2024年上海市16区中考二模数学分类汇编 专题10 图形的变化42题（相似、锐角三角比）（详解版）

专题10图形的变化42题（相似、锐角三角比）（16区二模新题速递）（解析版）

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一、单选题

1.（2024•上海浦东新•二模）如图，在中，ZACB=90°,AC=4,8C=3.点。在边人8上，且变=1,

AD3

。石〃BC交边4c于点七，那么以E为圆心，EC为半径的一七和以D为圆心，8。为半径的。的位置关系是（）

4

A.外离B.外切C.相交D.内含

【答案】B

【分析】本题考查的是两圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解/m=5,

再证明求解8。=；,CE=AC-A£=l,再结合两圆的位置关系可得答案.

【详解】解：VZ4CB=90°,AC=4,BC=3,

••AB=ylAC2+BC2=5»

..BD1

.而二3'

・・・坦一，BD=>,

AB44

♦:DE〃BC,

・••AADE^>/\ABC,

•.•DE=-3=AE,

344

9

：.DE=-fAE=3,

CE=AC-AE=\,

59

CE+BD=l+—=-=DE,

44

・••以E为圆心，EC为半径的〔E和以。为圆心，8。为半径的。的位置关系是外切.

故选B

2.（23-24九年级下•上海宝山•期中）如图，ABC中，ZC=90°,AB=5,tan^=l如果以点。为圆心，半径

为欠的M与线段八3有两个交点，那么M的半径R的取值范围是（）

c

A.2<R<yf5B.2<R<>/5

C.>/5</?<2>/5D.0<R<45

【答案】A

【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系.根据直线与圆的位置关系得出相切时只有一交点，经过点A时有两

个交点，再结合图形即可得出答案.

【详解】解：・・・tanB=；,

.ACI

••---=—,

BC2

设AC=a,则8C=2a,

由勾股定理得AC2+BC2=AB2,即炉+（2。）’=52,

解得a=书>

:•AC=&BC=2加,

・…ACxBCx/5x25/5今

••CD=-------=--------------=2,

AB5

,如果以点C为圆心，半径为R的。与线段AB有两个交点，那么。的半径式的取值范围是2<RV石，

故选：A.

3.（2024・上海黄浦•二模）小明在研究楞形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形.他

先从等接梯形开始进行探究，得到下面两个结论.结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两

个相似的图形：结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形.对这两个结论，你认为

()

A.结论1、结论2都正确B.结论1正确、结论2不正确:

C.结论1不正确、结论2正确D.结论1、结论2都不正确.

【答案】B

【分析】本题主要考查图形的相似和垂直平分线的性质，分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两

腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误.

【详解】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确;

如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确;

故选：B.

4.（2024•上海普陀•二模）如图，在.ABC中，ZACB=90°,G是ABC的重心，点。在边8c上，DG1GC,如

那么累的值是（

果8。=5,CD=3,）

A&V2

DB.----

23"TD・乎

【答案】D

FGFF1

【分析】本题考查了三角形重心的性质,相似三角形的性质与判定，余弦的定义：根据题意得出黑二三=：,

COAC2

设EG=。，则CG=2a,CE=3a,进而根据85/。。6=85/改尸得出〃=0,即可求解.

【详解】解：如图所不，延长CG交/归十点E,连接AG交C8于点F,

•••G是A8C的重心，点。在边8c上,

/.AE=EB,BF=FC=；BC=；（BD+CD）=4,

:.EF//AC

/.GEF^GAC

.EGEF\

^CG~AC~2

设EG=a,则CG=2a,CE=3a,

VEF//AC,ZACB=90°

J.EF1BC,

cosZ.DCG=cos乙ECF，即——=—

CGEC

•.3•---3-a-

2a4

解得：a=g（负值舍去）

:.CG=2a=2厄

.CG2yf2y/2

••--=----=---,

BC84

故选：D.

