2024-2025学年黑龙江省八年级（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省八年级（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（）A．3，5，9 B．4，6，12 C．2，2，4 D．5，6，82．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，这一主题在剪纸艺术中很受喜爱．以下关于鱼的剪纸图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线．若CD＝3cm，则点D到AB的距离为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm4．（3分）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长d＝0.0000000142cm，将0.0000000142用科学记数法表示为（）A．1.42×10﹣6 B．1.42×10﹣7 C．1.42×10﹣8 D．1.42×10﹣95．（3分）等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是（）A．50° B．65° C．80° D．100°6．（3分）下列计算结果正确的是（）A．a•a2＝a3 B．（a2）3＝a5 C．a3÷a＝a3 D．a2+a3＝a57．（3分）如果一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形8．（3分）定义一种新运算a⊗b=1a2+ab（a≠0且a+b≠0）．若2⊗cA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．19．（3分）计算(−2)A．2 B．−12 C．110．（3分）如图，在长方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC内部交于点G，作射线AG交BC于点H．若∠ACD＝2α，则∠A．90°﹣2α B．30°+α C．45°+α D．90°﹣α二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分式3x−1有意义，x满足的条件为12．（3分）将一副三角尺按如图的方式拼摆，∠BED的度数为．13．（3分）把多项式3ax2﹣3ay2分解因式的结果是．14．（3分）在△ABC中，∠BAC＝110°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，∠DAE的度数为．15．（3分）在等边△ABC中，点D在BC的延长线上，BC＝6，CD＝2，点E在直线AC上，连接AD，BE．当BE＝AD时，AE的长为．16．（3分）如图，一动点从（1，0）出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形OABC的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为45°，第1次碰到长方形边上的点的坐标为（0，1），则第2025次碰到长方形边上的点的坐标为．三、解答题（本大题共9小题，共72分）17．（8分）计算：（1）x（3x﹣1）；（2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a．18．（8分）先化简，再求值．（1−3x+2）÷x19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，2），B（﹣4，1），C（﹣1，﹣1）．（1）将△ABC向左平移3个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1（其中点A1，B1，C1分别是点A，B，C的对应点）；（2）将△ABC沿着y轴翻折，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2（其中点A2，B2，C2分别是点A，B，C的对应点）；（3）在x轴上找一点D，使得△CDA≌△ABC，则点D的坐标为.20．（8分）第九届亚冬会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某商场销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品．若用1500元购买“滨滨”纪念品的数量比用1800元购买“妮妮”纪念品的数量多5个，且一个“妮妮”纪念品的价格是一个“滨滨”纪念品价格的1.5倍．求“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元．21．（8分）阅读下列材料：关于x的分式方程x+1x=c+1c的解是x1＝c，x2=1c；x+2x=c+2c的解是x1＝c，x2=2请观察上述方程与解的特征，解决下列问题：（1）直接写出关于x的方程x+mx=c+mc（2）直接写出关于x的方程x+1x−1=202522．（8分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）如图（1），求证：∠A＝∠D；（2）如图（2），∠A＝70°，∠B＝40°，FG平分∠DFE交AC于点G，求∠CGF的度数．23．（8分）数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片．甲种纸片是边长为a的正方形，乙种纸片是边长为b的正方形，丙种纸片是长为b、宽为a的长方形．