安徽省六安市独山中学2024-2025学年高二下学期B班3月月考数学试题（原卷版+解析版）

六安市新世纪中学2024-2025学年度第二学期高二年级B班三月份月考数学试卷一、单选题（每题5分共40分）1.过点且与直线垂直的直线l的方程是A. B. C. D.2.若向量，则（）A. B. C. D.3.如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（

）①；

②③；

④．A1 B.2 C.3 D.44.已知空间中三点，则（）A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是C.与夹角的余弦值是 D.与夹角的正弦值是5.点为圆的弦的中点，则直线的方程为（）A. B. C. D.6.已知点，，线段的垂直平分线与x轴相交于点P，则的值为（）A.1 B. C.2 D.7.已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（）A. B.6 C. D.8.在平面直角坐标系中，点，直线．设圆半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（）A B. C. D.二、多选题（每题6分，错选或多选不得分，部分对答部分分共18分）9.已知直线和直线，则（）A.始终过定点 B.若在x轴和y轴上的截距相等，则C若，则或2 D.若，则或10.如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（）A.平面B.C.是平面的一个法向量D.点到平面的距离为11.点在圆：上，点在圆：上，则（）A.的最小值为2 B.的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为 D.两个圆相交弦所在直线的方程为三、填空题（每题5分共15分）12.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为______.13.如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为______.14.函数的最小值为________．四、解答题15.已知向量，．（1）若，试求实数x，y的值；（2）若，且x，y均为正数，试求xy的最大值．16.分别求满足下列条件的直线的方程：（1）直线过点，且与轴和直线围成的三角形的面积为2，求直线的方程．（2）直线的倾斜角为，另一直线的倾斜角，且过点，求的点斜式方程；（3）直线过点，当原点到直线距离最大时，求直线的方程．17.已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程．18.如图所示，在正四棱柱中，侧棱，底面边长，E，F分别为棱，的中点．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面间的距离．19.已知，为上三点.（1）求的值；（2）若直线过点(0，2)，求面积的最大值；（3）若为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

六安市新世纪中学2024-2025学年度第二学期高二年级B班三月份月考数学试卷一、单选题（每题5分共40分）1.过点且与直线垂直的直线l的方程是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线垂直，得到所求直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可求出结果.【详解】因为所求直线与直线垂直，所以其斜率为，又所求直线过点，因此，所求直线方程为：，即.故选：D.【点睛】本题主要考查求与已知直线垂直的直线方程，熟记直线的点斜式方程即可，属于基础题型.2.若向量，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由空间中向量的运算求解即可.【详解】因为，所以.故选：C【点睛】本题主要考查了空间中向量的运算，属于基础题.3.如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（

