数学-广东佛山南海中学2024-2025学年高二下学期3月月考试题+答案

1.若物体的运动方程是s=t³+t²-1,t=3时物体的瞬时速度是()A.33B.31C.39在点(3,f(3))处2.设f(x)为可导函数，且满足,则在点(3,f(3))处A.6B.2C.3D.A.1B.-14.函数在[-π,π]上的图象大致为()oo元oo5.f(x)=(x+2)(x²+x+m)在R上既有极大值也有极小值，实数m的取值范围是()A.(-o,1)B.[-0,1]C.(1,o)6.下列四个不等式①Inx<x<e*,②e*-¹≥x,③lnx≥x-1,④xlnx≥x-1中正确的个数A.1B.2恰有一个交点，则α=()试卷第1页，共4页8.2160的不同正因数个数为()9.下列求导正确的是()A.(sinx)'=cosxBA.x=2是f(x)的极小值点B.当0<x<1时，0<f(2x+1)≤412.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取2种不同类型的书各1本，不同的取法有种.(1)求证：{a-2"}是等比数列.18.已知函(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若恒成立，求正实数a的取值范围.在x=0处取得极值不等式)都成立.试卷第4页，共4页123456789AAAAACDB【详解】物体的运动方程是s=t³+t²-1,则v=s'=3t²+2t.【点睛】本题考查了导数的物理意义和导数的计算，属于简单题.【分析】根据导数的定义，结合导数的几何意义求解即可.即故f'(3)=6,即曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线的斜率是6.解.【详解】由于函数f(x)=f(1)·x²-Inx,代入x=1,可得：f'(1)=2f'(1)-1,解得：f'(1)=1,【分析】根据函数的性质，判断函数图象的形状.【详解】因为所以函数f(x)为偶函数，图象关于V轴对称答案第1页，共11页设h(x)=x-sinx,x∈[0,π],则h'(x)=1-cosx≥0,即△=36-12(m+2)>0,解得m<1.对于①:当x>0时e*>x+1>x>x-1≥Inx,所以Inx<x<e*,故①正确；对于②:因为e≥x+1(当且仅当x=0时取等号故②正确；对于③:Inx≤x-1(当且仅当x=1时取等号),故③错误；对于④:令h(x)=xlnx-x+1,x∈(0,+0),则h(x)=Inx,的零点只能为0,即可得a=2,并代入检验即可.令F(x)=ax²+a-1,G(x)=cosx,若a=2,令F(x)=G(x),可得2x²+1-cosx=0因为x∈(-1,1),则2x²≥0因为h(-x)=a(-x)²+a-1-cos(-x)=ax²+a-1-cosx=h(x),根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0,即h(0)=a-2=0,解得α=2,又因为2x²≥0,1-cosx≥0当且仅当x=0时即h(x)有且仅有一个零点0,所以a=2符合题意；【分析】根据2160转化为因式乘积分类计算正因数个数即可.【详解】2160=3³×2⁴×5,所以2160的不同正因数个数为：2,3,5,6,8,9,10,15,16,12,20,30,18,27,45,24,40,60,90,36,54,135,48,80,120,180,72,10144,240,360,540,216,810,216,720,108共40个.【分析】根据基本初等函数的导数公式，导数的运算法则以及复合函数求导公式运算即可.【详解】根据基本初等函数的导数公式有：(sinx)'=cosx,A正确；根据复合函数求导公式：(e²)=2e²ˣ,B错误；答案第4页，共11页-(x+1)(x-2)²=-(x+1)(x²-4x+4=Fx³+4x²-4x)k²f(2x+1)=3(2x+1)²-(2x+1)³=3(4x²+4x+1)-=-8x³+6x+2>-8x³+6x+2x=8x-8x³=8x(1-x²)=8x(1-3+x(1-x)+x(1-x)(1+x)>3+0+0=3>0f(x)-f(x²)=(3x²-x³)-(3x⁴-x⁶)=(3x²-3x⁴)-(x³-x⁶)=3=3x²(1-x)(1+x)-x³(-x)(+x+x²F=x²(-x)β(+x=x²(1-x)(3+3x-x-x²-x³)=x²(1-)(3+2x-x²-x)=x(1-)(3+x=x²(1-x)(3+x(1-x)+x(1-x²)=x²Q-x)β+x(-x+x【-x)【+x)#0,f(1-x)-f(x)=(3(1-x)²-(1-x=(3x²-6x+3-1+3x-3x²+x³)-(=2x³-3x²-3x+2=(2x³+2x²)-(5x²+5x=(x+1)(2x²-5x+2)=(x+1)(2x-1)(所以f(x)<f(1-x),故D正确.【详解】令x=0,得f(0)=1.对f(x)求导，15.(1)单调递增区间为(-,0)和(2,+0),单调递减区间为(0,2).(2)最大值为2,最小值为-18.增区间为(-,0)和(2,+),单调递减区间为(0,2).(2)由(1)知，x,f(x),f'(x)的变化情况如下表：x02+0 0个↓f(-2)=(-2)³-3×(-2)²+2=-18,所以函数f(x)在[-2,2]上的最大值为2,最小值为-18.16.(1)证明见解析；【分析】(1)由a+=-a+3.2",化简得到,结合等比数列的定义，即可求(2)由(1)求得a=(-1)"+2",分当n为偶数和当n为奇数，两种情况讨论，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】(1)由题意，数列{a,}满足a++a=3.2”,即a+1=-a+3·2”,所以数列{a-2”}表示首项为-1,公比为-1的等比数列.所以S=2¹+2²+…+2"+(-1)+1+…+(-1)",当n为偶数时，可得当n为奇数时，可得综上可得，17.(1)证明见解析【分析】(1)先证出AD⊥平面PAB,即可得AD⊥AB,由勾股定理逆定理可得BC⊥AB,从而AD//BC,再根据线面平行的判定定理即可证出；(2)过点D作DEIAC于E,再过点E作EF⊥CP于F,连接DF,根据三垂线法可知，∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角，即可求得tan∠DFE=√6,再分别用AD的长度表示出DE,EF,即可解方程求出AD.【详解】(1)(1)因为PA⊥平面ABCD,而ADc平面ABCD,所以PA⊥AD,又AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PAC平面PAB,所以AD⊥平面PAB,答案第8页，共11页而ABc平面PAB,所以ADIAB.又AD女平面PBC,BCc平面PBC,所以AD//平面PBC.(2)如图所示，过点D作DEIAC于E,再过点E作EF⊥CP于F,连接DF,因为PA⊥平面ABCD,所以平面PAC⊥平面ABCD,而平面PAC∩平面ABCD=AC,所以DE⊥平面PAC,又EF⊥CP,所以CP⊥平面DEF,因为AD因为AD⊥DC,设AD=x,则CD=√4-x²,18.(1)答案见解析；(2)0<a<1.【分析】(1)利用导数，并讨论a≤0、a>0研究f'(x)的符号，进而判断f(x)的单调性；(2)将问题转化g(x)m>0时a的范围即可答案第9页，共11页(0,a)上单调递减；综上，a≤0时f(x)在(0,+o)上单调递增；a>0时f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+o)上单调递增；(2)由题设，,即恒成立，g(a)=-alna+a(1-a)=a(l-a-Ina)>0即可.若h(a)=1-a-Ina,则,即h(a)在a>0上递减，又h(1)=0,∴正实数a的范围为0<a<1.【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为恒成立，并构造函数并应用导