2022年数学运算基础知识

整体代入适当组合等差数列等比数列平方数列立方数列均值不等式巩固提高数列(一)整除特性两个整数a、6,如果。÷6,商为整数，且余数为零，我们就说a能被6整除，或者说6能整除a.(1)如果数a能被c整除，数6能被c整除，则a+b、a-b均能被c整除。(2)如果数a能被c整除，m为任意整数，则a*m也能被c整除。(3)如果数a能被6整除，数a能被c整除，且b和c互质，则数a能被b-c整除。整除检定性质整除特点22能被2整除=422能被2整除48整除特点396+5+7=18能被9整除→657能被9整除被5、25整除特点50能被5整除=430能被5整除75能被25整除=4375能被25整除被11整除特点(9+5)-(6+8)=0能被11整除=9658能被11整除被7、13整除特点7这个数能被7整除7整除如果一个数末三位与前面部分数字之差能被13整除，13整除一个数如果是另一个整数的平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、9.1.【选择题】有一食品店某天购进了6箱食品，分别装着饼干和面包，重量分别为8、9、16、20、22、27公斤。该店当天只卖出一箱面包，在剩余的5箱中饼干的重量是面包的两倍，则当天食品店购进了()公斤面包。【答案】D【核心点】由“剩余的5箱中饼干的重量是面包的两倍”,阐明的重量和应当是3的倍数，而6箱食品的总重量8+9+16+20+22+27=102为3的倍数，故卖出的一箱面包重量也为3的倍数，则重量只能是9或27公斤。如果卖出的面包重量为9公斤，则剩余的面包重量为(102-9)÷3=31公斤，没有合适的几箱如果卖出的面包重量为27公斤，则剩余的面包重量为(102-27)÷3=25满足条件，则面包总重量为27+25=52公斤。2.【选择题】由1、3、4、5、7、8这六个数字所构成的六位数中，能被11整除的最大的数【答案】B【核心点】这个六位数各位数字之和为1+3+4+5+7+8=28。能被11整除的数满足奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之差能被11整除分析可知，只有差为0-种状况，即偶数位和奇数位上的数字和均为14,为了使得该数最大，首位应为8,第二位是7,由14-8=6知第三位最大是5,那么第五位为1,因此该数最大为3.【选择题】一种三位自然数正好等于它各位数字之和的18倍，则这个三位自然数是()。【答案】D【核心点】这个三位数是18的倍数，则它一定能被9和2整除，选项中只有D符合。4.【选择题】修剪果树枝干，第1天由第1位园丁先修剪1棵，再修剪剩余的1/10,第2天由第2位园丁先修剪2棵，再修剪剩余的1/10,……,第凡天由第n位园丁先修剪n棵，成果n天就完毕，问如果每个园丁修剪的棵数相等，共修剪了()果树。【答案】D【核心点】“第n天由第n位园丁先修剪n棵，成果n天就完毕”,阐明第n位园丁修剪了n棵，而每个园丁修剪的棵数相等，故果树一共有n×n=n²棵，即棵数为完全平只有D项是完全平方数。(二)整数的约数与倍数两个正整数a和6,如果。能被6整除，那么我们称a是6的倍数，或者说6是a的约如果c是a的约数，c也是6的约数，那么我们称c是a和6的公约数。两个数的公约48可被1、2、3、4、6、8、12、16、24、48整除：64可被1、2、4、8、16、32、64整除。1、2、4、8、16是48和64的公约数，它们的最大公约数是16.如果c是a的倍数，c也是6的倍数，那么我们称c是a和6的公倍数。两个数的公倍例：15的倍数有15、30、45、60、75、90、105、120、125的倍数有25、50、75、100、125、150、175、2易见75、150--…是15和25的公倍数，它们的最小公倍数是75。3.最大公约数与最小公倍数的求法可采用分解质因数的措施求两个整数的最大公约数与最小公倍数，下面以两个数为例进行解说，多种整数的状况可以类推。分解质因数：每个合数都可以写成几种质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数。