重难点专题15 空间中的五种距离问题（五大题型）（解析版）

重难点专题15空间中的五种距离问题【题型归纳目录】题型一：点线距题型二：异面直线的距离题型三：点面距题型四：线面距题型五：面面距【方法技巧与总结】空间中的距离求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．【典型例题】题型一：点线距【例1】已知正方体的棱长为1，则点B到直线的距离为_________．【答案】【解析】如图，连接，过B作，则即为点B到直线的距离，在正方体中，平面，，在直角中，，且，所以，点B到直线的距离为.故答案为：.【变式1-1】（2025·高二·山东济南·期末）如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P为直线DE上的动点，则P到直线AB距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】把平面展开图还原为空间八面体，如图所示：由题意，P到直线AB距离的最小值即直线到直线的距离，又//，平面，平面，故//平面.又，故四边形为菱形，则//.平面，平面，故//平面.又，平面，故平面//平面.故直线到直线的距离为平面到平面的距离.则到平面的距离即为P到直线AB距离的最小值.设与交于，则易得为正四棱锥中心.则，，故为直角三角形，故.设到平面的距离为，则由，故，故，解得.故选：B【变式1-2】（2025·高二·重庆·期中）如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，取的中点F，连接，，∵，底面，∴四边形是矩形，∴，又平面，平面，∴平面，∴直线上任一点到平面的距离是两条异面直线与的距离，过点作，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，过点M作交于点P，则，取，连接，则四边形是矩形．可得平面，在中，，得，∴点P到直线的距离的最小值为．故选：B．题型二：异面直线的距离【例2】（2025·高一·江苏镇江·期末）棱长为的正四面体的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为；直线与之间的距离为.【答案】；.【解析】如图，将正四面体补形为正方体，则正四面体的外接球就是正方体的外接球，由已知，所以正方体的边长为，所以正方体的对角线长为，正方体的外接球的半径为，所以球的表面积，取的中点，的中点，因为，，所以，，所以，因为，所以，所以，所以直线与之间的距离为线段的长，又中，，，所以，所以直线与之间的距离为，故答案为：，.【变式2-1】（2025·高一·全国·课后作业）边长为1的正方体中，直线和之间的距离为.【答案】1【解析】如图所示，连接，因为平面，平面，所以，又，则直线和之间的距离为，又，即直线和之间的距离为1.故答案为：.【变式2-2】（2025·高一·全国·课后作业）四面体中，，，，则异面直线与的距离为．【答案】【解析】将四面体补成长方体，连接交于点，连接交于点，连接，则、分别为、的中点，由已知可得，可得，因为且，故四边形为平行四边形，则且，又因为、分别为、的中点，所以，且，故四边形为平行四边形，故且，平面，平面，，即，同理可得，故异面直线与的距离为.故答案为：.【变式2-3】（2025·高一·全国·课后作业）正方体中，边长为4，则异面直线与的距离为．【答案】/【解析】如图，正方体中，，，是平行四边形，∴，同理，分别是上下底面对角线的交点，，分别与交于点，连接相应的线段，平面，平面，∴平面，同理平面，又，平面，∴平面平面，由于与平行且相等，因此是平行四边形，∴，而分别是中点，因此，正方体棱长为4，则对角线，，平面，是在平面内的射影，，平面，∴，同理，，平面，所以平面，∴平面，∴平面与平面的距离为，而平面，平面，且与是异面直线，所以异面直线与的距离等于平面与平面的距离为，故答案为：．题型三：点面距【例3】（2025·高一·广西玉林·期中）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．【解析】（1）由O是的交点，又为正方形，则O为的中点，又D是中点，在中，又面面，故平面.（2）三棱柱中，，且，易知是等腰直角三角形，点D是棱的中点，所以，四边形为正方形，，则，又，而，且，则，由在面内，则面，面，所以，而，在面内，则面，面，故，所以，由，则，又，若到平面的距离为d，则，可得.【变式3-1】（2025·高一·江苏常州·期末）如图，在三棱锥中，，，．(1)求三棱锥的体积；(2)求点到平面的距离．【解析】（1）因为，，所以，，所以，又，平面，所以平面，又，所以三棱锥的体积；（2）在中，由，，所以边上的高为，所以，设点到平面的距离为，所以，由（1）可得，解得.所以点到平面的距离.【变式3-2】（2025·高一·陕西渭南·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，面，是的中点，，.(1)证明：平面(2)证明：平面平面；(3)求点到平面的距离.【解析】（1）取的中点，连接,因为，所以,因为分别是中点，得出所以四边形是平行四边形，所以平面,不在平面内,所以平面.（2）因为平面,平面,,因为，所以,所以因为,所以,平面,平面,所以平面,又平面,所以平面平面.（3）设点到平面的距离为,因为,所以,在中，，又因为,所以,即得.【变式3-3】（2025·高一·安徽亳州·期末）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，点在线段上，且为的重心，点在棱上，且，点在棱上，且.(1)证明：平面平面；(2)若，，求点到平面的距离.【解析】（1）如图，设交于点，连接.因为底面为菱形，为的重心，所以.又，所以，所以.因为平面，平面，所以平面.在直四棱柱中，，且，又，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）如图，过点作于点，交于点.因为平面，平面，所以，又为菱形，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因为，平面，所以平面.因为平面平面，所以平面，所以平面.因为，，所以，为正三角形，所以，，所以.故点到平面的距离为.题型四：线面距【例4】（2025·高一·安徽合肥·期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是的中点．(1)求证：∥平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【解析】（1）连接交于点，连接，因为底面为正方形，则为的中点，且点是的中点，可得，又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，则，又因为为正方形，则，且，，平面，所以平面，由平面，所以因为点是的中点，，，则，可得，，，则，可知，所以，设点到平面的距离为，由，可得，即，解得，即点到平面的距离为．设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【变式4-1】（2025·高一·全国·课后作业）如图，长方体的棱、的长分别为3、4、5，求下列距离：(1)点B到平面的距离；(2)直线到平面的距离．【解析】（1）因为平面，所以点B和平面的距离；（2）因为，平面，平面，所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离，又平面，∴直线到平面的距离为．【变式4-2】（2025·高二·全国·课后作业）已知正方体中，E为的中点，F为的中点.(1)求证：∥平面；(2)若正方体的棱长为1，求到平面的距离.【解析】（1）如图，取的中点，连接，是的中点，∥，四边形是平行四边形，∥，又，且FM∥AD∥，四边形是平行四边形，∥，∥，又平面平面，∥平面.（2）∥平面，到平面的距离就是到平面的距离，设此距离为，，，即①，正方体的棱长为1，，，代入①得，到平面的距离为.【变式4-3】（2025·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线到平面的距离.【解析】（1）如下图，取的中点，连接、.又为的中点，则是的中位线，所以且.又且，所以且.所以四边形是平行四边形，所以.因为，为的中点，所以.因为，，所以.因为平面，平面，所以.又，所以平面.平面，所以.又，所以平面.又，所以平面；（2）因为，平面，平面，所以平面.所以直线到平面的距离等于点到平面的距离.由（1）得平面，则等于点到平面的距离.因为，所以.故点到平面的距离为，即直线到平面的距离为.题型五：面面距【例5】（2025·高二·全国·课后作业）已知正方体的棱长均为1.(1)求到平面的距离；(2)求平面与平面之间的距离.【解析】（1）如图：设到平面的距离为，正方体的棱长均为1，且面.,.

