辽宁省沈阳市新民市实验中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

寒假学习成果检验一、选择题（共10小题）1.如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（）A. B. C. D.2.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（）A. B. C.且 D.且3.数学课上，王老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（）A.黑色 B.红色 C.黄色 D.白色4.如图，，，，则的长是（）A.20 B.12 C.8 D.65.在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（）A. B.C D.6.如图，在中，，，，则的长是（）A. B. C. D.7.已知反比例函数和的部分图象如图所示，是轴正半轴上一点，过点作轴，分别交两个图象于点，．若，则的值为（）A.6 B. C. D.8.如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点．若，则的长为（）A.4 B.3 C. D.29.如图，，分别与相切于，两点．若，则的度数为（）A. B. C. D.10.已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（）A1个 B.2个 C.3个 D.4个二．填空题（共5小题）11.三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是________．12.已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…345678…y…14415041m…则表格中m的值是_______．13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，∠A=50°，则∠DCE度数为________．14.如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点A和中心E，若点D的坐标为，则k的值为________．15.矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为______．三．解答题16.（1）解方程：；（2）计算：．17.某景区检票口有A，B，C共3个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票.（1）甲选择A检票通道的概率是___________;（2）求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率.18.随着传统能源的日益紧缺，太阳能的应用将会越来越广泛，如图①是一款太阳能路灯实物图，图②是某校兴趣小组测量太阳能路灯电池板距离地面高度的方案示意图，其中测角器的高在点C处安置测角器，测得点A的仰角，在与点C相距的点D处安置测角器，测得点A的仰角（点C，D，B在同一条直线上）．（1）设，用含x的代数式表示的长；（2）求电池板距离地面的高度的长．（结果精确到；参考数据：）19.如图，在中，两条对角线交于点O，且平分．（1）求证：四边形是菱形：（2）作于H，交于E．若，，求菱形的边长及面积．20.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求：（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？21.如图，内接于是的直径，点在上，平分，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于．（1）求证：是的切线；（2）若，求长．22.如图1，中，，若点C在射线上移动，将线段绕点C逆时针旋转，点B的对应点为D，过点D作于点E．（1）求证：；（2）如图2，若，在延长线上取点M，连接，过点D作于点F，过点C作于点H，已知，求四边形的面积；（3）如图3，若，在延长线上取点M，连接，在延长线上取一点P，连接，已知，且，求的长．23.定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“友好函数”，函数和的图象交点叫做“友好点”．例如：函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为．（1）求函数关于直线的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标；（2）函数关于直线的“友好点”的纵坐标为，当时，求的取值范围；（3）函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为．函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数与的图象组成的图形记为．①若，判断的形状，并说明理由；②若，求的值；③点，点，若与线段有且只有两个交点，直接写出的值或取值范围．

寒假学习成果检验一、选择题（共10小题）1.如图为一个积木示意图，这个几何体左视图为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键．根据左视图是从左边看到的图形求解即可．【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为．故选：A．2.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（）A. B. C.且 D.且【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个实数根，可知且，求出解即可．【详解】∵一元二次方程有两个实数根，∴，且，解得且．故选：C．3.数学课上，王老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（）A.黑色 B.红色 C.黄色 D.白色【答案】A【解析】【分析】利用简单地概率公式，求得各色球的概率，结合图象，发现该球频率稳定在，比较解答即可．本题考查了频率估计概率，简单地概率公式应用，熟练掌握公式，理解频率估计概率意义是解题的关键．【详解】解：根据题意，得不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，故，，，，根据图象，得该球频率稳定在，故其概率约为．故选：A．4.如图，，，，则的长是（）A.20 B.12 C.8 D.6【答案】A【解析】【分析】本题考查相似三角形性质及判定，平行线性质，解一元一次方程．根据题意证明，继而利用相似得性质即可得到本题答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴设，则，∴，即：，故选：A．5.