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文档简介

第1页第五章定积分及其应用第2页本章内容第一节定积分概念与性质第二节微积分基本公式第三节定积分计算第四节广义积分第五节定积分在几何上应用第六节定积分在物理上应用第3页第五章第一节定积分概念与性质第4页本节主要内容一、定积分定义三、定积分几何意义二、可积函数类四、定积分性质第5页引例1求右图中曲边梯形面积。思绪：将曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，用小矩形面积近似小曲边梯形面积。oxyab曲边梯形第6页曲边梯形如图所表示，则曲边梯形面积oxyab第7页曲边梯形面积为第8页引例2（求变速直线运动旅程）思绪：上设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔求物体在这段时间内所经过旅程。

一个连续函数，且度看作不变，求出各小段旅程再相加，便得到旅程近似值，最终经过对时间无限细分过程求得旅程准确值。把整段时间分割成若干小段，每小段上速第9页（1）分割部分旅程值（3）求和（4）取极限旅程准确值（2）取近似旅程近似值求曲边梯形面积求直线运动旅程第10页一、定积分定义定义若干个分点第11页符号名称

积分号被积函数被积表示式积分变量积分区间积分下限积分上限第12页几点说明：1、两个任意性：积分值与区间分割方法以及ξi选取方法无关；2、定积分值只决定于被积函数和积分区一个结论：当能够判定定积分存在时，可采取特殊间，因而与积分变量写法无关；分割方法和对ξi特殊取法，经过定义求积分值3、定积分本质第13页二、可积函数类定理1定理2定理3第14页xyabo=曲边梯形面积；=曲边梯形面积负值；三、定积分几何意义xyoba第15页3、普通情况下ab第16页第17页例1依据定积分几何意义知，此定积分是以R为解：OYXR半径圆面积四分之一故第18页例2解：由定积分几何意义知oYX2ππ+－第19页练习第20页例

利用定义计算定积分解第21页第22页证实第23页

在下面讨论中，假定定积分都存在，且不四、定积分性质两个补充要求说明：证：性质1(k为常数)。

考虑积分上下限大小，有特殊要求除外。第24页证:（此性质能够推广到有限多个函数之和情况）性质2第25页说明：不论相对位置怎样,上式总成立。比如:若（定积分对于积分区间含有可加性）则性质3第26页证:性质4性质51第27页注意第28页推论：证:第29页补充第30页解：令于是第31页证:性质6第32页证:注：此性质可用于预计积分值大致范围。性质7最大值及最小值，则

估值不等式第33页解：第34页解：第35页第36页证：由闭区间上连续函数介值定理知性质8（积分中值定理）则在积分区间[a,b]上最少存在一个点

即第37页积分中值公式几何解释：注意：定理中函数在[a,b]区间oXY上连续条件不能减弱，若被积函数不连续，则结论可能不成立。第38页解：由积分中值定理知有使第39页第40页第41页第42页小结１．定积分实质：特殊和式极限。２．定积分思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限准确值——定积分以直代曲，以不变

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