2023九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用28.2.1 解直角三角形第2课时 解直角三角形的简单应用教学实录 （新版）新人教版

2023九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形第2课时解直角三角形的简单应用教学实录（新版）新人教版科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2023九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形第2课时解直角三角形的简单应用教学实录（新版）新人教版课程基本信息1.课程名称：九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用第2课时解直角三角形的简单应用

2.教学年级和班级：九年级（1）班

3.授课时间：2023年X月X日星期X第X节课

4.教学时数：1课时核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学建模、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养。通过解直角三角形的简单应用，学生能够将实际问题转化为数学模型，运用三角函数知识解决实际问题，提高数学建模能力。同时，通过推理和计算，学生能够锻炼逻辑推理和数学运算能力，培养直观想象和空间观念。学情分析九年级学生已具备一定的数学基础，对几何图形和三角函数有一定的认识。在知识层面，学生对锐角三角函数的概念和性质有一定了解，能够进行基本的三角函数计算。然而，由于九年级是初中阶段的最后一年，学生的学习压力较大，部分学生对数学学习兴趣不高，存在一定的厌学情绪。

在能力方面，学生的几何直观能力和空间想象能力有所提高，但在解决实际问题时，往往缺乏灵活运用所学知识的能力。此外，学生的逻辑推理能力和数学运算能力有待加强，这在解直角三角形及其应用中尤为明显。

在素质方面，学生的合作意识和团队精神有待提高。在解直角三角形的简单应用中，学生需要相互配合，共同解决问题。然而，部分学生在合作过程中表现出依赖心理，缺乏主动思考和独立解决问题的能力。

行为习惯方面，部分学生存在注意力不集中、学习效率低下等问题。在课堂学习中，这些行为习惯会影响学生对知识的吸收和理解，进而影响教学效果。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《新人教版九年级数学下册》教材，特别是第二十八章的内容。

2.辅助材料：准备与解直角三角形相关的图片、图表和视频，以帮助学生直观理解三角形的性质和三角函数的应用。

3.教学工具：准备直角三角板、量角器等几何工具，以便学生在课堂上进行实际操作和测量。

4.教室布置：设置分组讨论区，确保每个小组有足够的空间进行合作学习，并准备实验操作台，方便学生进行几何构造和验证。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。设计预习问题：围绕解直角三角形的简单应用，设计一系列具有启发性和探究性的问题，如“如何利用三角函数解决实际问题？”、“在解直角三角形时，如何选择合适的三角函数？”等。

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解解直角三角形的基本概念和步骤。

思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

帮助学生提前了解解直角三角形的简单应用，为课堂学习做好准备。

培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过实际生活中的例子，如测量屋顶高度或建筑物的角度，引出解直角三角形的课题，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解正弦、余弦、正切等三角函数在解直角三角形中的应用，结合实例帮助学生理解。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生根据预习内容，讨论如何解决实际问题，并展示他们的解决方案。

解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，如“如何确定三角函数的值？”、“如何处理无解或多解的情况？”等，进行及时解答和指导。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

参与课堂活动：积极参与小组讨论，分享自己的理解和解决方案。

提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解三角函数在解直角三角形中的应用。

实践活动法：设计小组讨论，让学生在实践中掌握解决问题的技能。

合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

帮助学生深入理解三角函数在解直角三角形中的应用，掌握解决实际问题的技能。

通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：根据解直角三角形的简单应用，布置适量的课后作业，如解决实际问题、设计几何图形等，巩固学习效果。

提供拓展资源：提供与解直角三角形相关的拓展资源，如在线几何工具、相关书籍等，供学生进一步学习。

反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导，指出作业中的错误和不足。

学生活动：

完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考，如探索三角函数在其他领域的应用。

反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议，如如何提高解题速度、如何更好地应用三角函数等。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

巩固学生在课堂上学到的解直角三角形的简单应用知识点和技能。

通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）三角函数的历史背景：介绍三角函数的发展历程，从古埃及到古希腊，再到现代数学的发展，让学生了解三角函数在数学史上的重要地位。

（2）三角函数在工程领域的应用：介绍三角函数在建筑、航海、机械设计等领域的应用，如建筑物的倾斜角度计算、船舶航向的调整等。

（3）三角函数在物理学的应用：介绍三角函数在波动、振动、光学等物理现象中的应用，如波的传播、振动的周期等。

（4）三角函数在计算机科学中的应用：介绍三角函数在计算机图形学、信号处理等领域的应用，如图像处理、音频处理等。

2.拓展建议：

（1）阅读相关书籍：《数学史概论》、《三角函数与几何学》等，帮助学生了解三角函数的历史背景和数学意义。

（2）观看科普视频：推荐观看与三角函数相关的科普视频，如《数学的故事》、《数学之美》等，激发学生对数学的兴趣。

（3）参与实践活动：组织学生参观建筑工地、船舶博物馆等，让学生亲身体验三角函数在现实生活中的应用。

（4）进行小组研究：鼓励学生分组研究三角函数在不同领域的应用，如建筑、物理、计算机等，培养学生的团队协作能力和研究能力。

（5）开展课题研究：引导学生选择一个感兴趣的领域，如建筑、物理、计算机等，进行课题研究，深入探讨三角函数在该领域的应用。

（6）设计数学游戏：利用三角函数的知识，设计有趣的数学游戏，如“三角函数猜谜”、“三角函数连连看”等，提高学生的学习兴趣。

（7）参与数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如全国中学生数学奥林匹克竞赛、全国青少年科技创新大赛等，提升学生的数学素养和创新能力。