在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行投影特点，熟练掌握平行投影的特点是解题的关键；平行投影特点是在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．根据平行投影特点结合选项判断即可．【详解】解：A、影子的方向不相同，故本选项错误；B、影子的方向不相同，故本选项错误；C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误；D、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；故选：D．6.如图，在中，，，，则的长是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角形的定义．根据余弦的定义解答即可．【详解】解：在中，，，，，故选：C7.已知反比例函数和的部分图象如图所示，是轴正半轴上一点，过点作轴，分别交两个图象于点，．若，则的值为（）A.6 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设点坐标为，则点坐标为，据此把代入中即可求出答案．【详解】解：设点坐标为，则点坐标为，把代入得，，∴．故选：B．8.如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点．若，则的长为（）A4 B.3 C. D.2【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线的性质，由菱形的性质可得，由三角形中位线的性质可得，故可求解．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，∵点E是的中点，，∴，故选：D．9.如图，，分别与相切于，两点．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了切线的性质、四边形内角和定理，同弧所对的圆周角与圆心角的关系等知识．首先根据同圆中同弧所对的圆心角等于圆周角的倍，可以求出，再根据切线的性质可以得到，根据四边形的内角和是求出的度数．【详解】解：，，、是的切线，，在四边形中，，，．故选：A

．10.已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由开口方向，，以及抛物线与轴的交点在轴的上方即可判断符号，即可判断①；由于抛物线与x轴有两个交点，则，即可判断②；由抛物线与x轴一个交点横坐标，而对称轴为直线，则抛物线与x轴另一个交点，当，即可判断③；由于时，，时，，则，运用平方差公式化简判断④；当时，，则，故，即可判断⑤．【详解】解：开口向下，；对称轴在轴的右侧，，则；抛物线与轴的交点在轴的上方，，∴，所以①正确；由于抛物线与x轴有两个交点，∴∴，故②正确；∵抛物线与x轴一个交点横坐标，而对称轴为直线，∴抛物线与x轴另一个交点，∴当，故③正确；∵时，，时，，∴，∴，即，故④正确；∵抛物线开口向下，∴时，，∴当时，，∴∴，故⑤错误，∴正确的有4个，故选：D．二．填空题（共5小题）11.三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是________．【答案】（2，4）或（-2，-4）##（-2，-4）或（2，4）．【解析】【分析】根据位似变换的性质解答即可．【详解】解：∵△AOB顶点B的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，∴点B的对应点B′的坐标为（3×，6×）或（3×（-），6×（-）），即（2，4）或（-2，-4），故答案为：（2，4）或（-2，-4）．【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．12.已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…345678…y…14415041m…则表格中m的值是_______．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象的对称性可得答案．【详解】解：由题意可得：抛物线的对称轴为：直线，∴与关于对称轴对称，∴，故答案为：13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，∠A=50°，则∠DCE的度数为________．【答案】50°【解析】【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠DCB＝180°，又∠DCE＋∠DCB＝180°，∴∠DCE＝∠A＝50°，故答案50°．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解决此题的关键．14.如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点A和中心E，若点D的坐标为，则k的值为________．【答案】【解析】【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而可以得到点E的坐标，进而求得k的值，从而可以解答本题．【详解】解：设正方形ABCD的边长为y∴，∵反比例函数的图象经过正方形ABCD的顶点A和中心E，点D的坐标为，∴点E的坐标为，∴点E的坐标为

∵A、E在反比例函数的图象上∴∴∴（舍去）∴∴故答案为：【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的知识解答．15.矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为______．【答案】或【解析】【分析】分点在点右边与左边两种情况分别画出图形，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵折叠，∴，∵四边形是矩形，∴∴，又∴∴，当点在点的右侧时，如图所示，设交于点，∵，，，∴中，，则，∵，∴∴，当点在点的左侧时，如图所示，设交于点，∵，，，∴中，则，∵，∴∴，综上所述，的长为：或，故答案为：或．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，分类讨论是解题的关键．三．解答题16.（1）解方程：；（2）计算：．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法、特殊角的三角函数、二次根式的运算．首先把一元二次方程配方得，分解因式得，把方程两边同时开平方求出方程的解即可；把物特殊角的三角函数值、、，代入算式可得：原式，然后再根据二次根式的运算法则进行计算．【详解】解：移项得：，配方得：，分解因式得：，两边同时开平方得：，方程的解为，；解：，，，．17.某景区检票口有A，B，C共3个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票.