5.（2024・上海嘉定•二模）在中，AB=AC=S,cosZB=以点C为圆心，半径为6的圆记作圆C,那么

4

下列说法正确的是（）

A.点A在圆C外，点/?在圆C上；B.点A在圆C上，点4在圆C内；

C.点A在圆C外，点“在圆。内；D.点A、A都在圆C外.

【答案】C

【分析】本题考查了解直角三角形，点与圆的位置关系，等腰三角形的性质，掌握解直角三角形和会判断点与圆的

位置关系是解决问题的关键.由解直用三角形求出m=2,由等腰二角形的性质求出3c=4,即可判断出点6和点

A与CC的位置关系，即可得出答案.

【详解】解：如图，过点A作AO_Z.BC广点。，如图所示：

VAB=AC=S,cosZB=-,

4

/.HD=ABxcosB=Sx-=2

4t

VAB=AC,ADJ.BC,

・••BC=2BD=4,

•・•C的半径为6,

V4<6<8,

，点A在圆。外，点8在圆C内；

故选：C.

6.（2024・上海青浦・二模）如图，在平行四边形A8C。中，对角线AC、40相交于点O,过。作AC的垂线交4。于

点瓦EC与BD相交于点凡且NECD=NDBC,那么下列结论错误的是（）

A.EA=ECB./DOC=NDCOC.BD=4DFD.—=—

CEB卜

【答案】D

【分析】由题意可知，。月垂直平分AC，则E4="，可判断A的正误；由ZDAO=ZEC4,ZAIX)=/DBC=/ECD,

ZDOC=ZDAO4-ZADO,4DCO=4ECA+4ECD,可得ND0C=NDC0,可判断B的正误；证明一/DCs.cDB,

—BD

则芸=皆，即名一二。，可得加＞=4。「，进而可判断C的正误；证明Q/SEC"可得£|=与二段，

CDBD]BDBDCECDBF

2

进而可判断D的正误.

【详解】解：•・•平行四边形A8CO,

：.OA=OC,OB=OD」BD,AD〃BC,

2

又TOESAC,

••・OE垂直平分AC,

EA=EC,A正确，故不符合要求；

/.ZDAO=ZECA,

■:AD//BC.

：,ZAI)O=NDBC=NECD,

/.NDOC=ZDAO+ZADO,

又,:/DCO=/ECA+/ECD,

：,ZD0C=ZDC(),B正确，故不符合要求：

：.CD=OD=-BD

2t

,/ZFCD-ZCBD,NFDC-NCDB,

・•...FDCsCDB,

二空乌即产上上BD，

CDBD1BD

—DQUn

2

解得，BD=4DF,C正确，故不符合要求;

,?AD〃BC,

/.ZBCF=ZCED,

又,:4CBF=/ECD,

EFsECD.

.BCBFCD_...

..—=—*D错误，故符合要求P；

CECDBF

故选：D.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等角对等边，相似三角形的判定

与性质,熟练掌握平行四边形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等角对等边，相似三角形的判定与

性质是解题的关键.

二、填空题

7.（2024・上海徐汇•二模）小杰沿着坡比i=l:2.4的斜坡，从坡底向上步行了130米，那么他上升的高度是米.

【答案】50

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握坡比的定义.设坡度的高为x米，根据勾股定理列方

程求解.

【详解】解：设坡度的高为x米，则水平距离为2.4x米，

.・V+(2.4x『=130,

解得：x=50,

故答案为：50.

8.（2024・上海青浦・二模）如图，热气球的探测器显示，从热气球4处看一桥楼顶部8的仰角为。，看这株楼底部

C的俯第为热气球A处与楼的水平距离为加米，那么这栋楼8C的高度为米.（用含。、£、〃?的式子表

示）

【答案】w(tana+tan/?)

【分析】本题考查了解直角三角形的仰角俯角问题，首先过点A作于点。，根据题意得=

“AC=。,AO=利米，然后利用三角函数求解即可求得答案.