（8）制作数学小报：要求学生以“三角函数”为主题，制作一份数学小报，展示自己对三角函数的理解和应用。

（9）撰写数学论文：引导学生撰写一篇关于三角函数的数学论文，如“三角函数在建筑领域的应用研究”等，培养学生的写作能力和研究能力。

（10）开展数学讲座：邀请相关领域的专家为学生开展数学讲座，如“三角函数在工程中的应用”等，拓宽学生的知识视野。教学评价与反馈1.课堂表现：

学生在课堂上的表现是评价教学效果的重要指标。本节课将通过以下方式评价学生的课堂表现：

（1）积极参与：观察学生在课堂讨论、小组活动中的参与程度，记录学生是否主动提问、回答问题、分享观点。

（2）专注度：评估学生在课堂上的专注程度，包括是否认真听讲、是否能够集中注意力完成课堂任务。

（3）互动性：观察学生与同学、教师之间的互动情况，包括提问、回答、讨论等，评估学生的沟通能力和团队合作精神。

2.小组讨论成果展示：

小组讨论是本节课的重要环节，通过以下方式评价小组讨论成果：

（1）讨论质量：评估小组讨论的内容是否深入，是否能够围绕主题展开，是否能够提出有建设性的意见和建议。

（2）分工合作：观察小组成员在讨论中的分工情况，是否能够各司其职，共同推进讨论进程。

（3）成果展示：评估小组展示成果的清晰度、逻辑性和创新性，包括是否能够清晰地表达观点、是否能够有效地运用所学知识解决问题。

3.随堂测试：

随堂测试是检验学生对本节课知识掌握情况的有效手段，通过以下方式评价随堂测试结果：

（1）知识掌握：评估学生对解直角三角形的基本概念、三角函数的应用等知识的掌握程度。

（2）解题能力：观察学生在解决实际问题时，是否能够灵活运用所学知识，是否能够独立完成解题过程。

（3）错误分析：分析学生在测试中出现的错误，找出错误原因，为后续教学提供改进方向。

4.课后作业完成情况：

课后作业是巩固课堂知识、培养学生自主学习能力的重要环节，通过以下方式评价课后作业完成情况：

（1）作业完成度：评估学生是否按时完成作业，作业是否完整。

（2）作业质量：评估作业的准确性和规范性，是否能够体现出学生对知识的理解和应用。

（3）作业反馈：针对学生的作业，给予及时、具体的反馈，帮助学生发现问题、改进不足。

5.教师评价与反馈：

针对以上评价内容，教师将进行以下评价与反馈：

（1）针对学生在课堂上的表现，给予正面鼓励和适当指导，帮助学生提高课堂参与度和专注度。

（2）针对小组讨论成果，给予肯定和指导，鼓励学生发挥团队合作精神，提高讨论质量。

（3）针对随堂测试结果，分析学生错误原因，调整教学策略，提高教学效果。

（4）针对课后作业，关注学生的完成情况，及时反馈，帮助学生巩固知识，提高解题能力。

（5）定期召开家长会，与家长沟通学生在课堂上的表现和作业完成情况，共同关注学生的成长。课后作业1.题型：已知直角三角形的两条直角边长，求斜边长。

例题：在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=3cm，BC=4cm，求斜边AB的长度。

答案：根据勾股定理，AB²=AC²+BC²=3²+4²=9+16=25，所以AB=√25=5cm。

2.题型：已知直角三角形的斜边长和一条直角边长，求另一条直角边长。

例题：在直角三角形ABC中，∠C是直角，AB=5cm，BC=3cm，求AC的长度。

答案：根据勾股定理，AC²=AB²-BC²=5²-3²=25-9=16，所以AC=√16=4cm。

3.题型：已知直角三角形的两条直角边长，求三角形的面积。

例题：在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=6cm，BC=8cm，求三角形ABC的面积。

答案：三角形ABC的面积S=(AC×BC)/2=(6cm×8cm)/2=48cm²/2=24cm²。

4.题型：已知直角三角形的斜边长和面积，求另一条直角边长。

例题：在直角三角形ABC中，∠C是直角，AB=10cm，三角形ABC的面积S=30cm²，求BC的长度。

答案：三角形ABC的面积S=(AC×BC)/2，所以AC×BC=2S=2×30cm²=60cm²。由于AB是斜边，根据勾股定理，AC²+BC²=AB²，即AC²+BC²=10²=100cm²。将AC×BC=60cm²代入，得到AC²+(60cm²/AC)²=100cm²。解这个方程，得到AC≈6.3cm。由于BC是直角边，BC=√(AC²-BC²)≈√(6.3²-4²)≈√(39.69-16)≈√23.69≈4.85cm。

5.题型：已知直角三角形的面积和一条直角边长，求斜边长。

例题：在直角三角形ABC中，∠C是直角，三角形ABC的面积S=20cm²，AC=4cm，求斜边AB的长度。

答案：三角形ABC的面积S=(AC×BC)/2，所以BC=(2S)/AC=(2×20cm²)/4cm=40cm²/4cm=10cm。根据勾股定理，AB²=AC²+BC²=4²+10²=16+100=116，所以AB=√116≈10.77cm。板书设计①本文重点知识点：

①锐角三角函数的定义

②正弦、余弦、正切函数的定义和性质

③勾股定理的应用

④解直角三角形的步骤和方法

②重点词句：

①“锐角三角函数”指的是在锐角三角形中，一个角的正弦、余弦、正切等函数值。

②正弦函数值是直角三角形中，对边长