（1）甲选择A检票通道的概率是___________;（2）求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）因为景区检票口有A，B，C共3个检票通道，所以供甲选择的有三种可能，甲选择A检票通道的概率是；（2）利用树状图把所有可能的情况一一列举出来，然后利用概率公式求解即可.【小问1详解】解：（1）∵景区检票口有A，B，C共3个检票通道，∴甲随机选择一个检票共有三种等可能的情况.∴P（选择A）=.故答案为：；【小问2详解】由题意列树状图得，由上图可以看出，甲乙两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票共有9种等可能的情况，其中甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的情况共有3种，∴P（甲乙两人选择的通道相同）.【点睛】本题考查了列表法与树状图法求事件发生的概率，熟练掌握列表法与树状图法及概率公式是解题的关键.18.随着传统能源的日益紧缺，太阳能的应用将会越来越广泛，如图①是一款太阳能路灯实物图，图②是某校兴趣小组测量太阳能路灯电池板距离地面高度的方案示意图，其中测角器的高在点C处安置测角器，测得点A的仰角，在与点C相距的点D处安置测角器，测得点A的仰角（点C，D，B在同一条直线上）．（1）设，用含x的代数式表示的长；（2）求电池板距离地面的高度的长．（结果精确到；参考数据：）【答案】（1）（2）电池板距离地面的高度约为【解析】【分析】本题考查锐角三角函数的应用，构造直角三角形求解是解题的关键．（1）延长交于点M，设在中，利用求出结论；（2）在中，利用正切定义得出，求出x的值，即可解答．【小问1详解】解：延长交于点M，，，∵，∴四边形是矩形，米，，∴四边形是矩形，，，设，则，在中，，，；【小问2详解】在中，，，，，解得：经检验是原方程的解，且符合题意，答：电池板离地面的高度的长为米．19.如图，在中，两条对角线交于点O，且平分．（1）求证：四边形是菱形：（2）作于H，交于E．若，，求菱形的边长及面积．【答案】（1）见解析；（2）边长为，面积为．【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，由平分，得，则，所以，即可证明四边形是菱形；（2）由菱形的性质得，，，则，，所以，则，即可证明，得，求得，所以，，进而可求出答案．【小问1详解】证明：∵四边形平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴四边形是菱形．【小问2详解】解：∵菱形的两条对角线交于点O，∴，，，∴，，∵于H，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴菱形的面积为：，∴菱形的边长为，面积为．【点睛】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的面积公式等知识，证明，是解题的关键．20.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求：（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？【答案】（1）每件衬衫应降价20元（2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．【解析】【分析】此题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键．（1）若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售出件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解．（2）列出商场平均每天赢利y与衬衫降价x之间的函数关系式，利用二次函数的性质即可解答．【小问1详解】解：设每件衬衫应降价x元，根据题意得，整理得，解得，．因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元．答：每件衬衫应降价20元．【小问2详解】解：设商场平均每天赢利y元，则；∵，∴当时，y取最大值，最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．21.如图，内接于是的直径，点在上，平分，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了切线的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．（1）由角平分线的定义和等腰三角形的性质证明，得到，进而证得，根据切线的判定定理即可证得结论；（2）先根据勾股定理求出半径，再根据面积相等得出，根据角平分线的性质得出，再求出，，最后根据勾股定理即可得出答案．【小问1详解】证明：连接，，，平分，，，，，，，，是的半径，∴EF是的切线，【小问2详解】如图，过作于，设，，在Rt中，，，，解得，，，，，平分，，，，在Rt中，根据勾股定理得，，22.如图1，中，，若点C在射线上移动，将线段绕点C逆时针旋转，点B的对应点为D，过点D作于点E．（1）求证：；（2）如图2，若，在延长线上取点M，连接，过点D作于点F，过点C作于点H，已知，求四边形的面积；（3）如图3，若，在延长线上取点M，连接，在延长线上取一点P，连接，已知，且，求的长．【答案】（1）见解析（2）36（3）【解析】【分析】（1）利用旋转得到，，利用垂直的定义和余角的性质得到，再利用“”即可求证；（2）过D点作于G，证明，得到，，令，得，表示出，和四边形的面积，即可求解；（3）过M点作于K，设，则，，利用勾股定理表示出，，得出，再利用勾股定理得出，建立方程，解一元二次方程即可求解．【小问1详解】证明：∵中，，∴,∵将线段绕点C逆时针旋转，点B的对应点为D，∴，，∴，∴又∵，∴，∴，∴【小问2详解】解：由（1）可知，如图，过D点作于G，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，，令，∴，∴，∵，∴四边形是矩形，∴四边形的面积，∴四边形的面积四边形的面积；∴四边形的面积为36；【小问3详解】由（1）可知，∵将线段绕点C逆时针旋转，点B的对应点为D，∴，，∵，∴，，∵，∴，∴，设，则，，过M点作于K，则，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，解得：（不合题意，舍去），∴的长为．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质，涉及到了矩形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，构造直角三角形．23.定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“友好函数”，函数和的图象交点叫做“友好点”．例如：函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为．（1）求函数关于直线的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标；（2）函数关于直线的