上海市浦东新区华东师范大学附属周浦中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

周浦中学2024学年高三3月月考一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7~12题每题5分）1.不等式：解集为_______2.已知复数（其中为虚数单位）)，则______．3.计算_____________．4.一组数据15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78的第75百分位数是______.5.的展开式中常数项为______.（用数字作答）6.双曲线两条渐近线的夹角为______．7.某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品（人）不喜欢甜品（人）总计（人）南方学生602080北方学生101020总计7030100根据表中数据，__________（选填“有”或“没有”）95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则________．9.一个盒子中有4个白球,个红球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,已知第二次取到红球的条件下,第一次也取到红球的概率为,则________.10.《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸，深一尺八寸，接雨水深九寸，则平地降雨量为_________寸．注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸11.在平面上，已知定点，动点．当在区间上变化时，动线段AP所形成图形面积为_______12.已知为单位向量，向量满足，则的取值范围是__.二、选择题（满分18分，其中第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.若是的充分不必要条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.14.已知变量X与Y相对应的一组数据为，，，，，变量U与V相对应的一组数据为，，，，．表示变量X与Y之间的线性相关系数，表示变量U与V之间的线性相关系数，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.15.对于平面上的动点P，且满足对于，；PA、PB长度之比为t（t不为0），则我们称P点运动所得的轨迹为“完美曲线”.若，，．则下列和“完美曲线”有交点的有几个？（1）（2）（3）（4）A.2 B.3 C.4 D.116.函数.其中P，M为实数集的两个非空子集，又规定，.下列四个判断其中正确的是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.A.①③ B.②③ C.②④ D.①④三、解答题（78分）17.如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求点到平面的距离．18.已知x=（1）若函数图象过点，求不等式的解集；（2）存在使得成等差数列，求a的取值范围.19.某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式.（2）花店记录了100天玫瑰花日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.20.已知椭圆（的右顶点为，焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆C上的任意一点.（1）写出向量和的坐标（用字母：，，表示）；（2）若的最大值为2，最小值为，求椭圆C的离心率；（3）在满足（2）的条件下，若直线与椭圆C交于M、N两点（M、N与椭圆的左右顶点不重合），且以线段MN为直径的圆经过点A，求证：直线l必经过定点，并求出定点的坐标.21.已知函数的图象在处的切线与直线平行.（1）求实数a的值；（2）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.（3）是否存在正整数，使得满足，的无穷数列是存在的，如果存在，求出所有的正整数的值，如果不存在，说明理由.

周浦中学2024学年高三3月月考一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7~12题每题5分）1.不等式：的解集为_______【答案】【解析】【分析】将分式不等式化为求解集.【详解】由，则，可得，所以不等式的解集为.故答案：2.已知复数（其中为虚数单位）)，则______．【答案】【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案．【详解】，因此，.故答案为：.3计算_____________．【答案】2【解析】【分析】根据无穷等比数列的求和公式直接即可求出答案.【详解】.故答案为：2.4.一组数据15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78的第75百分位数是______.【答案】50【解析】【分析】根据给定条件，利用第75百分位数的定义求解即得.【详解】依题意，，所以所求的第75百分位数是.故答案为：505.的展开式中常数项为______.（用数字作答）【答案】84【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式求解.【详解】根据通项公式,令,解得,所以,故答案为:84.6.双曲线的两条渐近线的夹角为______．【答案】【解析】【分析】先求出渐近线方程，设出直线与轴夹角为，得到，利用二倍角公式得到，从而求出答案.【详解】的渐近线方程为：，故直线与轴夹角为，则，则，所以故两条渐近线的夹角为.故答案为：7.某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品（人）不喜欢甜品（人）总计（人）南方学生602080北方学生101020总计7030100根据表中数据，__________（选填“有”或“没有”）95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．【答案】有【解析】【分析】由卡方公式计算求解．【详解】，对照临界值知，有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．故答案为：有8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则________．【答案】【解析】【分析】由正弦定理得到，求出正弦，利用二倍角公式求出答案.【详解】，由正弦定理得，因为，所以，故，由于，故，则.故答案为：9.一个盒子中有4个白球,个红球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,已知第二次取到红球的条件下,第一次也取到红球的概率为,则________.【答案】6【解析】【分析】根据条件概率的公式计算出结果即可.【详解】解:由题知,记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件B,,,,或(舍).