重难点专题13 轻松搞定线面角问题（两大题型）（解析版）

重难点专题13轻松搞定线面角问题【题型归纳目录】题型一：定义法题型二：等体积法【方法技巧与总结】线与面的夹角①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．②范围：=3\*GB3③求法：常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；【典型例题】题型一：定义法【典例1-1】（2025·高二·河北沧州·期末）如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中点为，连接，可得，∵平面，平面，∴，∴又，，平面，∴平面，又，∴平面，∴为直线与平面所成角，设，，∴，则，∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为.故选：B.【典例1-2】（2025·高一·重庆·阶段练习）如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，过点D作于点N，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又四边形ABCD为矩形，，，平面AMD，所以平面AMD，因为平面AMD，所以，在中，，M为PD的中点，所以且，又，平面CDM，所以平面CDM，因为平面ACM，所以平面平面，因为平面平面，，平面，所以平面，所以CD与平面ACM所成的角为.因为平面，平面，所以，在中，.故选：B.【变式1-1】（2025·高一·四川成都·期末）如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（

）A．60° B．45° C．30° D．75°【答案】B【解析】如图，取的中点,连接,因是的中点，故,又因正方体中，平面,故平面,即是在平面上的射影，故即直线MN与平面所成角，因是的中点,故,易得，,即直线MN与平面所成角为.故选：B.【变式1-2】（2025·高一·天津南开·期末）已知正四面体的棱长为1，则直线与平面所成角的余弦值为．【答案】/【解析】如图，取的中点，连接，，过点作交于点G，则，，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.又平面平面，，平面，所以平面.由正四面体的性质，知，且即为直线与平面所成的角.在中，；故答案为：【变式1-3】（2025·高一·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，平面平面，，且，则与平面所成角的大小是．

【答案】【解析】过点作于点，

平面平面，平面平面，平面，平面，则为与平面所成的角，，，，故答案为：题型二：等体积法【典例2-1】（2025·高一·广东茂名·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.

(1)证明：平面；(2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面.由平面，可得，又因为是的中点，，则，且，、平面，所以平面.（2）假设在上存在异于端点的点，使得直线与平面所成的角大小为.过点作平面，垂足为，连结、、，则，，设，，则，由（1）可知：平面，，可知平面，由平面，可得，在中，，在中，，因为底面是直角梯形，，，，则，，可得，，由得，，即，解得，故存在点，使得直线与平面所成的角大小为，此时.【典例2-2】（2025·高二·云南·学业考试）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，.

