湘教版七年级数学下册第二章实数教学课件

2.1平方根湘教版七年级数学下册第二章实数逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2平方根及其性质算术平方根及其性质无理数算术平方根的估算知识点平方根及其性质感悟新知11.平方根的定义：如果有一个数r，使得r2=a，那么r叫作a

的一个平方根，也叫作二次方根.这就是说，若r2=a，则r

是a

的一个平方根.表示方法：正数a的平方根记作±a

，读作“正、负根号a”.知1－练感悟新知2.平方根的性质：(1)正数有两个平方根，且它们互为相反数；(2)0的平方根就是0本身；(3)负数没有平方根.3.开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.这个非负数叫作被开方数.知1－练特别解读1.平方根的定义中a是非负数，即a≥0.2.平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，而开平方的结果叫做平方根.3.一般地，如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r.知1－练感悟新知

例1解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的数，然后根据平方根和算术平方根的定义确定.题型1利用平方根的定义求一个正数的平方根知1－练感悟新知

带分数要先化成假分数，再求平方根.知1－练感悟新知

知1－练

知1－练感悟新知

例2

题型2利用平方根的定义解方程知1－练感悟新知

知1－练感悟新知

知1－练感悟新知方法点拨利用平方根的定义解方程的一般步骤：1.移项，使含未知数的项在等号的一边，常数项在等号的另一边；2.系数化为1，将方程化为“x2=a”的形式；3.根据平方根的性质求出未知数x的值.知1－练感悟新知(1)若a+1和a+3是正数m

的平方根，求m的值；(2)已知2a+3的平方根是±3，5a+2b-1的平方根是±4，求3a+2b

的平方根.解题秘方：根据平方根的性质列方程（组）求解.例3题型3利用平方根的性质求字母的值知1－练解：(1)因为a+1和a+3是正数m

的平方根，且a+1≠a+3,所以a+1+a+3=0，解得a=-2.所以a+1=-1，a+3=1.因为1和-1是1的平方根，所以m=1.知1－练

知1－练解法提醒一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数.知1－练知识点算术平方根及其性质感悟新知2

知2－练感悟新知特别提醒●求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方刚好是互逆的两个运算；●任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根时，被开方数必须是非负数，算术平方根也一定是非负数.▲▲知2－练感悟新知2.性质：(1)正数的算术平方根是一个正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；(4)被开方数越大，对应的算术平方根也越大.知2－练感悟新知3.平方根与算术平方根的区别与联系：平方根算术平方根区别定义不同如果有一个数r，使得r2=a，那么r

叫作a

的一个平方根，也叫作二次方根正数a

的正平方根叫作a的算术平方根个数不同一个正数的平方根有两个，它们互为相反数一个正数的算术平方根只有一个感悟新知平方根算术平方根区别表示方法不同取值范围不同正数的平方根是一正一负正数的算术平方根一定是正数知2－练感悟新知平方根算术平方根联系具有包含关系平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0除外)存在条件相同只有非负数才有平方根和算术平方根，0的平方根与算术平方根都是0知2－练感悟新知

a(a

≥0)，－a(a

＜0).知2－练感悟新知

区别运算顺序先开方再求平方先求平方再开方a

的取值围a≥0全体数联系知2－练感悟新知

例4解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的非负数，然后根据算术平方根的定义求出算术平方根.考向：利用算术平方根的定义及性质解决问题题型1求一个数的算术平方根知2－练知识储备1.求带分数的算术平方根时，先将带分数化成假分数，再求算术平方根.2.求一个数的算术平方根必须明确两点：(1)这个数是非负数；(2)求出的算术平方根（结果）必须是非负数.知2－练感悟新知

知2－练感悟新知

知2－练感悟新知(6)0的算术平方根是0，即0=0.

不要误认为是求81的算术平方根.知2－练

知2－练方法点拨本题运用了定义法.首先根据算术平方根的定义求出m，n的值，再求出m-n

的值，最后根据算术平方根的定义得出结果.知2－练感悟新知

解题秘方：根据已知条件求出m，n

的值，然后求m-n

的算术平方根.例5题型2已知一个数的算术平方根求这个数知2－练感悟新知

知2－练感悟新知

解题秘方：首先观察式子的结构特点，弄清式子所表示的意义，即要明确是求算术平方根还是求平方根，然后根据算术平方根或平方根的定义求解.例6题型3利用平方根或算术平方根的定义求值知2－练