【观察发现】用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形．观察图（2）的面积关系，写出正确的等式：．【操作探究】若要拼出一个面积为（a+b）（a+2b）的长方形，则需要甲种纸片张，乙种纸片张，丙种纸片张．（所拼图形不重叠无缝隙）【拓展延伸】两个正方形ABCD、AEFG如图（3）摆放，边长分别为x，y，连接CE，DF．若x2+y2＝52，DG＝2，求图中阴影部分的面积．24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）如图（1），当A、B两点在直线MN的同侧时，请直接写出线段AD、BE和DE的数量关系为；（2）如图（2），当A、B两点在直线MN的两侧时，请写出线段AD、BE和DE的数量关系，并说明理由；（3）如图（3），在（2）的条件下，点K在BE的延长线上，连接AK，使∠AKB＝135°，连接CK，AE．若△BCK的面积为16，△AED的面积为6，求EK的长．25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，△AOB为等边三角形，点B的横坐标为﹣4，过点B作BC⊥AB交y轴于点C．（1）如图（1），求线段BC的长；（2）如图（2），点P为x轴正半轴上一点，点Q在BC上，连接AP，AQ，使∠PAQ＝60°，设点P的横坐标为t（0＜t＜8），线段CQ的长为n，用含t的式子表示n；（3）如图（3），在（2）的条件下，连接OQ，当AQ+OQ取最小值时，在平面直角坐标系中取一点D，连接DP，DQ，使DP＝DQ，且∠PDQ＝3∠BAQ，请直接写出此时t的值及点D的坐标．

2024-2025学年黑龙江省八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案DABCCABBDD一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（）A．3，5，9 B．4，6，12 C．2，2，4 D．5，6，8【解答】解：A．∵3+3＜9，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意；B．∵4+6＜10，∴不能组成三角形，故此选项不合题意；C．∵2+2＝4，∴不能组成三角形，故此选项不合题意；D．∵5+6＞8，∴能组成三角形，故此选项符合题意．故选：D．2．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，这一主题在剪纸艺术中很受喜爱．以下关于鱼的剪纸图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A是轴对称图形，B，C，D不是轴对称图形，故选：A．3．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线．若CD＝3cm，则点D到AB的距离为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，∵BD是△ABC的角平分线，CD＝3cm，∴DE＝DC＝3cm，即点D到AB的距离为3cm，故选：B．4．（3分）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长d＝0.0000000142cm，将0.0000000142用科学记数法表示为（）A．1.42×10﹣6 B．1.42×10﹣7 C．1.42×10﹣8 D．1.42×10﹣9【解答】解：0.0000000142＝1.42×10﹣8．故选：C．5．（3分）等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是（）A．50° B．65° C．80° D．100°【解答】解：∵等腰三角形的底角等于50°，∴180°﹣50°﹣50°＝80°，∴等腰三角形的顶角为80°，故选：C．6．（3分）下列计算结果正确的是（）A．a•a2＝a3 B．（a2）3＝a5 C．a3÷a＝a3 D．a2+a3＝a5【解答】解：A、a•a2＝a3，故此选项符合题意；B、（a2）3＝a6，故此选项不符合题意；C、a3÷a＝a2，故此选项不符合题意；D、a2与a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；故选：A．7．（3分）如果一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【解答】解：∵多边形的内角和等于它的外角和，多边形的外角和是360°，∴内角和是360°，∴这个多边形是四边形．故选：B．8．（3分）定义一种新运算a⊗b=1a2+ab（a≠0且a+b≠0）．若2⊗cA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：由题意可得14+2c解得：c＝﹣1，经检验，c＝﹣1是分式方程的解，故选：B．9．（3分）计算(−2)A．2 B．−12 C．1【解答】解：原式＝（﹣2）×（﹣2）2024×（12）＝﹣2×（﹣2×12＝﹣2×1＝﹣2．故选：D．10．（3分）如图，在长方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC内部交于点G，作射线AG交BC于点H．若∠ACD＝2α，则∠A．90°﹣2α B．30°+α C．45°+α D．90°﹣α【解答】解：由作法得AH平分∠BAC，∴∠BAH＝∠CAH，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°，AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝2α，∴∠BAH＝α，∴∠ABH＝90°﹣α．