(1)证明：；(2)若，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值.【解析】（1）因为，，平面，可得平面，且平面，所以.（2）因为，，则，由（1）可知：平面，可知三棱锥的高为，则三棱锥的体积，解得，设到平面的距离为，则，因为，则，解得，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为.【变式2-1】（2025·高一·广东湛江·阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，．，M，N分别是线段，BD上的动点，且．(1)若二面角的大小为，求DM的长；(2)当三棱锥的体积为时，求CN与平面BCM所成角的正弦值的取值范围．【解析】（1）取中点P，过P点作，交于点Q，连接．由直四棱柱，可得平面，而平面，所以，即，又因为，所以，因为底面是边长为2的菱形，，所以为等边三角形，则，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以，即为二面角的平面角，所以．在平面中，由，可得．在中，，，则，解得；（2）因为平面，所以，．因为三棱锥的体积为，所以，解得，因为平面，所以．在中，，，所以．设N到平面的距离为d，在中，，，所以，所以．因为，所以，解得．在中，由余弦定理得，所以．设与平面所成的角为．所以．令，则．因为，所以，所以，所以与平面所成角的正弦值的取值范围是．【变式2-2】（2025·高一·河南三门峡·阶段练习）如图，在三棱锥中，，底面ABC.(1)求证：平面平面；(2)若，，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值.【解析】（1）在三棱锥中，因为底面ABC，平面，所以，又因为，即，因为平面，所以平面，因为平面PBC，所以平面平面.（2）如图，在平面PAC内，过点A作于点，连接DM，因为BC⊥平面PAC，平面PAC，所以AD⊥BC，因为AD⊥PC，平面，所以平面，故是直线AM与平面PBC所成的角.因为平面，平面，所以，在中，因为，所以,因为，所以D为PC的中点，且，又因为M是PB的中点，在中，，因为平面，平面PBC，所以，在中，，即AM与平面PBC所成角的正切值为.【变式2-3】（2025·高一·浙江宁波·期末）如图，已知在正三棱柱中，为棱的中点，.(1)证明：面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（1）法一：取中点，连接因为，，所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面因为平行且等于，所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面又因为平面，平面且.所以平面平面.因为平面，所以平面法二：连接，记与的交点为，连接.在中，，所以为的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）法一：为等边三角形，为中点，故⊥，因为⊥平面，平面，所以⊥，因为，平面，，所以平面，又因为平面，所以.设，则，，由勾股定理得，故；设点到平面的距离为，其中，又.所以.法二：设，取的中点，连接，交于点，连接.因为，所以又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以≌，所以，故，故，又因为，平面，所以平面.所以即直线与平面所成线面角的平面角，有勾股定理得，故，所以.【变式2-4】（2025·高一·贵州黔东南·期末）在三棱锥中，底面.(1)证明：平面平面；(2)若是的中点，求与平面所成角的正切值.【解析】（1）平面，且平面，，又，且平面，平面，平面，平面平面；（2）设到平面的距离为.根据题意可设，则．由于底面是直角三角形，则可求出.底面,则可以知道，都是直角三角形.可以求得，，由于，则也是直角三角形.等体积法知道：，即，即，即，即，代入求得，即.是的中点,则在中，.设与平面所成角为，则，则，则.则与平面所成角的正切值为.