.（2）平面,平面.故平面平面.到平面的距离等于平面与平面之间的距离，设为.即..【变式5-1】（2025·高二·内蒙古赤峰·阶段练习）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，EF与相交于H．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求平面EGF与平面的距离．【解析】（1）在直三棱柱中,，交线为，而，，，，根据已知条件可得，为的中点，，，结合勾股定理可得，，所以平面.（2）如图所示，取的中点，连接，，，为的中点，而为的中点，为的中位线，，又，且，，，，，F、G分别是、的中点，是的中位线，，在直三棱柱中，，，，，又，平面平面.（3）由平面平面，EF与相交于H，又平面，平面，两平面之间的距离即为H到平面的距离，即，，∽，，，故平面EGF与平面的距离为.【变式5-2】（2025·高一·全国·课后作业）已知是长方体，且，，.（1）写出点A到平面的距离；（2）写出直线AB到平面的距离；（3）写出平面与平面之间的距离.【解析】如图.（1）点A到平面的距离；（2）∵平面，∴AB到平面的距离；（3）∵平面平面，∴平面与平面之间的距离.【变式5-3】（2025·河北衡水·一模）如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且平面，点是的中点．

（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面的距离．【解析】（1）∵，，是的中点，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面，∵直角梯形与梯形全等，，∴，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面，∵，∴平面平面．（2）设点到平面的距离为，易知，由，得，即，∵平面平面，∴平面与平面间的距离为．