【详解】解：首先过点A作A。/8c于点D,如下图所示，

则N84D=a,4DAC=0,=米，

在RtAABD中，BD=AO・tana=〃”tana米，

在RtAACD中，DC=AO・tan[i=//Man。'米,

/.BC=BD+DC="Mana+nf!(man米.

故答案为：“（lana+um/）

9.（2024.上海长宁•二模）如图，正方形438中，点E在对角线比＞上，点尸在边CO上（点尸不与点C重合）,

CF

且NE4/=45。，那么大的值为.

【答案】叵

【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质

是解题的关键.根据正方形的性质及勾股定理得AC=NAB?+BC?=&AB，再证明/班》“〃，利用相似三角

形的性质即可得解.

【详解】解：•・•四边形A3CD是正方形，

：•NABE=NBAC=NACF=45。,AB=BC,/A4C=90°,

•••AC=dAB'+BC?=垃AB，

■:ZE4F=45°,

ZEAC=^CAE+ZEAC=45°,

JZBAE=ZCAE,

:._ABEs_ACF,

,CFAC6ABr-

••==--------=7L，

BEABAB

故答案为：0.

10.(2024.上海静安•二模)如图，在平面直角坐标系中，已知直线4与直线〃交于点C(O,1),它们的夹角为90。.直

线4交x负半轴于点A,直线4与x正半轴交于点8(2,0),那么点A的坐标是.

【分析】本题考查了两直线相交的问题，点的坐标，相似三角形的判定与性质.根据已知条件证得.ACOsC8O,

再根据相似三角形的性质即可求出A。的长，从而得出点A的坐标.

【详解】解：ZACB=90°,

.­.ZGW+ZABC=9O°,

.“轴_Ly轴，

.•.NCOA=NCO8=90。，

.•.NC4S+NACO=90°,

/.ZABC=ZACO,

..△AC件△C8O,

.COAO

CO)

•・•点C(0,l),点5(2,0),

:.co=],BO=2,

.1AO

,5=T,

AO=-

2f

•点A在x轴的负半轴，

点A的坐标是(-5,o),

故答案为：(一；，0)

11.(2024•上海黄浦•二模)如图，。、E分别是.ABC边AB、AC上点，满足AD=2BD,ZADE=NABC.记8A=a，

BC=b，那么向量BE=(用向量。、力表示).

【分析】本题主要考查了平行线的判定，相似三角形的判定以及性质，向量的知识.由=判定出

2

DE//BC,由平行线的得出AE=§AC,再根据向量得知识即可得出8E.

【详解】解：♦：NADE=NABC,

：.DE//BC,

：.△ADEABC,

,:AD=2BD,

,AE=2EC,

9

AE=-AC,

3

0O1o

，I3E=BA+AE=BA+-AC=BA+-（A13+BC}=-BA+-BCt

33、f33

*.*BA=aBC=b

\2

BE=—£7-1—b,

33

12

故答案为：+

33

BE2

12.（2024•上海普陀•二模）如图，梯形ABCD中，AO〃8C,过点A作AE〃OC分别交、8C于点八E,康二§,

设AQ=a，AB=b，那么向量所用向量a、〃表示为.

【答案】+4+$2

【分析】本题考查了平行四边形的判定，相似三角形的性质与判定，平面向量的线性运算，先证明四边形A£C。是

REBF22

平行四边形，根据已知得出笠=笠=;,进而证明，EATSEEB得出8/=彳8。，BE=2AD,进而根据三角形

ECAD13

法则，进行计算即可求解.