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分式3x−1有意义，x满足的条件为x≠1【解答】解：由分式有意义的条件可知：x﹣1≠0，∴x≠1，故答案为：x≠1．12．（3分）将一副三角尺按如图的方式拼摆，∠BED的度数为75°．【解答】解：∵图中是一副直角三角板，∴∠DAB＝30°，∠ABE＝45°，∴∠DAB+∠ABE＝30°+45°＝75°，故答案为：75°．13．（3分）把多项式3ax2﹣3ay2分解因式的结果是3a（x+y）（x﹣y）．【解答】解：3ax2﹣3ay2＝3a（x2﹣y2）＝3a（x+y）（x﹣y），故答案为：3a（x+y）（x﹣y）．14．（3分）在△ABC中，∠BAC＝110°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，∠DAE的度数为40°．【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，∴DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝110°﹣70°＝40°，故答案为：40°．15．（3分）在等边△ABC中，点D在BC的延长线上，BC＝6，CD＝2，点E在直线AC上，连接AD，BE．当BE＝AD时，AE的长为8或2．【解答】解：在等边△ABC中，AC＝BC＝6，分别过点A，B作AF⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为F，G，∴BF＝CF＝AG＝CG＝3，∴AF＝BG=3CG＝33∵CD＝2，∴FD＝CF+CD＝5，∴BE＝AD=A因为点E在直线AC上，分两种情况画图：如图1，当点E在AC延长线上时，在Rt△BGE中，根据勾股定理得：GE=B∴AE＝AG+GE＝3+5＝8；如图2，当点E在CA延长线上时，AE＝GE﹣AG＝5﹣3＝2，综上所述：AE的长为8或2．故答案为：8或2．16．（3分）如图，一动点从（1，0）出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形OABC的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为45°，第1次碰到长方形边上的点的坐标为（0，1），则第2025次碰到长方形边上的点的坐标为（7，0）．【解答】解：根据题意，如图示：通过图片观察可知，每碰撞6次回到始点．∵2025÷6＝337…3，∴第2018次碰到长方形边上的点的坐标与第三次相同，即坐标为（7，0）．故答案为：（7，0）．三、解答题（本大题共9小题，共72分）17．（8分）计算：（1）x（3x﹣1）；（2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a．【解答】解：（1）x（3x﹣1）＝x•3x﹣x•1＝3x2﹣x；（2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a＝12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a＝4a2﹣2a+1．18．（8分）先化简，再求值．（1−3x+2）÷x【解答】解：原式=x+2−3x+2=1当x＝2时，原式=119．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，2），B（﹣4，1），C（﹣1，﹣1）．（1）将△ABC向左平移3个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1（其中点A1，B1，C1分别是点A，B，C的对应点）；（2）将△ABC沿着y轴翻折，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2（其中点A2，B2，C2分别是点A，B，C的对应点）；（3）在x轴上找一点D，使得△CDA≌△ABC，则点D的坐标为（1，0）.【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）如图，点D即为所求，D（1，0）．故答案为：（1，0）．20．（8分）第九届亚冬会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某商场销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品．若用1500元购买“滨滨”纪念品的数量比用1800元购买“妮妮”纪念品的数量多5个，且一个“妮妮”纪念品的价格是一个“滨滨”纪念品价格的1.5倍．求“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元．【解答】解：设“滨滨”纪念品的单价是x元，则“妮妮”纪念品的单价是1.5x元，由题意得：1500x解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝1.5×60＝90，答：“滨滨”纪念品的单价是60元，“妮妮”纪念品的单价是90元．21．（8分）阅读下列材料：关于x的分式方程x+1x=c+1c的解是x1＝c，x2=1c；x+2x=c+2c的解是x1＝c，x2=2请观察上述方程与解的特征，解决下列问题：（1）直接写出关于x的方程x+mx=c+mc（m≠0）的解为x1＝c，（2）直接写出关于x的方程x+1x−1=202512024的解为x1＝2025，【解答】解：（1）由题干中的方程及它们的解即可得关于x的方程x+mx=c+mc（m≠0）的解为x1＝c故答案为：x1＝c，x2=m（2）已知关于x的方程x+1变形得x﹣1+1x−1=则x﹣1＝2024或x﹣1=1解得：x1＝2025，x2=2025故答案为：x1＝2025，x2=202522．