知2－练

知2－练

412-402

是一个整体，首先要将412-402

化简，再去计算化简后结果的算术平方根.知2－练知识点无理数感悟新知31.定义：若一个数是一个无限不循环小数或可以表示成一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数.判断标准：小数位数无限，小数部分的数字不循环.知3－练感悟新知

知3－练

知3－练3.无理数与有理数的区别(1)有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数；(2)所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式.知3－练感悟新知

解题秘方：根据无理数的定义进行辨析.例7考向：利用无理数的定义识别无理数知3－练感悟新知

知3－练感悟新知由于0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）是无限不循环小数，因此0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）是无理数.因此无理数有3个.答案：3知3－练知识点算术平方根的估算感悟新知41.求一个正数(非平方数)的算术平方根的近似值，一般采用夹逼法.“夹”就是从两边确定取值范围；“逼”就是一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度.•••知4－练感悟新知2.大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).按键顺序：先按键，再输入被开方数，最后按

键.计算器上就会显示这个数的算术平方根(或其近似值).知4－练感悟新知特别解读计算器显示屏显示的数值中，许多都是近似值.知4－练感悟新知

例8解题秘方：找出与2026接近的两个平方数，从而确定2026的算术平方根的取值范围.考向：利用估算解决算术平方根问题题型1利用估算法求算术平方根的取值范围知4－练感悟新知

答案：D知4－练

知4－练感悟新知

例9题型2利用计算器探究算术平方根的规律解题秘方：可利用计算器求出各个算术平方根，对照根号内的数和算术平方根寻找小数点移动的规律.知4－练感悟新知知4－练解：利用计算器探究发现：根号内的数的小数点每向左（或向右）移动两位，其算术平方根的小数点就相应地向左（或向右）移动一位.答案：(1)0.2676；26.76

(2)0.8462；84.62规律点拨对于此类规律探究题，要从两个方面进行比较：第一，把根号内的数进行比较；第二，把它们的结果进行比较，从中发现规律.知4－练平方根平方根算术平方根性质正数有两个互为相反数的平方根0的平方根是0负数没有平方根2.2立方根第二章实数逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2立方根立方根的性质用计算器求一个数的立方根知识点立方根知1－讲感悟新知11.定义：如果有一个数b，使得b3=a，那么b

叫作a

的一个立方根，也叫作三次方根.表示方法：a的立方根记作a

3

，读作“立方根号a”或“三次根号a”..知1－讲感悟新知

••

••

••感悟新知知1－练

例1解题秘方：利用立方根的定义求解.

考向：利用立方根的定义解题题型1利用立方根的定义求立方根感悟新知知1－练

先化成假分数，再求立方根.

知1－练特别解读：开立方与立方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的立方根.感悟新知感悟新知知1－练[月考·衡阳蒸湘区]已知5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，求ab

的平方根.解题秘方：一个数等于它的算术平方根的平方，一个数等于它的立方根的立方.例2题型2利用立方根的定义求值感悟新知知1－练

思路点拨：根据立方根和算术平方根的定义列出关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，再根据平方根的定义求出ab

的平方根．感悟新知知识点立方根的性质知2－讲感悟新知2

•••

••知2－讲感悟新知2.平方根与立方根的比较：平方根立方根区别定义如果有一个数r，使得r2=a，那么r

叫作a

的一个平方根，也叫作二次方根如果有一个数b，使得b3=a，那么b

叫作a

的一个立方根，也叫作三次方根性质正数有两个平方根，它们互为相反数正数有一个立方根，仍为正数负数没有平方根负数有一个立方根，仍为负数知2－讲感悟新知平方根立方根区别表示方法联系①开平方与开立方都与相应的乘方运算互为逆运算②0的平方根和立方根都是0感悟新知知2－练

例3考向：利用立方根的性质解题题型1利用立方根的性质计算感悟新知知2－练

解题秘方：根据立方根的性质进行化简计算.

先化成假分数，再开平方.感悟新知知2－练解法提醒进行开平方或开立方运算时，若根号内不是单独的一个数，则需先化简，再进行运算.感悟新知知2－练

解题秘方：根据两个数的立方根互为相反数，则这两个数互为相反数求解.例4题型2利用立方根的性质求字母的值感悟新知知2－练

感悟新知知2－练知识储备正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.互为相反数的两个数的立方根互为相反数.知识点用计算器求一个数的立方根知3－讲感悟新知3用计算器可以求一个数的立方根或它的近似值，按键顺序为先按键，再按数字键，最后按

键，根据显示结果写出立方根或它的近似值.知3－讲感悟新知特别警示不同型号的计算器按键的顺序可能不同，使用计算器时，一定要按说明书操作.感悟新知知3－练[母题教材P36例2、例3]用计算器求下列各数的立方根：(1)216；(2)100(结果精确到0.01)；(3)-13.27