【过关测试】1．（2025·高一·全国·课后作业）边长为1的两个正方形和构成大小为的二面角，则异面直线和之间的距离为．【答案】/0.5【解析】如图，由，知是二面角的平面角，因此，且因为，平面，所以平面，过作于，则，所以是异面直线和的公垂线，的长即为异面直线和之间的距离．中，，，则，，所以异面直线和之间的距离为．故答案为：．2．（2025·高一·全国·课后作业）空间四边形中，，，延长到，使得，为中点，则异面直线和的距离为．【答案】1【解析】如图，，为中点，所以，，为中点，则，又，因此，有，所以是异面直线和的距离，故它们的距离等于1，故答案为:1.3．（2025·高一·云南丽江·期中）在三棱锥中，，.(1)求证：；(2)若，，求点到平面的距离.【解析】（1）证明：取的中点，连接，，如图所示.在中，，是的中点，所以，在中，，是的中点，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以；（2）在中，，，是的中点，所以.在中，，，是的中点，所以，.在中，，，，所以，由（1）知，平面，所以，设点到平面的距离为，，解得，即点到平面的距离为.4．（2025·高一·四川成都·阶段练习）正三棱柱的底面正三角形的边长为为的中点；．(1)求证：；(2)求到平面的距离.【解析】（1）因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为2，为的中点，，又平面平面，，平面，平面，平面，；（2），故，，又，所以，设点到平面的距离为，则即．解得，所以点到平面的距离为．5．（2025·高一·宁夏吴忠·期末）如图，四边形与四边形均为等婹梯形，，为的中点．(1)证明平面平面；(2)求点到的距离．【解析】（1）四边形为平行四边形，可得，又，所以为等边三角形，为中点，所以，又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，四边形为平行四边形，，所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，，因为，所以，又，平面，所以平面．平面，所以平面平面.（2）由（1）得因为，所以，所以互相垂直，由等体积法可得，，，设点到的距离为，则，解得，即点到距离为．6．（2025·高一·广东·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E，P分别为，的中点．(1)求证：直线平面；(2)求点A到平面的距离．【解析】（1）由正方体性质可知，且，故，又因为点E，P分别为，的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以直线平面.（2）设点A到平面的距离为，由题，故,又由正方体性质平面，平面，所以，所以，所以，又，故，即点A到平面的距离为.7．（2025·高一·四川宜宾·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．【解析】（1）连接交于，连接，则为的中点，∵E为侧棱SC的中点，，平面EDB，平面EDB；平面EDB；（2）∵E为侧棱SC的中点，E到平面ABCD的距离等于S到平面ABCD的距离的一半，E到平面ABCD的距离，，∵底面，面，∴，又，，，∵平面，∴平面，又平面，，，，,设点C到平面EDB的距离为，由，得，所以，即点到平面的距离为．8．（2025·高一·四川眉山·期末）如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，，是中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．【解析】（1）取线段的中点，连接，因为分别为中点，所以，，又，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，是中点，所以点到平面的距离为又平面，所以；因为，，，，所以，所以，，所以，所以；又因为，平面，所以平面，记点到平面的距离为，由得，解得，故点到平面的距离为.9．（2025·高一·山西吕梁·期末）如图，是的直径，点是上的动点，垂直于所在的平面，点为线段的中点，(1)证明：平面平面；(2)设，求点到平面的距离.【解析】（1）因是的直径，则，因垂直于所在的平面，平面，则，因，，平面，则平面，又点为线段的中点，得到，所以平面，又平面，则平面平面；（2）解1．如图，过作垂线，垂足为．由（1）知平面，平面，所以平面平面，平面平面，平面，则平面，即为点到平面的距离．又，，垂直于所在的平面则，所以，则在中，，得到，即点到平面的距离为．因点为线段的中点，点到平面的距离为点到平面的距离的一半，即点到平面的距离为．解2．如图，过作垂线，垂足为．由（1）知平面，平面，所以平面平面，平面平面，平面，则平面，即为点到平面的距离．又，，垂直于所在的平面则，得到，则在中，，得到，因为为的中位线，所以，即点到平面的距离为.解3：等体积法设底面圆半径为，，，,的面积,,又由（1）知，面，面，，与为直角三角形．，，，．设到平面的距离为，由，得，，到平面的距离为．10．（2025·高一·重庆长寿·期末）如图，正方体中，E，F分别是的中点.(1)求证：平面(2)若正方体的边长为2，求点A到平面的距离.【解析】（1）证明：取AD的中点M，连接EM，MF，因为点M，E分别是AD，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为点M，F分别是AD，AB的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，平面，得平面平面，又因为平面，所以平面.（2）过点A作交于点H，则易证得平面，又因平面，所以，又且，平面，故平面，即点A到平面的距离为的长.在中，由面积法得，其中，得.11．（2025·高二·山西·阶段练习）在直三棱柱中，，，.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求直线与平面的距离.【解析】(1)因为，所以(或其补角)是异直线与所成角.因为，，，所以平面，所以.中，，所以，所以异面直线与所成角的大小为.(2)因为平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，设到平面的距离为，因为，，可得，直线与平面的距离为.12．（2025·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.

(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面间的距离.【解析】（1）在正六棱柱中，因为底面为正六边形，所以，因为平面，平面，所以平面.因为，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又，所以平面平面.（2）平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为.连接，则四面体的体积.因为，，，所以，从而，所以，所以，即平面与平面间的距离为.13．（2025·高二·全国·课后作业）在棱长为的正方体中，、、、分别为、、、的中点．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面之间的距离．【解析】（1）证明：因为、分别为、的中点，则．又因为平面，平面，所以平面．因为，