4.例：求42和90的最大公约数与最小公倍数?最大公约数是两个数的所有公有最低次幂质因数的乘积。42、90的公有质因数是2、3,因此42的最大公约数是2×3=6:最小公倍数是所有最高次幂质因数的乘积，也等于两个数之积与最大公约数之商。42、90的最小公)或者42×90÷6=630。5.【选择甲队的人数是乙队的70%。根据工程需要，现从乙队抽出40人到日136人，则甲队原有人数是()。【核心点】甲队人数是乙队的70%,则甲队人数一定是7的倍数，这样可以排除B、D;代入C项，甲队人数是10的倍数，甲队是乙队人数的700/0,则乙队人数也是10的倍数、从乙队抽出40人之后，甲乙两队相差的人数必然是10的倍数，这与题中条件不符，排除C。6.【选择题】已知甲、乙两人共有260本书，其中甲的书有13%是专业书，乙的书有12.5%【答案】B【核心点】甲的书有13%是专业书，则甲的书总数应当是100的倍数；乙的书有12.50/0是专业书，则乙的书总数应当是8的倍数。结合以上两个条件，只能是甲有100本书，乙有160本书。此时，甲的非专业书有100×(1-13%)=87本。7.【选择题】右图是由5个相似的小长方形拼成的大长方形，大长方形的周长是88厘米，【核心点】由于大长方形由5个相似的小长方形拼成，因此其面积应是5的倍数，选项中只有C符合。(三)整数的奇偶性8.【选择题】某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数(涉及不做)相差多少?【答案】D因此答对的题目与答错的题目同为奇数或同为偶数，两者之差也应是偶数，选项中只有D9.【选择题】同步扔出A、B两颗骰子(其六个面上的数字都为1、2、3、4、5、6),问两【答案】A此题中，乘积为奇数的状况有3×3=9种，则乘积为偶数的状况有6×6-9=27种。座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月共培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训?【答案】D【核心点】甲教室可坐50人，乙教室可坐45人，当月共培训1290人次，设甲教室举办了在②式中，50x和1290都是偶数，则45y是偶数，由此可知y是偶数。在①式中，已得y是偶数，则可知x是奇数，选项中只有D为奇数。(四)自然数的质合性11.【选择题】自然数N是一种两位数，它是一种质数，并且N的个位数字与十位数字都是【答案】A【核心点】这样的数共有4个，23、37、53、73。12.【选择题】一种长方形的周长是40,它的边长分别是一种质数和合数，这个长方形的面【答案】C【核心点】由长方形的周长为40,那么它的长和宽的和是40-2=20。将20提成一种质数和一种合数的和，有三种状况：2+18、5+15、11+9。易知该长方形的最大面积是9×11=99。13.【选择题】a、b、c都是质数，c是一位数，且a×b+c=1993,那么a+b+c的值是多少?A.171B.183C.184D.194【答案】D【核心点】a×b+c=1993,1993为奇数，则a×b为奇数、c为偶数或a×b为偶数、c为奇由a、6、c都是质数，可知c=2,a×(2)a×b为偶数、c为奇数a×b为偶数，则a、6中至少有一种偶数，由a、6、c都是质数，可知a、6中有一种为2(不妨设b=2),c是一位数，则c的值是3、5或7,相应的，可求得a的值是995、994或993,都不是质数。例如：23除以5的余数是3,18除以5的余数也是3,则称23与18对于5同余。例如：15除以7的余数是1,18除以7的余数是415+18=33,1+4=5,则33除以7的余数与5同余18-15=3,4-1=3,则3除以7的余数与3同余15×18=270,1×4=4,则270除以7的余数与4同余14.【选择题】a除以5余1,6除以5余4,如果3a>b,那么3a-6除以5余几?【核心点】a除以5余1,则3a除以5余3(两个数积的余数与余数的积同余)6除以5余4,则3a-b除以5余-1(两个数差的余数与余数的差同余)由于余数不小于0而不不小于除数，-1+5=4,故所求余数为4。