【详解】解：•・•AD〃BC,AE//DC

・•・四边形AECO是平行四边形，

EC=AD,

BE2

BC=3

BEBE2

~EC~~AD~~\

AD/7BC,

二FAD^FEB,

BFRF2

——=——=2,则/"'=—BD,BE=2AD

DFAD3

AD=a，AB=b，

BF=-/3D=-[l3A+AD)=-[-b+(i),BE=2a

333

FE=BE-BF=2a--(-b+a\=-a+-b

3、J33

4-2■

故答案为：铲+小

4

13.（2024•上海虹口•二模）如图，在YA8CQ中，AB=7,8c=8,sinB;点尸在边AB上，AP=2,以点尸为

圆心，”为半径作OP.点Q在边AC上，以点。为圆心，CQ为半径作CQ.如果CP和Q外切，那么C。的长

【分析】本题考查的是圆和圆的位置关系、解贪角三角形的知识，作P”_L8C于点”，连接P。，先求出

PH=4BH=3,设。。=〃，在R3QPH中，根据勾股定理列方程即可解决.

【详解】解：作P〃_LBC于点〃，连接

AB=1,AP=2,

4

在RtBPH中,sin5=-,

、PH4

\---=—,

55

\PH=4,«H=x/52-42=3»

设CQ=a,

QeP和。外切，。半径为2,

\FQ=u+2,

在RSQP〃中，PH=4,HQ=3-3-a=5-a,

/.42+（5-«）2=（d+2）2,

解得：〃二337，

14

37

故答案为：fy.

14

14.（2024・上海奉贤•二模）如图，正方形A8CO的边长为1,点P在4）延长线上（PO<C。），连接PRPC,如果

△COP与相似，那么tan/8B4=.

----------f

【答案】或」

2

【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角函数，设0P=x,利用两似三角形的性质可得与二坐，即：=—二，

ABPA1x+1

求出X,得到。尸=在里，再根据正切的定义计算即可求解，利用用似三角形的性质求得OP是解题的关键.

【详解】解:设OP=x,贝lJP4=x+l

•・•PDvCD,△COP与，以B相似,

.DPCD

ABPA

T=7id

"+1=0,

解得菁=士且，々=士且（不合，舍去）,

故答案为：避二L

2

15.（2024.上海嘉定•二模）定义：如果三角形有两个内角的差为90。，那么这样的三角形叫做准直角三角形.已知

在直角AACB中，NC=90。，AC=4,A8=12,如图4,如果点。在边4c上，且,4）8是准直角三角形，那么CZ）=—

A

【答案】血或2上.

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关

犍.分两种情况讨论，由相似三角形的性质和锐角三角函数可求解

【详解】当力A-/7MA=90。时，如图，过点。作于凡

在Rl中，ZfiC4=90°,AC=4,AB=\2,

・'・I3C=^ABZ-AC2=V122-42=872»

VZADB-Z.DAB=90°,ZADB=NDBC+NC=NDBC+90。,

JNDAB=/DBC,

又♦:DH工BA,DCYAC,

•••DH=DCt

...DHAC1

.sin8o===-,

BDAB3

••・DH=-BD=DC,

3

:.DC=-BC=2y/2,

4

当NAO8-N8=90。时，

VZ4DB-ZB=90°,NAO8=ND4C+NC=ND4C+90°,

・••NB=ZDAC,

又＜ZC=ZC,

••・MCD^ABCA,

.ACCD

・・---=-----，

BCAC

.4CD

**872-V*

ACD=V2，

综上所述：CD=20或

16.（23-24九年级下•上海崇明•期中）如图，点G是.58。的重心，8G的延长线交AC于点。，过点G作GE〃BC,

交AC干点E,贝IJ沁

【分析】此题主要考查二角形中线的性质和相似二角形的判定和性质的理解及运用.利用该定理时要注意建段之间

的对应关系.

由点G是ABC重心，得出是，ABC的4c边上的中线，确定S皿=S=^S八.，襄=；,再由相似三角形

2HDJ

S1

的判定和性质得出产=6,即可求解.