【过关测试】1．（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在三棱锥中，平面，是的中点，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，取中点，连接，令.因为面，面，所以，又因为，所以，因为面，面，所以，又因为，所以，因为面，，所以面，因为面，所以，因为面，所以面，所以是与平面所成角，因为，..，所以,由已证知，面，因为面，所以，所以，因为面，面，所以，所以，所以，由已证知，面，又因为面，所以所以，即与平面所成角的正弦值是.故选：B．2．（2025·高二·全国·课堂例题）如图，在三棱台中，平面平面ABC，，，.则DC与平面ABC所成线面角大小为.【答案】【解析】因为平面平面ABC，且平面平面ABC，所以，过点作于，且面，所以平面ABC，则为DC与平面ABC所成的线面角，过作于，连接，由面，故，而且都在面内，所以面，面，则，在中，，在中，，在中，，所以，即，解得，所以，即DC与平面ABC所成线面角大小为.故答案为：3．（2025·高一·陕西渭南·阶段练习）在三棱锥P-OAB中，已知PO⊥平面OAB，OP=10，AB=20，PA与平面OAB所成的角为30°，PB与平面OAB所成的角为45°，则∠AOB=.（用角度表示）【答案】【解析】因为平面，所以在平面上的投影为，所以与平面所成的角的平面角为，所以是直角三角形，，又，所以，因为平面，所以在平面上的投影为，所以与平面所成的角的平面角为，所以是直角三角形，，又，所以，又，所以在中，，所以．故答案为：．4．（2025·高二·安徽·学业考试）如图，在直三棱柱中，．若，则与平面所成的角的大小为．【答案】/【解析】连接,由于直三棱柱中，平面，平面，故,又,平面，故平面,由于,所以平面,故为与平面所成的角，由于，所以,，由于为锐角，所以，故答案为：5．（2025·高一·宁夏银川·期末）在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正弦值为．【答案】/【解析】取的中点，连接，则，故与平面所成角和与平面所成角相等，连接交于点，则，平面，平面，，因为平面平面，为与平面所成角，设正方体棱长为，则，，．故答案为：6．（2025·高一·全国·课后作业）在正方体中，E，F分别是，的中点，求：(1)与平面所成角的余弦值；(2)EF与平面所成的角.【解析】（1）如图所示，连接DB，平面，是在平面内的射影，则即为与平面所成的角.，，，即与平面所成角的余弦值为.（2）是的中点，平面，是EF与平面所成的角.在中，是的中点，是的中点，，即EF与平面所成的角为45°.7．（2025·高二·新疆·学业考试）如图，在正方体中．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成的角．【解析】（1）连接，由正方体性质可得，，，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）连接交与点，因为四边形为正方形，所以，由已知平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，即平面，所以为直线与平面所成的角，设，则，，在中，，，，所以，又，所以.所以直线与平面所成的角为.8．（2025·高一·全国·课堂例题）如图，在正方体中．(1)求直线和平面所成的角；(2)求直线和平面所成的角．【解析】（1）根据正方体性质，平面，就是与平面所成的角，在中，，，，和平面所成的角是．（2）连接，与相交于点，连接，如图所示．设正方体的棱长为．平面，平面，，又，，，平面，平面，为斜线在平面上的投影，为和平面所成的角．在中，，，．．直线和平面所成的角为．9．（2025·高一·全国·专题练习）在四棱锥中，底面，，，，．求与平面所成的角的正弦值．【解析】如图，过点作，连接，过点作，底面，平面，，又，平面，又平面，平面平面．，且平面平面，面，平面，即就是与平面所成的角，易知，，底面，平面，，．，所以与平面所成的角的正弦值为.10．（2025·高一·江苏苏州·期末）如图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面．(1)证明：；(2)若为的中点，求直线和平面所成角的正弦值．【解析】（1）连接，∵平面平面，，平面平面，平面，∴平面，因为平面，所以，由题意可知，等腰梯形的高为1，故等腰梯形的面积为：，又梯形的高为，故，∴，∴，在中，，．∴，即，∴为的三等分点，所以，所以，∴．又∵，面，面，∴平面，∵平面，∴．（2），连接，在梯形中可得，，因此，即，因为平面，因为平面，所以，又因为，平面，所以平面，由平面，可得，因为平面，因为平面，所以，所以，所以，所以B到平面的距离为，在中由，，得，设直线和平面所成角为，则，所以直线和平面所成角得正弦值为．11．（2025·高一·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，，分别是，的中点．

(1)求证：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【解析】（1）证明：取的中点，中点为，所以，且，又，故，故四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，所以平面，（2）由于底面，平面，所以平面底面，又两平面的交线为，过作于，连接，所以平面，故即为直线与平面所成角，又，，所以，，，由，所以，故12．（2025·高一·云南红河·阶段练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，，，E为棱AD的中点，平面ABCD．

(1)求证：平面PCE；(2)求证：平面平面；(3)若二面角的大小为，求直线PA与平面所成角的正弦值．【解析】（1）依题意，且，则四边形为平行四边形，，而平面，平面，所以平面.（2）由平面，平面，得，连接，由且，得四边形为平行四边形，又，则为正方形，有，又，则，又平面，因此平面，又平面，所以平面平面.（3）由平面，平面，得，又，平面，则平面，又平面，因此，为二面角的平面角，即，在中，，在平面内过作于点M，由（2）知，平面平面，平面平面，则平面，于是为直线在平面上的投影，为直线与平面所成的角，在中，，，在中，，所以直线与平面所成角的正弦值为.13．（2025·高一·广东广州·期中）如图，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，是的中点.(1)求证：直线平面；(2)求点到平面的距离；(3)求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（1）∵，为等边三角形，又是的中点.∴，∵平面，且在平面内，，∵在平面内，CB在平面内，且，所以平面.（2）是等边三角形，取中点，则，又平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，在中，，所以，在底面内过点作，则平面，因为点是的中点，则点为中点，则，则点到平面的距离为.（3）由（2）知平面，是直线与平面所成角，因为底面，底面,所以，，所以，.14．（2025·高一·江苏徐州·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，为棱的中点.(1)证明：平面.(2)证明：平面平面.(3)求直线与平面所成的角.【解析】（1）证明：如图，连接交于点，则为的中点，连接.是的中点，为的中位线，.又平面，平面，平面.（2）证明：为正三角形，为的中点，.平面，平面，.又平面，平面，且平面.又平面，平面平面.（3）平面平面，且交线为，在平面内，作，则平面.则即直线与平面所成的角.，则即直线与平面所成的角.在中，，，，直线与平面所成的角为.15．（2025·高一·安徽马鞍山·阶段练习）如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形.

