四川省乐山市2025届高三第一次调查研究考试数学试题含答案

/四川省乐山市2025届高三第一次调查研究考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．若复数，则（

）A． B． C． D．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．若函数无极值，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．4．近年来，新能源汽车产销量的快速增长推动了动力电池产业的发展．已知蓄电池的容量C(单位：)、放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间满足的关系式为．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（

）A．35h B．30h C．25h D．20h5．已知直线与圆，则“”是“圆上恰有3个点到直线的距离为1”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知A，B是抛物线上的两点，且线段AB的中点横坐标为5，则的最大值是（

）A．34 B．29 C．22 D．177．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（

）A．米 B．米 C．米 D．米8．已知A，B为直线与函数的图象的任意两个不同的交点，且A，B两点之间的最小距离是，则（

）A． B．1 C．2 D．4二、多选题（本大题共3小题）9．已知双曲线的左、右焦点分别是，，A是y轴上一定点，且是等腰直角三角形，B为直线与双曲线C的一个交点，若，则双曲线C的离心率可能是（

）A． B． C． D．10．某学校为了提高高三年级学生的某学科成绩，在第一次联考后采取了“培优补短”等一系列举措.为了更好地总结经验，现从高三年级1000名学生中随机抽取100名学生，将其前后两次联考成绩满分150分分别按照分成五组，绘制成频率分布直方图，如图所示.下列说法正确的是（

）A．B．估计该年级第二次联考成绩在内的学生比第一次联考对应分数段的多10人C．第二次联考学生的成绩平均分高于第一次联考学生的成绩平均分D．与第一次联考相比，第二次联考成绩在内的学生人数减少，在内的学生人数增加11．若、分别是函数、的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则的取值可能是（

）A． B． C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量，满足，，且，则，的夹角是.13．现有6根小棒，其长度分别为，从这6根小棒中随机抽出3根首尾相接（不能折断小棒），则能构成三角形的概率是.14．在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台外接球的表面积是.四、解答题（本大题共5小题）15．设等差数列的前n项和为，且，（为常数）(1)求a的值；(2)求的通项公式；(3)若，求数列的前n项和16．如图，在四棱锥中，，，，，，E，F分别是棱PA，PC的中点.(1)证明：平面(2)求四棱锥的体积.(3)求平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值.17．某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队．(1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率；(2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．18．已知函数，且曲线在点处的切线斜率是(1)求a的值.(2)证明：(3)证明：19．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别是是椭圆上一点，且.(1)求椭圆的标准方程.(2)过点的直线与椭圆交于两点（异于顶点），直线分别交椭圆于两点（异于）.①当直线的斜率不存在时，求的面积；②证明：直线过定点.

参考答案1．【答案】C【详解】，.故选：C.2．【答案】A【详解】由，得，得，所以，又因为，则故选：A.3．【答案】B【详解】的导数为，函数不存在极值点，在R上恒成立，即恒成立，，解得，即实数a的取值范围是故选：B.4．【答案】D【详解】由，得．故选：D5．【答案】A【详解】由圆上恰有3个点到直线的距离为1得到圆心到直线的距离为1，则，解得，则“”是“圆上恰有3个点到直线的距离为1”的充分不必要条件.故选：A.6．【答案】C【详解】由抛物线，可得，焦点坐标为，设，，则，所以，当弦AB过焦点时取得最大值故选：C.7．【答案】B【详解】设，则可得，由，可得B是AC的中点，所以，而，则，，中，由余弦定理可得：，解得：，所以该建筑的高度米.故选：B.8．【答案】B【详解】，由题意得，的最小正周期为，，故选：B.9．【答案】AC【详解】设，，，因为是等腰直角三角形，所以，，

又因为，当为AB中点，所以，，即，因为B在双曲线上，所以，整理得，又因为，所以，整理得，即，即，设，则，解得，又，所以，所以当在之间，所以，，即，因为B在双曲线上，所以，整理得，

又因为，所以，整理得，即，即，设，则，解得，又，所以，所以，综上所述：双曲线C的离心率可能是或以，故选：AC.10．【答案】BCD【详解】对于A，因为频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以，解得：，故A错误；对于B，估计该年级第二次联考成绩在内的学生为人，第一次联考成绩在内的学生为人，所以估计该年级第二次联考成绩在内的学生比第一次联考对应分数段的多10人，故B正确；对于C，第一次联考学生的成绩平均分为第二次联考学生的成绩平均分为，故C正确；对于D，由频率分布直方图可知，第一次联考成绩在内的频率为第二次联考成绩在内的频率为，第一次联考成绩在内的频率为，第二次联考成绩在内的频率为，所以与第一次联考相比，第二次联考成绩在内的学生人数减少，在内的学生人数增加，故D正确.故选：BCD.11．【答案】ABC【详解】函数的定义域为，则对任意的恒成立，所以，函数是上的增函数，且，则.因为与互为“零点相邻函数”，所以，即，解得.因为，所以0，所以在上有解，即在上有解.设，则.由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，所以，函数的极小值为，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数在上的图象有公共点，所以，，即实数的取值范围是.故选：ABC.12．【答案】【详解】由得，，即，据此可得：，，又与的夹角的取值范围为，故与的夹角为故答案为：13．【答案】/0.35【详解】从这6根小棒中随机抽出3根，共有种不同的情况，其中能构成三角形的情况有，共7种，故所求概率.故答案为：.14．【答案】【详解】已知，，设正四棱台的高为h，侧棱与底面所成角为，分别为上下底面的中心，因为底面ABCD是边长为4的正方形，则，已知，根据三角函数关系，又因为，即，所以设正四棱台外接球的球心为O，半径为设球心O到上底面的距离为x，则球心O到下底面ABCD的距离为上底面是边长为2的正方形，其外接圆半径，下底面ABCD是边长为4的正方形，其外接圆半径根据球心到正四棱台上下底面顶点距离相等可得：，则，即，两边消去，可得，解得，将代入，得根据球的表面积公式，将代入可得故答案为：.15．【答案】(1)0(2)(3)【详解】（1）当时，，当时，，因为是等差数列，则时也应满足，即，又，所以，解得；（2）由（1）得（3），16．【答案】(1)证明见解析(2)4(3)【详解】（1）取AB的中点M，连接DM，且，，从而四边形MBCD是矩形，则，又，所以，得，从而，又，，平面PAD，所以平面PAD；（2）由（1）可知平面PAD，平面PAD，所以，又由，，则，得是一个等腰直角三角形，从而，又，，所以≌，，所以，，平面ABCD，平面ABCD，PD长就是四棱锥的高，中，易得，，从而（3）由（1）（2）可以D为原点，分别以DM、DC、DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，，，，则，，可得，设平面DEF的法向量为，则，令，则，所以平面DEF的一个法向量为，而平面ABCD的法向量可取，所以，所以平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值为17．【答案】(1)(2)分布列见解析，3【详解】（1）解：设事件A为“小张被选入医疗救援队”，则．（2）X的所有取值可能为1，2，3，4，5，，，，，，X的分布列为X12345P故．18．【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）因为，所以，所以，因为曲线在点处的切线斜率是，所以，解得；（2）由（1）知，，则，由，得，由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以；（3）令，则，令，则，所以在上单调递增，又，所以存在，使得，即，即，所以当时，，则，当时，，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以，所以，所以，即19．【答案】(1)(2)①；②证明见解析【详解】（1）由题意可得，解得.故椭圆