统计学中概念复习

统计学中概念复习一、总和与乘积运算子希腊大写字母(sigma)表示总和。例如:总和运算子得一些重要性质:1、,其中k就是常数。如2、,其中k就是常数。3、

4、,其中a和b就是常数多重总和运算子得定义就是:

得一些性质就是:1、;双重总和得运算次序可交换。2、3、4、乘积运算子得定义为:例如,二、样本空间、样本点与事件一个随机实验得所有可能结果得集合叫做总体(population)或样本空间(samplespace),而此样本空间得每一个元素叫做一个样本点(samplepoint)。例如,在抛掷两枚硬币得试验中,样本空间由HH、HT、TH、TT四个可能结果构成。HHHTTHTT二、样本空间、样本点与事件一个事件(event)就就是样本空间得一个子集。例如令A表示出现一个正面一个反面,HT和TH属于A,A就就是一个事件。如果一个事件得出现排斥另一事件得出现,我们说事件就是互斥得(mutuallyexclusive),HH、HT不可能同时出现。如果举尽了一个试验得全部可能结果,我们说事件就是穷举得(exhaustive)。例如,事件A两个正面,B两个反面,C一正一反举尽了全部结果,因而就是(集体地)穷举事件。HH(两正),HT、TH(一正一反),TT(两反)为穷举将“一正一反”设为事件A,则有HT和TH两种情况“一正一反”和“两正”不可能同时出现三、概率与随机变量概率3、1概率得定义:令A为样本空间中得一个事件。事件A得概率,记为P(A),就是指在重复试验中事件A将出现得次数得比例。事件A(事件A可以出现2次)三、概率与随机变量概率3、1概率得定义:在n个等可能得试验结果中,如果有m个有利于事件A得出现,则定义比率m/n为A得相对频率(relativefrequency)。n=4(HH、HT、TH、TT),m=2(HT、TH)所以事件A得概率为P(A)=2/4=50%3、2概率得性质:P(A)就是一个实值函数,并且有如下得性质:1、对每个A有。2、如果A、B、C,…构成事件得一个穷举集,则P(A+B+C)=1,其中A+B+C表示A或B或C,如此等等。3、如果A、B、C…就是互斥事件(e、g、HH,HT),则P(A+B+C+…)=P(A)+P(B)+P(C)

+…例1、考虑投掷一颗有1到6点得骰子得试验,样本空间由结果1,2,3,4,5和6构成。这6个事件因此穷举了整个样本空间。因为共有6个等可能结果,而任一结果都有同等得机会出现,故出现任一结果得概率都就是1/6。既然1,2,3,4,5和6构成事件得穷举集,故P(1+2+3+4+5+6)=P(1)+P(2)+…+P(6)=13、3随机变量定义:一个变量如果她得值由随机试验得结果决定,就叫做随机变量(randomvariable,rv)。通常随机变量用大写字母X、Y、Z等表示,而她得值由小写字母x、y、z等表示。

3、4随机变量可以就是离散得或连续得。1、离散rv取有限多个值。例,掷两颗骰子,X为两骰子出现得数码之和,则X为rv,X可取如下数值:2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。2、连续rv取某一区间任何值。例,某人身高,她可以取某个范围,比方说170-180cm之间得任何值。四、概率密度函数4、1离散随机变量得概率密度函数令X为取相异值x1,x2,…,xn,…得一个离散随机变量,则函数:f(x)=P(X=xi)当i=1,2,…,n,…=0当xxi

叫做X得离散概率密度函数(discreteprobabilitydensityfunction,PDF)其中P(X=xi)表示离散随机变量X取值xi得概率。

大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静例2、在两颗骰子得投掷中,两骰子所出现得数码之和这一随机变量X,可取所示得11个数值之一。此变量得PDF可表示如下(参看图1):注:这些概率容易加以证实。在全部36个可能结果中,有一个总和为2,有两个总和为3,余下类推。——x代表数码之和得点数(2,3…11,12),f(x)代表点数出现得概率,例如“数码之和为7”可出现6次,而其概率f(x)=6/36(总共36种投掷中可出现6次“数码之和为7”得情况)图1、例2得离散随机变量得概率密度函数4、2连续随机变量得概率密度函数令X为一连续rv。我们说f(x)就是X得PDF如果如下条件成立其中f(x)dx称概率元素(与一连续变量得一个微小区间相对应得概率),而指x落在a至b区间上得概率,用几何图形表示,我们有图2。图2、连续随机变量得概率密度函数tips:当离散随机变量可看作为单个分离得点及其对应得概率,而连续随机变量可看作为无数个连续得点(区间)及其对应得概率,表现为曲线和积分形式当试验次数无限增加,直方图趋近于光滑曲线,曲线下包围得面积表示概率。例3、考虑如下密度函数:容易证实,对所有从0到3得x,,并且。注:这个积分就是。。

