高中数学 第2章 统计 2.4 线性回归方程（1）教学实录 苏教版必修3

高中数学第2章统计2.4线性回归方程（1）教学实录苏教版必修3学校授课教师课时授课班级授课地点教具教材分析本章节内容为高中数学必修3第2章统计中的2.4节“线性回归方程（1）”，主要讲解线性回归方程的基本概念、性质以及求解方法。通过本节课的学习，学生能够掌握线性回归方程的求解步骤，并能够运用线性回归方程解决实际问题。本节课与课本内容紧密相连，符合教学实际，实用性较强。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数据分析观念、数学建模能力和应用意识。学生通过学习线性回归方程，将实际问题转化为数学模型，提升对数据关系的直观感知和抽象概括能力，同时锻炼运用数学工具解决实际问题的能力，增强数学与生活的联系。学情分析本节课面向的是高中一年级的学生，他们刚刚接触高中数学，对数学学科的学习兴趣和基础水平参差不齐。在知识层面，学生对统计学的基本概念和初步方法有一定了解，但对线性回归方程这一高级统计方法的理解可能较为困难。在能力方面，学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和解决问题的能力正在逐步形成，但尚需进一步锻炼。在素质方面，学生的自主学习能力和合作学习意识有待提高。

学生的行为习惯对课程学习有直接影响。部分学生可能存在依赖教师的讲解，缺乏主动探究的习惯；部分学生可能对数学学习缺乏信心，容易产生畏难情绪。此外，学生在使用计算器和计算机软件进行数据处理和分析时，可能存在操作不熟练的问题。

针对以上情况，教学过程中需要关注以下几点：首先，通过创设情境，激发学生的学习兴趣，引导他们主动探究线性回归方程的概念和求解方法；其次，通过小组合作学习，培养学生的合作意识和团队精神；再次，通过实际案例的分析，提高学生的实际问题解决能力；最后，通过适当的教学策略，帮助学生克服畏难情绪，增强学习信心。教学方法与策略1.采用讲授法与讨论法相结合的方式，讲解线性回归方程的基本概念和理论，同时引导学生通过讨论深入理解。

2.设计实例分析环节，通过实际数据的线性回归分析，让学生亲自动手操作，体验数学建模过程。

3.利用多媒体教学手段，展示线性回归方程的图形和动态变化，帮助学生直观理解其几何意义。

4.引入在线互动平台，鼓励学生在课堂上进行实时讨论和反馈，提高课堂互动性和参与度。教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示一组关于房价与面积的数据，引导学生思考如何找到两者之间的关系。