故答案为:610.《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸，深一尺八寸，接雨水深九寸，则平地降雨量为_________寸．注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸【答案】3【解析】【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面积即可得到答案.【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.因为雨水深9寸，所以水面半径为寸.则盆中水的体积为（立方寸），所以则平地降雨量等于（寸）,故答案为：11.在平面上，已知定点，动点．当在区间上变化时，动线段AP所形成图形的面积为_______【答案】【解析】【分析】根据题意确定的轨迹，数形结合及扇形的面积公式求动线段AP所形成图形的面积.【详解】由题意，动点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆弧，如下图示，其中，而，易知，所以动线段AP所形成图形的面积.故答案为：.12.已知为单位向量，向量满足，则的取值范围是__.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设，确定点A，B的轨迹，从而设，求出的表达式结合三角恒等变换化简，再结合二次函数性质即可求得答案.【详解】如图，建立平面直角坐标系，令,设则由可得，即点A轨迹为以为圆心，半径为2的圆，点B轨迹为以为圆心，半径为3的圆，则设，则，（为辅助角），令，则，则，又，而，故，故的取值范围是，故答案为：【点睛】本题是关于向量和三角函数的综合性题目，综合性较强，解答时要注意建立坐标系，利用向量的坐标运算结合三角函数的恒等变换进行解答，难点在于化简的表达式时，计算较为复杂，要注意计算的准确性.二、选择题（满分18分，其中第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.若是的充分不必要条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用充分不必要条件的判断方法，借助于数轴理解即得的取值范围.【详解】因是的充分不必要条件，可得，但，故得，即的取值范围是.故选：B.14.已知变量X与Y相对应的一组数据为，，，，，变量U与V相对应的一组数据为，，，，．表示变量X与Y之间的线性相关系数，表示变量U与V之间的线性相关系数，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正负相关与相关系数的关系分析判断即可.【详解】由变量X与Y相对应的一组数据，可得变量X与Y之间正相关，∴；由变量U与V相对应的一组数据，可知变量U与V之间负相关，∴；综上所述：与的大小关系是．故选:C．15.对于平面上的动点P，且满足对于，；PA、PB长度之比为t（t不为0），则我们称P点运动所得的轨迹为“完美曲线”.若，，．则下列和“完美曲线”有交点的有几个？（1）（2）（3）（4）A.2 B.3 C.4 D.1【答案】C【解析】【分析】根据可得“完美曲线”表示圆心在，半径的圆，即可根据圆的范围求解（1），联立方程可判断（2），根据点到直线的距离求解（3），根据两圆的位置关系即可求解（4）.【详解】由题意可得,即，化简得，即，故“完美曲线”表示圆心在，半径的圆，对于,故与“完美曲线”有交点，对于,联立与可得，解得，故有交点，对于,圆心到直线的距离为，故直线与圆相交，有交点，对于，表示圆心半径的圆，则两圆的圆心距离为，故两圆相交，有交点，故选：C16.函数.其中P，M为实数集的两个非空子集，又规定，.下列四个判断其中正确的是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.A.①③ B.②③ C.②④ D.①④【答案】C【解析】【分析】通过取特殊集合分析①③；先分析的结果，根据结果判断②；先考虑的情况，然后分析的唯一性，由此判断④.【详解】对于①：若，满足，此时，故错误；对于②：若，则由函数定义可知，即，所以，则，所以，故正确；对于③：若，满足，此时，故错误；对于④：若，则，；若，假设，则，所以，所以，所以，这显然与矛盾，所以假设不成立，所以若，则，故正确；故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查对函数定义域、值域的理解以及集合的基本运算，主要考查学生的分析与理解能力，难度较大.其中对于元素的考虑是分析问题的关键.三、解答题（78分）17.如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据圆柱的特征可得直线与平面的夹角，即为，然后利用圆柱的表面积为求出，求出，进而求解；（2）利用等体积转化法即可求解.【小问1详解】由题意知，直线与平面的夹角，即为，易知，，又，故，进而有，，由圆柱的表面积为，可得，故，故直线与平面夹角为．【小问2详解】设点A到平面的距离为h，则，，，因为平面ABP，，所以BP⊥平面，即，在中，，故，所以，即点A到平面的距离为．18.已知．（1）若函数的图象过点，求不等式的解集；（2）存在使得成等差数列，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求a的取值范围．【小问1详解】由过，可得，则，解得（负值舍去），因为在上单调递增，，则，解得，故所求解集为．【小问2详解】因为成等差数列，所以，即有解，化简可得，则，且，故在上有解，令，则a2所以，又因为，所以．19.某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式.（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.【答案】（1）2）（i）（ii）应购进17枝【解析】【详解】（1）当时，当时，得：（2）（i）可取，，的分布列为（ii）购进17枝时，当天的利润为得：应购进17枝20.已知椭圆（的右顶点为，焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆C上的任意一点.（1）写出向量和的坐标（用字母：，，表示）；（2）若最大值为2，最小值为，求椭圆C的离心率；（3）在满足（2）的条件下，若直线与椭圆C交于M、N两点（M、N与椭圆的左右顶点不重合），且以线段MN为直径的圆经过点A，求证：直线l必经过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）．（2）；（3）证明见解析，．【解析】【分析】（1）利用平面向量的坐标运算可得出和的坐标；（2）求得利用椭圆的有界性可得出，利用二次函数的基本性质可得出的最大值和最小值，进而可求得的值；（3）设点，联立直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，由已知条件得出，利用平面向量数量积的坐标运算并结合韦达定理可得出的等量关系，由此可得出直线l所过定点的坐标.【小问1详解】因为，所以．【小问2详解】，因为，所以时，时，，所以，所以离心率为；【小问3详解】由（2）知，椭圆，又联立方程组，得．设是直线与椭圆的两个交点，于是有Δ以线段为直径的圆经过点，所以，即，化简得，所以或（均满足）当时