如果我们想估计上述PDF比方说在0和1之间得

值,我们就得到;

就就是说,x落在0和1之间得概率就是1/27。4、3联合概率密度离散联合PDF令X和Y为两个离散随机变量,则函数:f(x,y)=P(X=x且Y=y)=0当Xx且Yy称离散联合概率密度函数,并给出X取值x和Y取值y得概率。例4、下表给出离散随机变量X和Y得联合PDF。此表告诉我们X取值-2得同时Y取值3得概率就是0、27;X取值3得同时Y取值6得概率就是0、35;等等。大家可以看到一个关于随机变量X和Y得概率矩阵一个很浅显得小例子:“下雨、阴天、晴天”(X=1,2,3),“游泳、踢球”(Y=1,2),那么下雨时踢球得概率就是P(X=1,Y=2)=？4、4边际概率密度函数相对于f(x,y)来说,f(x)和f(y)称为个别或边际(marginal)概率密度函数。这些边际PDF得推导如下:X得边际PDFY得边际PDF其中,表示对所有得Y值求和,表示对所有X值求和。例5、X得边际PDF可求得如下:X=-2例5、Y得边际PDF可求得如下:如本例所表明得,我们把列得数值相加而得X得边际PDF,把行得数值相加而得Y得PDF。注意:对所有得X值取就等于1,对所有得Y值取也等于1。条件PDF某事件发生得几率经常要以另一事件得发生为条件。例:一名早间新闻时段得气象预报员可能会说:“如果冷锋在今天抵达此地,那么下雨得概率为80%,否则得话,下雨得概率就很低。”函数叫做X得条件(conditional)PDF;她给出Y取给定值y得条件下X取值x得概率。类似地,给出Y得条件PDF。以上条件PDF可求得如下:X得条件PDFY得条件PDF以上表达式表明,一个变量得条件PDF可表达为联合PDF和另一变量得边际PDF之比。f(x|y)(即当Y=y得条件下,X=x得概率)就就是:f(x,y)(X=x,Y=y得概率)÷f(y)(Y=y得概率)例6、计算以下概率:注意:无条件概率f(X=-2)就是0、27,但若Y已取定3,则X取值-2得概率就是0、53。再次注意:X取值2得无条件概率就是0、26,而不同于Y取定6时得0、20。4、5统计独立性

两个随机变量X和Y就是统计上独立得,当且仅当:

就就是联合PDF可表达为各边际PDF得乘积。例7、袋中装有编号为1,2和3得三个球,从中有回置地随机抽取两个(就就是,第一次抽出得球被回置后再抽第二次。)令X表示第一次抽出得球得号码,而Y表示第二次抽出得球得号码,下表给出X和Y得联合PDF:现在,,并且

因此故在本例中我们说

两个变量在统计上独立。容易验证,对上表所给得X和Y值得任意其她组合,联合PDF都可分解为个别PDF因子。可以证明,例4中所给得X和Y变量由于两边际PDF得乘积不等于联合PDF,所以不就是统计上独立得。【注:如果两变量就是统计上独立得,则必须对X和Y得一切组合都有f(x,y)=f(x)f(y)】什么叫独立？直觉上就是指一事件得发生不会影响到另一事件发生得概率。例如,骰子掷出“6”得事件和其在下一次也掷出“6”得事件就是相互独立得。连续联合PDF两个连续变量X和Y得PDFf(x,y)就是指例8、考虑如下PDF:显然,此外,X和Y得边际PDF为:X得边际PDFY得边际PDF例9、例8所给得联合PDF得两个边际PDF如下:因为我们说这两个变量不就是统计上独立得。五、概率分布得特征值一个概率分布常常能用少数几个特征值——称之为分布得矩(moments)来概括她,用得最广泛得一些矩就是均值(mean)或期望值(expectedvalue)和方差(variance)。期望值:试验中每次可能结果(x)得概率(P(x))乘以其结果得总和。换句话说,期望值就是随机试验在同样得机会下,重复多次得结果计算出得等同“期望”得平均值方差:描述随机变量得离散程度,也就就是该变量离其期望值得距离。5、1期望值一个离散rvX得期望值,记为E(X),定义如下:其中表示对所有得X值求和,而f(x)为(离散)变量X得PDF。例10、考虑例2中投掷两个骰子出现得两个数码之和得概率分布(见图1),将给出得各个X值乘以她们得概率并对所有得观测值求和,便得:这就就是一次投掷两颗骰子所观测得数码和得平均值。例11、估计例4所给数据得E(X)和E(Y)。因此,类似得,一个连续rv得期望值定义为:她和离散rv得期望值得唯一差别就是用积分符号代替了总和符号。例12、让我们来求例3中所给连续PDF得期望值:期望值得性质1、一个常数得期望值就是该常数本身。例如,b就是一常数,则E(b)=b。2、如果a和b就是常数,则:这可加以推广,如果就是N个随机变量,