）①；

②③；

④．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的加法法则判断．【详解】由正方体，空间向量的加法法则可得．；；；．故选：D．4.已知空间中三点，则（）A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是C.与夹角的余弦值是 D.与夹角的正弦值是【答案】C【解析】【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，由题可得，所以不存在实数，使得，A错误；对于B，因为，故与同向的单位向量为，B错误；对于C，，C正确；对于D，，则，D错误.故选：C.5.点为圆的弦的中点，则直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由圆（x﹣1）2+y2=25，得到圆心C坐标为（1，0），又P（-1，1），∴kPC=∴弦AB所在的直线方程斜率为2，又P为AB的中点，则直线AB的方程为.故选C．6.已知点，，线段的垂直平分线与x轴相交于点P，则的值为（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】首先求出的垂直平分线方程，从而得到，再用两点之间距离公式计算即可.【详解】线段AB的中点坐标为，线段AB所在直线的斜率．线段AB的垂直平分线方程为．令，得．解得，因此，．.故选：D【点睛】本题主要考查直线方程，同时考查两点之间距离公式，属于简单题.7.已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（）A B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，根据对称性特征求得点关于直线AB的对称点，再根据反射对称性可得光线所经过的路程为，即得结果.【详解】直线AB的方程为：，如图所示，点关于x轴的对称点，设点关于直线AB的对称点，如图，则，且中点在直线上，即联立解得，即，所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为：．故选：C.【点睛】本题考查了直线的方程、点关于直线的对称点的求法、两点之间的距离公式和光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题．8.在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得圆的方程，再利用求得点M满足的圆的方程，进而利用两圆有公共点列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围.【详解】圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为，则圆的方程，设，由，可得，整理得，则圆与圆有公共点，则，即，解之得.故选：D二、多选题（每题6分，错选或多选不得分，部分对答部分分共18分）9.已知直线和直线，则（）A.始终过定点 B.若在x轴和y轴上的截距相等，则C.若，则或2 D.若，则或【答案】AC【解析】【分析】结合直线所过定点的求法、直线的截距、直线平行和垂直等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】化为，由且解得，即直线恒过定点，故A正确；若在x轴和y轴上截距相等，则过原点或其斜率为，则或，故B错误；若，则解得或2，故C正确；若，则先由解得或，再检验当时重合，故D错误.故选：AC10.如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（）A.平面B.C.是平面的一个法向量D.点到平面的距离为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，由线面平行的判定定理证明即可；对于B，由空间向量判断异面直线垂直即可；对于C，由平面法向量求解即可；对于D，由点到平面的距离公式计算即可.【详解】对于A，由于，分别是的中点，所以平面平面，所以平面，故A正确；对于B，，故，，故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误；对于C，由，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量，故C正确；对于D，，点到平面的距离为，故D正确.故选：ACD．11.点在圆：上，点在圆：上，则（）A.的最小值为2 B.的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为 D.两个圆相交弦所在直线的方程为【答案】BC【解析】【分析】先求出两个圆的圆心坐标和半径，根据圆心距可得两圆相离，从而求得两圆上动点的距离最值，计算直线斜率公式判断各个选项；【详解】对于A、B选项：由题意得：，半径为1，：，，半径为1，圆心距为，又点在圆上，点在圆上，，，故A错误，B正确；对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确；对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误；故选：BC．三、填空题（每题5分共15分）12.在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为______.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，直接求出关于坐标面对称点的坐标作答.【详解】点关于平面的对称点的坐标为.故答案为：13.如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为______.【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出向量,的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案.【详解】以A为原点，在平面内过点作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，在正三棱柱中，设，则，则，故，，设异面直线与所成角为，则，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.14.函数的最小值为________．【答案】【解析】【分析】将函数式变形为．问题转化为在x轴上求一点到和两点的距离之和的最小值．【详解】解：由已知表示与点两点间的距离，求函数的最小值，只需求取关于x轴的对称点，则此时的值即为函数的最小值，．故答案为【点睛】本题重点考查函数最值，解题的关键是转化为其几何意义表示到和两点间的距离的和，属于中档题．四、解答题15.已知向量，．（1）若，试求实数x，y的值；（2）若，且x，y均为正数，试求xy的最大值．【答案】（1）x=-4，y=-1；（2）1【解析】【分析】（1）利用向量平行的条件列方程即可解得；（2）利用向量垂直可得，利用基本不等式求最值.【小问1详解】因为向量，所以.又向量，，所以，解得：.因此x=-4，y=-1；【小问2详解】因为向量，所以.又向量，，所以，.因为x，y均为正数，所以当且仅当，即时取等号.所以所以，即xy的最大值为1.16.分别求满足下列条件的直线的方程：（1）直线过点，且与轴和直线围成的三角形的面积为2，求直线的方程．（2）直线的倾斜角为，另一直线的倾斜角，且过点，求的点斜式方程；（3）直线过点，当原点到直线的距离最大时，求直线的方程．【答案】（1）或（2）（3）【解析】【分析】（1）分直线斜率存在与不存在两种情况，根据直线与坐标轴围成三角形面积来确定直线方程；（2）根据直线倾斜角与斜率的关系求出直线斜率，进而得到直线方程；（3）依据两直线垂直斜率之积为-1求出直线斜率，从而得出直线方程.【小问1详解】当直线的斜率不存在时，的方程为，经检验符合题目的要求．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即．令得，，由三角形的面积为2，得．解得．可得直线的方程为，综上可知，直线的方程为或．即或．【小问2详解】由题意得：，又由，所以，故，所以的斜率为，的点斜式方程为；即．【小问3详解】由题意知，，，所以直线的斜率，所以直线的方程为：，即．17.已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】根据圆心在弦的中垂线上，也在直线上求解可得圆心，进而求得半径即可得圆的方程；先讨论直线l斜率不存在时，再设直线l的点斜式，根据垂径定理求解即可.【小问1详解】由题意圆心在弦的中垂线上，又中点，，则弦的中垂线斜率，故中垂线方程：，即，联立可得，，即，故圆的半径.故圆的方程：【小问2详解】当直线斜率不存在时，直线l与圆不相交；当直线斜率存在时，设方程，因为直线l截圆C所得的弦长为2，故圆心到的距离.则到的距离，则，即，解得或.故方程，即或.18.如图所示，在正四棱柱中，侧棱，底面边长，E，F分别为棱，的中点．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面间的距离．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法可得，，从而可得线面平行，进而可得面面平行；（2）求得平面的一个法向量，利用向量法可求得到平面的距离，即为两平面间的距离.小问1详解】如图，以D为原点，分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，所以，，所以，所以．又因为平面，平面，所以平面．又因为，，所以，所以．又因为平面，平面，所以平面．因为，平面，所以平面平面．【小问2详解】由（1）可知平面与平面间的距离等于到平面的距离，设平面的法向量为，由，得，得，令，得．又，所以到平面的距离，所以平面与平面间的距离为．19.已知，为上三点.（1）求的值；（2）若直线过点(0，2)，求面积的最大值；（3）若为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）定值为：.【解析】【分析】（1）由