»DBC,

【详解】解：•・•点G是二A8C重心，

・・・3。是aABC的AC边上的中线，整=],

BD3

SAD£=SBDC=2ADC，

•:GE〃BC,

JDEGsDBC,

DG

.SDEG=(\2=BD-BG2=£

(f

,,SDBC'BD)-BD~9

S^DGE_J.

S^ABD9

・•♦故答案为：

AC

17.(2024・上海闵行•二模)如图，在二48c中，BC、4c上的中线A£、/比＞相交于点R如果NB4E=NC,那么旅

的值为.

【答案】也

3

An2

【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，先证明弁7=3,再证明

AH3

ATAn9RRRAAF

.ADFS-AHE,则%=当=:，证明AABES/XCBA,则会=矍=等，设BE=CE=k,则BC=2R,得

AEAH3BABCAC

rAF_AF_2

至=（负值舍去），进一步得到AE=^AC,则冠二及二=5,即可得到答案.

2——AC

【详解】解：过点£作EH〃班）于点”,

AC3

故答案为：立

3

18.（23-24九年级下.上海崇明•期中）已知在矩形A8CO中，A4=6,BC=4,将矩形ABC。绕点口旋转，A8的对

应边AB与边CD相交于点E,连接AC,当点E是CD中点时，tanZAZCD=.

【答案】I

【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角函数，过4作

4”_1。£＞于〃，过点后作所_1_八9于尸，可得四边形£7由。为矩形,得到8/=8=3,四=8C=4,进而得8E=5,

f

vitFHAP47iQ

A£=l,再证,得到筌=黑=芸，可得A，=,EH=；,得到C”=”,最后根据正切的

EFBFBE555

定义即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：如图，过4'作A'AZICO于“，过点石作EFJ.AR于/，则/A印?=/所7?=90°,

•・•四边形A8C。为矩形，

：・ZABC=/BCD=90。,AB=CD,AB//CD,

JZABC=/BCD=NEFB=90°,

.•.四边形EABC为矩形，

:・BF=CE,EF=BC=4f

•・•点E是CD中点，

BF=CE=-CD=3

2

BE=」EF?+3尸2=14?+32=5，

又由旋转可得，AfB=AB=6,

，A'E=A8-8石=6-5=1,

,/AB//CD,

・•・ZAEH=/EBF,

，^AEH^EBF,

.A!H_EHA!E

••百一而一旅，

即皿里J,

435

43

解得A77=q,EH",

JJ

2IR

:・CH=CE+EH=3+二=吆

55

4

・•・tanZArCD=—=4-=-,

C//189

5

故答案为：:.

4

19.（2024.上海普陀•二模）如图，在.ABC中，AB=AC=5,cosB=-,分别以点B、C为圆心，1为半径长作、

UC,/）为边AC上一点，将△人AD和03沿著AA翻折得到和广归'，点A的时应点为点*,A*与边AU相

交，如果"与SC外切，那么.

【答案】4-如或4+如

44

【分析】作AE_L8C,AF±irC,根据余弦的定义，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质，在RtZMBE中，得

至U酩，AK的长，NBAE=NCAE,由折叠的性质得到44。=NHA。，ABf=AB=5,由*与。外切，得到

B'C=2,在RtZXABN中得到tan/3'AF=",

12

当A9在N84C内部时，DE=AE./DAE=旦,BD=BE-DE,当A*在N84C外部时，

4

DE=AEtanZDA£=3x—=—,BD=BE+DE,

124

本题考查了，三角函数解直角三角形，等腰三角形三线合一，勾股定理，折叠的性质，圆与圆的位置关系，解题的

关键是：找到两种情况，分别求解.