3.剩徐定理3.剩徐定理五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”意思是，一个数除以3余2,除以5余3,除以第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1.即15;第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1,即21;第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1,即70;最后，再减去3、5、7最小公倍数的若干倍，即：233-105×2=23.15.【选择题】一种三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有()。【答案】A【核心点】一方面看后两个条件，很容易看出7是满足条件的最小的自然数，而7正好也满足第一种条件。4、5、9的最小公倍数为180,因此满足条件的三位数形式为7+180n,,凡为自然数，要使7+180n,为三位数，则n=1、2、3、4、5,满足条件的三位数有5个。(1)“余同”16.【选择题】一种两位数除以4余1,除以5余1,除以6余1,求最小数?【答案】D【核心点】显然三个条件规定的余数相似，如果令最小数为S,那么S-1显然能被4、5、6整除，故这个最小数为60+1=61。(2)“和同”17.【选择题】一种三位数除以5余3,除以6余2,除以7余1,求这个最小数?【答案】C【核心点】我们可以这样想：一种数除以5余3,如果我们把这里的商减去1加到余数上，那么余数得加上5,就相称于“余数”为8,其她条件同样解决，就变成同余问题了，也就是如果令这个数为S.S-8能被5、6、7同步整除，即最小数为：210+8=218(这里210为5、6、7的最小公倍数)。(3)“差同”18.【选择题】某班学生列队时，排3路纵队多一人，排4路纵队多2人，排5路纵队多3【答案】B【核心点】典型“中国剩余定理”问题。即求“除3余1,除4余2,除5余3的最小数”,而本题三个条件由于3-1=4-2=5-3=2,即差相似，那么令最小数为x,则有x+2能被3、4、5同步整除，而3、4、5最小公倍数为60,故这个班至少有58人。一个自然数n次方尾数等于它尾数n次方的尾数，因此我们只需要考虑0-9的n次方7的尾数以“7、9、3、1”循环变化，循环周期为425°(n≥1)的末两位都是251.【选择题】173×173×173-162×162×162=().A.926183B.936185C.926187D.926189【答案】D【核心点】选项四个数的尾数各不相似，直接计算各项尾数，3×3×3-2×2×2=27-8=19;可知成果的尾数应当是9,因此只能选D。2.【选择题】3!+4!+5!+…+999!的尾数是几?【答案】A【核心点】3!=6,尾数为6;4!=24,尾数为4;5!=120,尾数为0;当n>5时，n!尾数为031+4!+5!+…+9991的尾数和为6+4+0=10,尾数为0。3.【选择题】8,88,888,8888,……,如果把前88个数相加，那么它们的和的末三位数是多少?【答案】C运用尾数法对末两位进行运算即可。8+88×87=7664,末两位数为64,因此选C。4.【选择题】求7+8+9+789×987的个位数字?【答案】A【核心点】此题考察的是尾数的计算，需要对自然数多次方的尾数变化规律纯÷4=502,因此7的尾数与7'的尾数相似，为1;除以4余数是1,因此8的尾数与8¹尾数相似，为8;是偶数，因此9的尾数是1。两个自然数乘积的尾数等于尾数的乘积的尾数，因此789×987的尾数是9×7=63的尾数，为3。综合上面分析，1+8+1+3=13,因此原式的个位数字是3。(二)弃九法(二)弃九法把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数(和是9,要减去9得0),这个数就叫做原数的弃九数，如1+4+6+3+5+7=26,2+6=8,则146357的弃九数是8.