(结果精确到0.001).解题秘方：根据用计算器求立方根的步骤进行按键操作.例5考向：利用计算器求立方根题型1利用计算器求立方根感悟新知知3－练

知3－练

感悟新知感悟新知知3－练解法提醒利用互为相反数的两个数的立方根互为相反数这一关系，可以在求一个负数的立方根时，用计算器先求这个负数的绝对值的立方根，再在这个负数的绝对值的立方根前面加负号，从而得这个负数的立方根.感悟新知知3－练

解题秘方：可以用计算器求出各个数的近似值进行比较，也可以借助中间值进行比较，还可以用立方法进行比较，根据实际情况采用适当的方法即可.例6题型2用适当的方法比较大小感悟新知知3－练

感悟新知知3－练

立方根立方根定义性质正数的立方根是正数0的立方根是0负数的立方根是负数2.3实数第二章实数逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2实数实数与数轴实数的性质实数的运算知识点实数知1－讲感悟新知11.定义：有理数和无理数统称实数.在实数范围内，一个数不是有理数，那么它一定是无理数，反之亦成立.感悟新知2.分类：(1)按定义分类：有限小数或无限循环小数.无限不循环小数.知1－讲感悟新知(2)按性质分类：0既不是正实数，也不是负实数.知1－讲感悟新知特别解读1.实数的分类有不同的方法，但不论用哪一种分类的方法，都要按同一标准，做到不重复不遗漏.2.对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类.不能看到带根号的数，就认为是无理数，也不能看到有分数线的数，就认为是有理数.知1－讲感悟新知

例1考向：利用实数中各类数的特征进行分类知1－讲感悟新知有理数：{…}；无理数：{…}；分数：{…}；负实数：{…}.

知1－讲感悟新知解：有理数：{③④⑤⑦⑧…}；无理数：{①②⑥⑨⑩…}；分数：{③⑦⑧…}；负实数：{②⑤⑥⑧⑩…}.知1－讲解法提醒判断一个实数的类别（如有理数、无理数）应遵循：一化简，二辨析，三判断.所有的有理数都可以化成有限小数或无限循环小数，而无理数只能化成无限不循环小数．知1－讲知识点实数与数轴感悟新知21.实数与数轴上的点的关系：实数和数轴上的点一一对应.••

•••特别提醒1.在数轴上表示无理数时，一般只能通过估算标出其对应点的大致位置.2.借助数轴上的点可以把实数直观地表示出来，数轴上的任意一点表示的数，不是有理数就是无理数.知2－讲感悟新知(1)“一一对应”包含着两层含义：①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；②数轴上的每一个点都表示一个实数.(2)数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示.即若点A，点B

在数轴上表示的数为x1，x2，则AB=|x1－x2|.知2－讲感悟新知2.利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.•••••知2－讲感悟新知

解题秘方：比较一组实数的大小和比较一组有理数的大小一样，可先将这些数在数轴上表示出来，然后根据“在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”进行比较.例2考向：利用数轴比较实数的大小知2－讲感悟新知解：将表示各数的点的大致位置在数轴上表示出来，如图2.3-1所示.

知2－讲方法点拨根据“实数和数轴上的点一一对应”，并且“在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”，我们可以利用数形结合思想比较实数的大小.知2－讲感悟新知知识点实数的性质感悟新知3

知3－讲感悟新知

知3－讲特别提醒1.在有理数范围内的一些基本概念(如相反数、倒数、绝对值)和性质在实数范围内依然适用.2.对实数的有关概念进行辨析时，错误的说法只需举一个反例即可.感悟新知知3－讲感悟新知

解题秘方：利用实数的性质求相反数、倒数和绝对值.例3考向：利用实数的性质解决相关问题知3－讲感悟新知

感悟新知特别提醒1.求一个数的相反数，就是在这个数前面添上“-”.2.求一个数的绝对值时，首先要判断所求数的符号，然后根据“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0”写出这个数的绝对值.知3－讲知识点实数的运算感悟新知41.在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里面的.知4－讲感悟新知2.实数的运算律：(1)加法交换律：a＋b=b＋a；(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)；(3)乘法交换律：ab=ba；(4)乘法结合律：(ab)c=a(bc)；(5)乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ab+ac；知4－讲感悟新知

知4－讲感悟新知

知4－讲感悟新知4.实数也可以比较大小，对于实数a，b：若a-b>0，则称a大于b(或者b

小于a)，记作a>b

(或b<a)