【详解】解：过点A作交8C于点E,连接8'C,过点A作4产_L4'C,交B'C于点、F,

4

*.*AB=AC=5,cosB=-,

4______________

在RtAABf1中，BE=ABcosB=5x-=4,AEHAK-AE?=6-4。=3,

NBAE=NCAE,

由折叠的性质可得：ZBAD^ZB'AD,ABf=AB=5,

VAF^B'C,AB'=AC=5,

.\ZB,AF=ZCAF,B,F=-B,C

2

・・・夕与DC外切,

/.BfC=2,B,F=-B，C=-x2=\,

22

在Rt△丽中，Af2产=行，=2遥，噂=夫=率

当AZT在284。内部时,

ZB'AF=；ZB'AC=3(ZMC-NBA*)=J(2ZBAE-2ZBAD)=NBAE-Z13AD=/DAE,

/.tanZDAE=tanZB'AF=—,DE=AEtan/DAE=3x

12

，BD=BE-DE=4一旦,

4

当人9在284。外部时，

NB'A尸=g/8'AC=g(N8A&-8AC)=g(2NBAO_2N8AE)=N8AO—N8AE=NZM£,

/.tanNDAE=tanNB'AF=—,DE=AEtan/DAE=3x—=—,

12124

・••BD=BE+DE=4+—,

4

故答案为：4-如或4+如.

44

20.（23・24九年级下•上海宝山・期中）如图，边长分别为5,3,2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直

线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比率的比值为________

%

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，正方形的性质等知识，证明.ABCS'EDC,

5143

可求出AC=,AE,利用平行线分线段成比例可求出4G=AK=-AE,进而求出CG=AC-4G=启AE,

3

CK=AK-AC=—AE,然后证明一CK”S：CG/，根据相似三角形的性质求解即可.

【详解】解:如图,

根据题意，得AM=5,AN=8,AQ=10,DE=2,AB//FG//KH//DE,

丁AB//DE,

ABCsEDC»

.ACAB5

••----=-----=9

ECDE2

：.AC=-AECE=-AE

7f7f

■:MG"DE,

.AGAM1

9，~AE~~AD~2f

:.AG=-AE

2f

4

同理AK=-AE,

5

33

：.CG=AC-AG=—AE,CK=AK-AC=—AE,

1435

1AE

.CG_14_5

CK-3-2,

35

•・•FG/7KH,

:..CKHs-CGF,

・・金=竺丫=信丫=色，

S2yCG)\5)25

4

故答案为：

4J

21.(2024•上海浦东新•二模)定义：四边形A8C。中，点E在边A5上，连接。石、EC,如果DEC的面积是四边

形A8CO面积的一半，且，8EC的面积是VADE及△£><芯面积的比例中项，我们称点E是四边形A8CD的边AB上

的一个面积黄金分割点.

已知：如图，四边形ABC。是梯形，且AO〃8C,BOAD,如果点E是它的边A8上的一个面积黄金分割点，那

/BC5/十日

么F的值是.

AD

【分析】设SM°E=S，S«DE=S\,SBEC=S”结合题意可得：S=S\+S”S”S，，可得§2=11黄卯如图,

])K1

过七作EK〃A。交CD于K,过。作D"_L8C于〃，交EK于T,证明EM是ABN的中位线，同理可得：—=y,

证明£K是梯形中位线，可得DT=77f,从而可得答案.

【详解】解：设SM“E=S,S—=S\，SBEC=SZ,

••・结合题意可得：S=S、+S”S；=SS「

•••S；=S"S|+S2),

：.S^-StS2-S；=0t(s2>s.)

•cJ+逐cc_3+x/5

・・%=­--3］，3=---

如图，过E作EK〃A。交CD于K,过。作OH_L8C于”，交EK于T,

•・,AD/7BC,

/.AD/7EK//BC,DH1EK,

：,S=SDEK+SCEK=^EKx(DT+TH)=^EKxDH,

•?S阳/mm=AO+BC)xDH=2S=EKxDH,

・•・AD+BC=2EK,

过A作AN〃C。交EK于M,

・•・四边形ANCO,AMKD,MMTK是平行四边形，

/.AD=MK=NC,

,AD+BC=BN+2CN=2EM+2MK,

：.BN=2EM,

■:EK//BC,

:..AEMs工ABN,

.AMAEEM1

，EM是;.AftV的中位线,

同理可得：—=7*

，EK是梯形中位线,

/.DT=TH,

.BCS1+石

>■---=--2=------

AD£2

故答案为：匕1

2

【点睛】本题考查的是新定义的含义，三角形的中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的

解法，理解题意是解本题的关键.