（8分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）如图（1），求证：∠A＝∠D；（2）如图（2），∠A＝70°，∠B＝40°，FG平分∠DFE交AC于点G，求∠CGF的度数．【解答】（1）证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABD和△DEF中，BC=EFAB=DE∴△ABD≌△DEF（SSS），∴∠A＝∠D；（2）解：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝70°，由（1）可知：△ABD≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE＝70°，∵FG平分∠DFE交AC于点G，∴∠CFG=12∠又∵∠ACB是△CFG的一个外角，∴∠ACB＝∠CFG+∠CGF，∴70°＝35°+∠CGF，∴∠CGF＝35°．23．（8分）数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片．甲种纸片是边长为a的正方形，乙种纸片是边长为b的正方形，丙种纸片是长为b、宽为a的长方形．【观察发现】用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形．观察图（2）的面积关系，写出正确的等式：a2+2ab+b2＝（a+b）2．【操作探究】若要拼出一个面积为（a+b）（a+2b）的长方形，则需要甲种纸片1张，乙种纸片2张，丙种纸片3张．（所拼图形不重叠无缝隙）【拓展延伸】两个正方形ABCD、AEFG如图（3）摆放，边长分别为x，y，连接CE，DF．若x2+y2＝52，DG＝2，求图中阴影部分的面积．【解答】解：【观察发现】观察图形可知：图（2）的面积为：a2+b2+2ab，还可以表示为：（a+b）2，∴正确的等式为：a2+2ab+b2＝（a+b）2，故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2；【操作探究】（a+b）（a+2b）＝a2+2ab+ab+2b2＝a2+3ab+2b2，∴需要甲种纸片1张，乙种纸片2张，丙种纸片3张，故答案为：1，2，3；【拓展延伸】∵DG＝AD﹣AG＝2，AD＝x，AG＝y，∴x﹣y＝2，∴（x﹣y）2＝4，x2+y2﹣2xy＝4，52﹣2xy＝4，2xy＝48，xy＝24，∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝52+48＝100，∴x+y＝10或﹣10（不合题意，舍去），∴阴影部分的面积=x=x=(x+y)(x−y)−y−1=10×2−y−1＝10×2﹣y﹣x＝10×2﹣（x+y）＝20﹣10＝10．24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）如图（1），当A、B两点在直线MN的同侧时，请直接写出线段AD、BE和DE的数量关系为AD＝AD+BE；（2）如图（2），当A、B两点在直线MN的两侧时，请写出线段AD、BE和DE的数量关系，并说明理由；（3）如图（3），在（2）的条件下，点K在BE的延长线上，连接AK，使∠AKB＝135°，连接CK，AE．若△BCK的面积为16，△AED的面积为6，求EK的长．【解答】解：（1）如图1，线段AD，BE和DE的数量关系为：DE＝AD+BE，理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵∠CAD＝∠BCE，∠ADC＝∠CEB，AC＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∵DE＝CE+CD，∴DE＝AD+BE；故答案为：DE＝AD+BE；（2）如图2，线段AD，BE和DE的数量关系为：DE＝BE﹣AD，理由如下：∵∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ACD＝∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，又∵AC＝BC，∠CEB＝∠ADC＝90°，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE，BE＝CD，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD；（3）如图3，过点K作KQ⊥AD于Q，∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴AD∥BE，即AD∥BK，∴∠AKB+∠KAD＝180°，∵∠AKB＝135°，∴∠KAQ＝45°，∵∠AQK＝90°，∴△AQK是等腰直角三角形，∴AQ＝KQ，设AQ＝x，QD＝y，则KQ＝x，由（2）同理得：△CAD≌△BCE（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∵∠KQD＝∠QDE＝∠DEK＝90°，∴四边形DQKE是矩形，∴EK＝DQ＝y，DE＝KQ＝x，∴BE＝CD＝CE+DE＝x+y+x＝2x+y，BK＝BE+EK＝2x+y+y＝2x+2y，∵△BCK的面积为16，△AED的面积为6，∴12•BK•CE＝16，12•AD•∴12（2x+2y）（x+y）＝16，12x（x+∴x＝3，y＝1，∴