当尾数法不能使5.【选择题】11338×25593的值为()。【答案】B1+6=7,11338的弃九数为7;2+5+5+9+3=24,2+4=6,25593的弃九数为6;7×6=42,4+2=6,则答案的弃九数为6。经计算，只有选项B的弃九数是6。6.【选择题】已知,则(2x-y)³+(5x-y)(2x²-y²+xy)=(【答】B【核心点】若直接代入x、y的值计算所求式子的值会很繁琐，此时应当先对原式化简。考虑所求式第二项第二个括号，很容易想到分解因式，然后通过提取公因式，达到化简所求式的目的，然后裔入计算，减少计算量。具体计算过程如下：=(2x-y)[(2x+(5x-y)(x+y)]=(2x-y)(4x²-4xy+y²+5x(四)裂项相消(四)裂项相消裂项相消是将数列中的每项(通项)分解，使之能消去一些项，最终达到简化计算的目的。下面是一些常见的通项的裂项方式：4【核心点】如果直接计算这道题，计算量会很大，并且很不现实。题中各项形式相似，可分析通项，谋求减少计算量、能迅速计算的措施。具体过程如下：n从通项入手：这个数字共有9项，第n项可表达为(n+1)!对这个分式进行改写，运用裂项相消的思想，将分式拆成两项的差。运用前面给出的第五个式子，可得运用这个公式，原式可以不久求出成果(五)整体代入(五)整体代入整体代入是指在算式计算的过程中，把一个复杂的部分看成一个整体，对算式进行简化。8.【选择题】已【答案】A【核心点】此题给出的是两个方程，可以联立解得x、y的值，然后裔入求值，但题干方程中具有分数.所求也也许是某些分数，这样计算量肯定很大，于是需要考虑能简化计算的措施。所求式有 两项分析，可以从平方的角度考虑。具体过 两项分析，可以从平方的角度考虑。具体过上面两式相加，合并同类项可得：上式左边和所求式比较，发现，即为所给条件等式左边之和。综合上面分析可知，所求式子的值是(六)适当组合(六)适当组合在计算复杂算式时，将同类项适当组合在一起，通过加减相消、乘除相消可达到减少计算量的目的。9.【选择题】【核心点】此题规定的是两个式子的差，可单独计算两个式子的值，第一种式子提取公因式1/179,第二个式子提取公因式1/358,两个式子剩余的部分都是等差数列，可以计算得出最后成果。此题如果注意到两部分的分母179和358是2倍关系，可对两部分进行合适组合，减少计算量。按一定次序排列的一列数称为数列。数列中(这个数列的首项。如果一个数列的第n项a与其项数n之间的关系可用式子来表示，这个式子就称为该数列的通项公式。在公务等差数列为主，等比数列、平方数列、立方数列时有出现。a=am+(n-m)da=am+(n-m)d求和公式：am+a₄=a+a,其中m+n=i+j中项求和公式：①当n为奇数时，等差数列中项为：即差中项(二)等比数列通项公式：递推公式：求和公式：对称公式：;1.【选择题】一张考试卷共有10道题，背面的每一道题的分值都比其前面一道题多2分。如果这张考卷的满分为100分，那么第八道题的分值应为多少?【核心点】每道题的分值构成了一种公差为2的等差数列，显然10-LU可运用等差数列的求和公 a=a₁+(n-1)d,求出ag=15。然后根据等差数列的通项公式L2.【选择题】1992是24个持续偶数的和，问这24个持续偶数中最大的一种是多少?A.84B.106C.108 a=10。3.【选择题】某工厂11月份工作忙，星期日不休息，并且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相似人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人240人。如果月底记录总厂工人的工作量是8070个工作日(一人工作一天为1个工作日),且无人缺勤，那么,这月由总厂【答案】B【核心点】工厂人数是不断变化的，总厂人数每天减少相似的人数，这个人数可以视为公差，30天的总厂人数构成递减的等差数列，最后一项是240,每天的工人数累加和为8070,则此题可转化为数列问题求解。为以便计算可将其转为首项是240的递增等差数列。