三、解答题

22.（2024・上海黄浦•二模）如图，D是.ABC边AB上点,已知NBCO=NA,AD=5,BD=4.

（1）求边3C的长；

（2）如果△ACDs^CBD（点人。、。对应点。、B、D）,求NAC8的度数.

【答案】（1）6

（2）90°

【分析】本撅主要考杏了相似三角形的判定以及性质，勾股定理的逆定理等知识点.

（1）记明△BCOS^BAC,由相似的性质可得出生二黑，然后计算出K4,代入求值即可.

BABC

（2）由△ACOs^cW）得出。斤二加，由勾股定理的逆定理得出/CD3=90。，进一步得出/的=90。,

ZA+ZDC4=900由等量代换即可求出^DCA+ZBCD=90P,即/ACB的度数.

【详解】（1）解：・・・/8CQ=NA,ZB=ZB,

・•・4BCDs/\BAC,

,BCBD

••二g

BABC

BC2=BABD

VAD=5,80=4,

/.BA=AD+BD=9,

，BC?=BABD=9x4=36,

/.BC=6.

(2)'：AACDS^CBD,

.CDAD

••二9

BDCD

；•CD'A。=20，

V20+42=62,即8?+BD2=BC2

••.△BCD是直角三角形，且NC£>8=90。，

JZCZM=90°,

/.ZA+ZDC4=90°,

VZBCD=Z4,

/./DC4+/BC£>=90°,

即NACB=90。.

23.(2024.上海杨浦•一模)已知：如图，在梯形A8CO中，AD//BC,AB=CD,BD=BC,的平分线交AO

延长线于点E,交C。于点F.

(1)求证：四边形8CEO是菱形；

⑵连接AC交所于点G,如果求证：AB2=AGAC，

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)先证明。5=。£,可得DE=BC,结合DE〃BC,可得四边形。BCE是平行四边形，从而可得结论,

(2)如图，连接AC交M于点G,交BD于K,证明梯形A8CO是等腰梯形，证明NABG=NACB=45。，结合

ZBAG=ZCAB,可得△ABGs^ACB,再利用相似三角形的性质可得结论.

【详解】(1)证明：•・•AO〃8C,

/.ZAEB=NCBE,

•・•-03。的平分线交A。延长线于点E,交。。于点F.

/DBE=NCBE,

，ZAEB=^DBE,

•••DB=DE,

,:BD=BC,

/.DE=BC,而DE〃8C,

・•・四边形OACE是平行四边形，

,/DB=DE,

・•・四边形OBCE是菱形；

（2）如图，连接4C交M于点G,交BD于K,

•・•在梯形A8CD中，AD//BC,AB=CD,

・•.梯形ABC。是等腰梯形，

:・ZABC=/DCB,AC=BD,

:菱形BCE。，

：,BD//CE,BD=CE=DE,ADBC=/DEC,

/.AC=CE,/EDC=/ECD,

ACLCE.

・・・NC4E=NCE4=45。，AC1BD,

/.ZDBC=/DEC=ZACB=45°,/EDC=NECD=67.5°,

ZACD=90°-67.5°=22.5°,

ZABD=ZABC-45°=/DCB-45°=22.5°,

•；BE平分NDBC,

：.ZDBF=ZCBF=22.5°f

/.ZAfiG=ZACB=45°,

,?NE4G=NC44,

••・△ABGs^ACB,

,ABAG

••,

ACAB

/.AB-=AGAC.

【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定

与性质，掌握基本几何图形的性质是解本题的关键.

