定值,且定值.方法2:作变换后椭圆变为圆,方程为则. ∴例4.已知分别为椭圆的左、右顶点,为椭圆上异于两点的任意一点,直线的斜率分别记为.(1)求；(2)过坐标原点作与直线平行的两条射线分别交椭圆于点,问:的面积是否为定值?请说明理由.分析:第一问的,并且出现了以原点为顶点的三角形的面积因此考虑用仿射变换去处理.(1)设Px0∴(2)方法1:①lMN⊥x轴时,设又a24②lMN与x轴不垂直时,设直线MN方程为:y∴=∴综上可知,△MON面积为方法2:作变换x'=xy'于是k则S∴总结思考：当斜率之积出现−b例5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>(1)求椭圆C的方程;(2)若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|,且PB与椭圆交于点解：(1)设椭圆的焦距为2c,易知a=2方法1:设Ax1,y1,Bx2,yx∴1+9λ2因此|方法2:作变换x'=xy'因此k过点O作OH⊥B'P又由于O思考总结:当出现同一条边的比值问题的时候很多时候就可以考虑能否用仿射变换利用圆的性质对其作变形化简,很多情况能简化相当多的问题.而这道题还出现了斜率之积为−b例6.已知A(−2,0),B(2,0),平面内一动点P(1)求P点运动轨迹C的轨迹方程;(2)已知直线l与曲线C交于M,N两点,当P点在1,32时,解：：(1)设P(x⇒P点轨迹方程为:(2)方法1:显然直线l不垂直于x轴,故设l:x∴===整理得:(2若2k+2m−3=0,此时若2k−1=0⇒k=方法2:作变换x'=xy'于是kP因此P'M'过点P'作P'Q⊥x则∠M'∴M'∴总结思考:除了以上三种形式以外,出现类似的情况同样可以考虑仿射变换,化椭为圆,利用圆的性质去处理.自我检测已知直线l与椭圆x24+y22=1交于M,N两点,当kOM⋅kON=________,ΔMON面积最大,并且最大值为________.记MMN是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一条不过原点且不垂直于坐标轴的弦,P是MN的中点,则kMN⋅kOP________.过椭圆x24+y23=1的右焦点已知A,B,C分别是椭圆xM,N分别是椭圆x24+yP是椭圆x24+y2=1上任意一点,O为坐标原点,PO=2OQ,过点Q已知椭圆C:x22+y2=1左顶点为A,P,Q为椭圆C上两动点,直线PO交AQ于E,直线QO交已知椭圆C:x24+y2=1上的两点A,B(15山东)平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(求椭圆C的方程;设椭圆E:x24a2+y24b2=1,P为椭圆C上任意一点,过点①求|OQ②求△ABQ已知椭圆C:x2a2+y(1)求椭圆C的方程;(2)线段AB的中点为M,当△AOB面积最大时,是否存在两定点G,H(16北京)已知椭圆C:x2求椭圆C的方程和离心率;设P为椭圆第三象限内且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证四边形ABNM面积为定值.(16四川)已知椭圆E:x2a2求椭圆E的方程及T的坐标;设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l 交于点P.求证:存在常数λ,使得|PT(19全国卷III)已知A(−2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与直线(1)求C的方程,并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E.连接 QE并延长交(i)证明:△PQG(ii)求△PQG(21成都一模)已知椭圆C:x2a2+y2b求椭圆C的方程;设直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B,M