(1)求证：(2)在直线上存在一点，，试求与平面所成角的正弦值.【解析】（1）取中点，连接，是正三角形，，为中点，，与全等，，又为中点，，平面，平面，平面，平面，.（2）因为侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，所以，又为等边三角形，所以，所以，则，所以，又，，所以，在中，所以，所以，所以，设点到平面的距离为，则，解得，又，所以点到平面的距离，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.16．（2025·高一·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点.(1)证明：平面；(2)求与平面所成的角.【解析】（1）证明：取的中点，连接.分别是的中点，，且.又，且且，四边形为平行四边形，，又平面平面平面.（2）由（1）知，则与平面所成的角即为与平面所成的角.取的中点，连接，则可得，底面，平面，则即为与平面所成的角.，故与平面所成的角为.17．（2025·高一·内蒙古赤峰·期末）如图，在正方体中.(1)证明：平面；(2)证明：平面：(3)求直线与面所成角的余弦值.【解析】（1）在正方体且为平行四边形，，平面平面，平面；（2）是正方体，底面，又底面，，是正方形，，又平面平面，平面；（3）设与交于点，连接，由（2）知平面，所以是直线与面所成的角，易知，所以为正三角形，又为的中点，所以，所以所以直线与面所成角的余弦值为18．（2025·高一·吉林延边·期末）如图，在四棱锥中，平面，为的中点.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（1）证明：连接因为平面平面，所以，因为为的中点，，所以四边形是正方形，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以；（2）作平面，交平面于点，连接，则是直线与平面所成角，因为，∥，所以四边形为平行四边形，所以∥，因为，所以，因为，四边形是正方形，所以，，，因为，所以，所以，得，在中，.19．（2025·高一·贵州六盘水·期末）如图，直三棱柱中，分别是的中点，.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（1）连接，连结交于点，则为中点，又是中点，连结，则是的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）方法一：由题意设，记点到平面距离为，在中，是的中点，所以，又因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面；平面，，，，，，，记直线与平面所成角为，方法二：过作的垂线，垂足为，连接.在中，是的中点，所以，又因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面；平面，，又因为，，平面，所以平面，则直线与面所成角为，在中由，由题意设，知，求得.则.20．（2025·高一·贵州贵阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面为的中点.(1)设平面与直线相交于点，求证：平面；(2)若，求直线与平面所成角的大小.【解析】（1）因为底面为菱形，所以，因为平面，且平面，所以平面；因为平面，且平面平面，所以；因为平面，且平面，所以平面.（2）过作交于，连接，平面平面，，又平面，平面，是直线与平面所成的角，底面为菱形，且，为等边三角形，且，，平面平面，，且是的中位线，在中，，在中，，，即直线与平面所成的角为.21．（2025·高二·湖南岳阳·期中）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【解析】（1）是矩形，，又平面，平面，平面，，平面，平面，平面，又，BC，平面，平面平面，平面，平面．（2），，即为二面角的平面角，，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面，作于，连接，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以直线与平面所成角为，因为，，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．22．（2025·高一·广东云浮·期末）如图，在四棱锥中，平面为的中点．(1)证明：平面．(2)若，求直线与平面所成角的正切值．【解析】（1）证明：因为平面平面，所以．连接，由，且，知四边形为平行四边形．又，所以平行四边形为正方形