2.提出问题：如何用数学方法描述房价与面积之间的线性关系？

3.引入新课：介绍线性回归方程的概念及其在统计学中的应用。

二、讲授新课（15分钟）

1.线性回归方程的定义和性质（5分钟）

-解释线性回归方程的含义，强调其为描述两个变量之间线性关系的数学模型。

-介绍线性回归方程的基本性质，如线性、可加性、最小二乘法等。

2.线性回归方程的求解方法（5分钟）

-讲解最小二乘法原理，说明如何通过最小化误差平方和来求解线性回归方程。

-展示线性回归方程的求解步骤，包括计算斜率和截距。

3.线性回归方程的应用（5分钟）

-通过实例分析，展示线性回归方程在预测、决策等方面的应用。

-引导学生思考如何将线性回归方程应用于实际问题。

三、巩固练习（10分钟）

1.练习1：计算一组数据的线性回归方程（5分钟）

-学生独立完成计算，教师巡视指导。

2.练习2：分析实际数据，建立线性回归方程（5分钟）

-学生分组讨论，教师点评并解答疑问。

四、课堂提问（5分钟）

1.提问1：线性回归方程与相关系数有何区别？

2.提问2：线性回归方程在实际应用中可能存在哪些问题？

五、师生互动环节（10分钟）

1.教师提问：如何判断线性回归方程的拟合效果？

2.学生回答：通过观察残差图、计算R²等指标。

3.教师讲解：残差图和R²的意义及如何分析。

4.教师提问：如何改进线性回归方程的拟合效果？

5.学生回答：通过增加自变量、选择合适的模型等。

6.教师讲解：模型选择、变量选择等策略。

六、核心素养能力的拓展要求（5分钟）

1.引导学生思考：线性回归方程在实际应用中的局限性。

2.学生讨论：如何克服线性回归方程的局限性，提高预测准确性。

七、总结与作业布置（5分钟）

1.总结本节课所学内容，强调线性回归方程的概念、求解方法和应用。

2.布置作业：分析一组数据，建立线性回归方程，并解释其意义。

总用时：45分钟学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握程度：

-学生能够理解和掌握线性回归方程的基本概念，包括线性、可加性、最小二乘法等性质。

-学生能够熟练计算线性回归方程的斜率和截距，并能应用最小二乘法求解。

-学生能够识别和建立实际问题中的线性关系，并将其转化为线性回归方程。

2.能力提升：

-学生的数据分析能力得到提升，能够运用线性回归方程对数据进行描述和分析。

-学生的数学建模能力得到锻炼，能够将实际问题转化为数学模型，并利用模型进行预测和决策。

-学生的逻辑推理能力得到加强，能够在建立线性回归方程的过程中，进行严密的逻辑推理。

3.实用性应用：

-学生能够将线性回归方程应用于实际问题，如预测房价、分析消费者行为等。

-学生能够识别和分析残差，判断线性回归方程的拟合效果，并提出改进措施。

-学生能够理解线性回归方程的局限性，并探索其他统计方法的应用。

4.思维方式转变：

-学生从对统计学的直观认识转向对统计方法的理解和应用。

-学生从被动接受知识转向主动探索和解决问题的学习态度。

-学生从关注个别数据转向关注整体数据分布和规律。

5.自主学习能力：

-学生能够自主查阅相关资料，了解线性回归方程的背景和发展。

-学生能够自主设计实验，收集数据，并进行线性回归分析。

-学生能够自主反思和总结学习过程中的问题，提高自主学习能力。

6.合作学习能力：

-学生能够在小组合作中分享观点，共同解决问题。

-学生能够学会倾听他人的意见，尊重他人的想法。

-学生能够通过合作学习，提高团队协作能力。典型例题讲解例题1：已知某城市近五年的GDP（单位：亿元）和人口数量（单位：万人）如下表所示：

|年份|GDP（亿元）|人口数量（万人）|

|------|-------------|-----------------|

|2016|1000|500|

|2017|1100|520|

|2018|1200|540|

|2019|1300|560|

|2020|1400|580|

求GDP与人口数量之间的线性回归方程。

解答：首先，计算GDP和人口数量的平均值，得到GDP的平均值为1200亿元，人口数量的平均值为560万人。然后，根据最小二乘法，计算斜率和截距。斜率b的计算公式为：

\[b=\frac{n(\sumxy)-(\sumx)(\sumy)}{n(\sumx^2)-(\sumx)^2}\]

截距a的计算公式为：

\[a=\frac{\sumy-b(\sumx)}{n}\]

将数据代入公式计算，得到斜率b和截距a。最后，写出线性回归方程：

\[y=ax+b\]

例题2：某公司过去三年的年销售额（单位：万元）和广告费用（单位：万元）如下表所示：

|年份|年销售额（万元）|广告费用（万元）|

|------|-----------------|-----------------|

|2018|300|50|

|2019|350|60|

|2020|400|70|

求年销售额与广告费用之间的线性回归方程。

解答：与例题1类似，首先计算平均值，然后使用最小二乘法计算斜率和截距。得到斜率b和截距a后，写出线性回归方程。

例题3：某地区近五年的降雨量（单位：毫米）和温度（单位：摄氏度）如下表所示：

|年份|降雨量（毫米）|温度（摄氏度）|

|------|----------------|----------------|

|2016|800|15|

|2017|750|14|

|2018|700|13|

|2019|650|12|

|2020|600|11|

求降雨量与温度之间的线性回归方程。

解答：计算平均值，使用最小二乘法计算斜率和截距，得到线性回归方程。

例题4：某品牌手机近三年的销量（单位：台）和价格（单位：元）如下表所示：

|年份|销量（台）|价格（元）|

|------|-------------|-------------|

|2018|10000|2000|

|2019|12000|1900|

|2020|15000|1800|

求销量与价格之间的线性回归方程。

解答：计算平均值，使用最小二乘法计算斜率和截距，得到线性回归方程。

例题5：某地区近五年的居民收入（单位：元）和消费支出（单位：元）如下表所示：

|年份|居民收入（元）|消费支出（元）|

|------|----------------|----------------|

|2016|30000|25000|

|2017|32000|26000|

|2018|34000|27000|

|2019|36000|28000|

|2020|38000|29000|

求居民收入与消费支出之间的线性回归方程。

解答：计算平均值，使用最小二乘法计算斜率和截距，得到线性回归方程。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.实践导向：在教学中，我注重将理论知识与实际应用相结合，通过案例分析和实际操作，让学生在解决实际问题的过程中掌握线性回归方程的应用。

2.互动式教学：我尝试采用小组讨论和角色扮演等方式，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度和互动性，使课堂氛围更加活跃。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生基础差异：由于学生来自不同的学习背景，他们对数学知识的掌握程度存在较大差异，这导致教学过程中难以满足所有学生的学习需求。

2.教学方法单一：在讲解线性回归方程时，我主要采用讲授法，虽然能够保证知识的系统性，但可能缺乏足够的互动和启发，影响了学生的主动学习。

3.评价方式局限：目前的评价方式主要依赖于学生的作业和考试成绩，这可能导致学生过分关注结果，而忽视了学习过程中的探索和思考。

反思改进措施（三）

1.个性化教学：针对学生基础差异，我将尝试采用分层教学的方法，根据学生的学习进度和能力水平，设计不同难度的教学活动，确保每个学生都能有所收获。

2.丰富教学方法：在教学中，我将尝试引入更多互动式教学手段，如小组合作、项目式学习等，以激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。

3.多元化评价：为了更全面地评价学生的学习效果，我将结合形成性评价和总结性评价，关注学生的学习过程和成果，鼓励学生进行自我反思和同伴评价。同时，我也将探索引入过程性评价，如课堂表现、作业完成情况等，以更全面地评估学生的学习情况。教学评价与反馈1.课堂表现：通过观察学生的课堂参与度和回答问题的积极性，评价学生的注意力集中程度和知识掌握情况。例如，学生能否准确回答关于线性回归方程的基本概念和求解步骤的问题，以及是否能够运用这些知识解决简单的实际问题。

2.小组讨论成果展示：在小组讨论环节，评价学生的合作能力、沟通能力和问题解决能力。例如，学生能否在小组内有效分工，共同完成数据分析任务，并能够清晰、准确地展示小组的讨论成果。

3.随堂测试：通过随堂测试，评估学生对线性回归方程的理解和应用能力。测试可以包括选择题、填空题和简答题，题目设计应贴近实际应用，如根据给定的数据集建立线性回归模型，并解释模型的意义。

4.课后作业：通过批改学生的课后作业，评价学生对知识的巩固程度和自主学习能力。作业可以包括对实际数据的线性回归分析，以及基于模型进行预测和解释。

5.教师评价与反馈：针对