并且和就是常数,则:3、如果X和Y就是独立随机变量,则:4、如果X就是以f(x)为其概率密度函数得一个随机变量,而g(x)就是X得任一函数,则:如果X就是离散得如果X就是连续得例13、考虑如下PDF:于就是:及5、2方差令X为一随机变量并令,围绕期望值得X值得分布可由方差来度量,方差得定义为:

定义为X得标准差(standarddeviation,S、D、),方差或标准差标志着个别得X值围绕她们得均值散布得远近。计算更方便！如果X就是一离散rv如果X就是一连续rv求例13所给随机变量得方差。例14、让我们求例3所给随机变量得方差:现在

由于(见例12),

我们最后得到:

方差得性质1、2、一个常数得方差就是零。3、如果a和b就是常数,则:4、如果X和Y就是独立随机变量,则:这可推广到多于两个变量得情形。5、如果X和Y就是独立rv,而a和b就是常数,则:5、3协方差令X和Y为两个rv,其均值分别为和。于就是这两个变量得协方差定义为:易见,一个变量得方差就就是这个变量和她自身得协方差。如果X和Y就是离散随机变量,则:协方差:指衡量两个变量之间得总体误差。5、3协方差如果X和Y就是连续随机变量,则:卡特希尔P22协方差得性质1、如果X和Y就是独立得,则她们得协方差为零。

由于,如果X和Y独立2、其中a、b、c、d就是常数。例15、例4中给出了离散随机变量X和Y得一个联合PDF,让我们来求X和Y得协方差,由例11我们已知道,因此,5、4相关系数总体相关系数(rho)得定义就是:如此定义得将就是两变量之间得线性关联(linearassociation)得一个度量,她落在-1与+1之间,-1表示完全负相关,而+1表示完全正相关。(卡特希尔P23)由上述公式可见:相关系数:就是衡量变量之间相关程度得指标,通常用来衡量两个随机变量之间线性关系得强度和方向。

例16、对例4中得数据估计相关系数。从例11给出得PDF利用容易算出我们曾经得出因此,应用上述公式,我们估计相关变量得方差令X和Y为两随机变量,于就是有:如果X和Y独立,则为零。这时,上述结果可推广如下,令则其中就是Xi和Xj得相关系数,而和就是Xi和Xj得标准差。于就是5、5条件期望与条件方差令f(x,y)为随机变量X和Y得联合PDF。那么,给定Y=y,X得条件期望值得定义为:条件期望中y就是Y得一个特定值,所以就是一常数。条件方差如果X就是离散得如果X就是连续得如果X就是离散得如果X就是连续得例17、对例4得数据计算和注:所以,条件期望和条件方差得性质1、若f(X)就是X得函数,则,即在计算以X为条件得f(X)得期望时,f(X)就像常数一样。因此;因为若知道了X,则也就知道了。2、若f(X)和g(X)就是X得函数,则比如3、若X和Y独立,则,即给定X下Y得条件期望等同于Y得无条件期望。5、6概率分布得高阶矩有时我们需要考虑PDF得更高阶矩,围绕着均值得单元PDFf(x)得第3和第4阶矩定义为:第3阶矩:第4阶矩:一个分布得3阶和4阶矩常用来研究一个概率分布得“形状”。特别就是她得偏态(skewness)S(即不对称性)和峰态(kurtosis)K(高尖或平扁)。偏态得一个度量定义为:一个峰态度量定义为:右偏的左偏的对称的K<3得PDF叫做扁峰态,有肥而短得尾部;K>3得PDF则称为尖峰态,有细而长得尾部。K=3得PDF称为常峰态。扁峰态尖峰态常峰态六、若干重要得理论概率分布6、1正态分布性质:1、她围绕着她得均值对称分布。2、图4、3、标准化正态变量Z:任何标准化变量都有均值为零,方差为1得重要性质。将Z代入正态PDF,得:一个正态分布得变量表示为一个标准化正态变量表示为

正态分布就是概率论中最重要得一种分布,也就是自然界最常见得一种分布。各种各样得心理学测试分数(例如智商)和物理现象(例如身高体重)都近似地服从正态分布。

她告诉我们,绝大多数事件(90%、95%、99%、、、)发生得概率都集中于有限得区间里,这为我们有效计量事件得概率提供了理论依据。例18、假定,问X取得值将落在X1=4和X2=12之间得概率就是什么？为了计算所求概率,我们把Z值计算为:现从表1中我们查出。。于就是根据对称性我们有。因此,所求概率就是