首项为240,公差设为d的等差数列.30项之和为8070,则即每天派到分厂2人，一共派了2×30=60人.1.【选择题】共有920个玩具交给两个车间制作完毕。已知甲车间每个人可以完毕17个，乙车间每个人可以完毕23个，现已知甲、乙两车间共有四十多人，问甲车间比乙车间多多少人?【答案】A【核心点】设甲车间有x人，乙车间有y人，则17x+23y=920。23y和920都能被23整除，则17x能被23整除，而17和23互质则x能被23整除，而两个车间人数为四十多人，则x=0、23或46若x=23,则y=23,x+y=46,满足题意，此时x-y=0,选择A;2.【选择题】有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是()。A.1辆B.3辆C.2辆D.4辆’【答案】B【核心点】设大客车需要x辆，小客车需要y辆，则37x+20y=271。20y的尾数必然是0,则37x的尾数只能是1。结合选项，只有x=3才干满足条件(一)由不等式拟定未知量取值范畴单位共有52人参与投票，并且在计票过程中的某时刻，甲得到11票，乙得到16票，丙得到9票。如果得票比其她两人都多的候选人将成为工会主【答案】C【核心点】还剩余52-11-16-9=26张票。设甲再得到x票保证当选，则考虑最差状况，即剩余的票都被乙、丙中票数较多的乙得到。依题意有11+x>16+(26-x),解得x)符合题意的最小整数为16。因此甲至少再得到16票就能保证当选。则至少需要冲洗几次才可使得最后残留的污垢不超过初始时污垢的1%?【核心点】每次均可冲洗掉上次所残留污垢的3/4,则冲洗凡次后残留的污垢为初始时污垢4解得符合题意的n的最小整数为4。4均值不等式：任意n个正数的算术平均数总是不小于其几何平均当且仅当a₁=a₂=…=a时，等号成立。当且仅当a=b时等号成立当且仅当a=b=c时等号成立3.【选择题】数列(),…中，数值最小的项是()。C.第9项D.不存在【答案】B【核心点】根据均值不等式的性质得到当即n=6时上述不等式取等号，因此第6项最小。且0<a、b、c<1,a+b+c=1,则△DCF面积的最大值是()。oo由上面的三个式子可知S△Dc=aS△xg=abS△CE=abcS△CRa题中三个正数和为1,当且仅当三个数相等时，它们的乘积最大，即 (一)基础练习1.【选择题】为了打开保险箱，一方面要输入密码，密码由7个数字构成，它们不是2就是3,2在密码中的数目比3多，并且密码能被3和4整除，试求出这个密码?A.2323232B.2222232C.2222332D.2322222【核心点】由于密码2比3多，因此2也许有4、5、6或7个，当有4个“2”时，所有密码数字和为17;当有5个2时，和为16;当有6个2时，和为15;要想被3整除，只能是6个2,又密码被4整除，故后两位是32,因此密码为2222232。2.【选择题】甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行。目前要把【答案】D【核心点】从表面上看，题目问的是“剩余”人数，然而解答这道题目的核心是它们的最大公约数是8。因此，每组有8人，丁校分组状况是97÷8=12……1,即丁校分组后剩余1人。3.【选择题】在1000以内，除以3余2,除以7余3,除以11余4的数有多少个?【答案】A【核心点】用逐渐满足法得到59是满足题意的最小数。则满足题意的数字为59+231a,231为3、7、11的最小公倍数，a为正整数。1000÷231=4.-----75,因此总共有5个这样的数字。4.【选择题】如果a、b均为质数，且3【答案】C【核心点】41除以7余数为6,故3a除以7余数也为6,a最小为2,此时b=5,符合题意，选C。5.【选择题】某人筹划在7天里读完一本有385页的书，第一天读了40页。已知从第二天【答案】C【核心点】由S=(a₁+an)×n÷2得a=385×2÷7-40=70,由a=a₁+(n-1)xd得d=(70-40)÷6=5,即每天多读5页。(二)巩固提高6.【选择题】某管理局车库里有6个油桶，分别盛有汽油、柴油