24.（2024•上海浦东新•二模）已知：如图，在菱形A5C。中，点石是边0c上的任意一点（不与点D、C重合），AE

交劝角线8。于忆过点E作EG〃8C交80于点G.

（1）求证：DF?=FGBF；

⑵当8DOF=24?£>£时，求证：AE1DC.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判断，菱形的性质;

⑴证明得至噂嘿，证明..―的得到/器，则可得黑嘴，即

DF2=FGBF：

（2）如图所示，连接AC交B。于-O,由菱形的性质得到4CJ_3D30=28,ADB=/CDB,则ZA8=90°,

证明空二空，进而证明△尸£>£；,即可得到/尸£D=NA°D=90。，即AE_LZX\

DFDE

【详解】（1）证明：•••四边形A8C。是菱形，

AAD/7BC,ABCD,

,:EG〃BC,

ADEG,

/.AADF^/\EGF,

.AFDF

''~EF~~FG'

'：ABCD,

:・ABFs^EDF,

.AFBF

•♦而一而‘

.DFBF

••元一而‘

，DF,=FGBF；

（2）证明：如图所示，连接4c交4D于O,

•・•四边形A8C。是菱形，

/.ACLBD,BD=2OD,ZADB=4CDB,

ZAOD=90°,

,/BDDF=2ADDE,

/.2ODDF=2ADDE,

.ADOP

''~DF~~DE'

又,：NADO=NFDE,

/.△ADQsAFDE、

・•・/FED=/AOD=90。,

：.AE1DC.

25.(2024・上海奉贤•二模)如图，在四边形48CZ)中，AB//DC,/B=ZADC,点E、尸分别在边人/、8c上,

且ZADE=NCDF.

(1)求证：CFCB=AEAB；

(2)连接AC.EF,如果所〃AC,求证：四边形A8CD是菱形.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】⑴连接4C，先证明一得我嚼,再证明.CE,得条条从而得出真噜

即可由比例的性质得出结论.

⑵由平行线分线段使得条会即三=票由⑴唬埸，从而得条第即可得出—C,

AE

再证明.AAg二AOC(AAS),得出AB=A£>,BC=CD,从而得出A8=8C=CO=A。，可由菱形的判定得出结

论.

【详解】(1)证明：连接AC,

AB//DC

*.ZBAC=ZDCA

・•ZB=ZADC

•・_ABCs..CDA

.ABBC

*15C~~AD

.ABDC

*fiC-AD

:AB//DC

\Zfi+ZBCD=180°,/班O+ZADC=180。，

・•ZB-ZzADC

•・NBAD=NBCD

：ZADE=ZCDF

•・CDFSQADE

・CDCF

>4D=AE

.ABCF

•---=----

BCAE

•・CFCB=AEAB.

(2)记明：如图,

•/EF//AC

.AECF

.CFBC

'~AE~~AB

ABCF

由知左n犷

(1)~AE

.BC二AB

/.AB=BC

ZBAC=ZBCA

•・・・・•AB//DC

/.ZBAC=ZDCA

/.ZBC4=Z/9C4

在，ABC■与△AOC中,

NB=/ADC

ZBCA=ZDCA

AC=AC

：.一4A8.//?C（AAS）

AAB=AD,BC=CD,

，AB=BC=CD=AD

・•・四边形A8CQ是菱形.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，全等三我

的判定与性质，菱形的判定.熟练掌握相似三角形的判定与性质、菱形的判定是解题的关键.

26.(2024•上海松江•二模)如图，已知柜形A3。中，AB=\f8C=2,点尸是边人。上一动点，过点P作尸E_L4C,

垂足为点E,连接BE,过点E作斯18E,交边4。于点尸(点尸与点A不重合).

备用图

(1)当尸是”的中点时，求证：BA=BE；

(2)当"的长度取不同值时，在！庄尸中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，

请说明理由；

(3)延长配交边8c于点G,连接FG,EFG与aAE产能否相似，若能相似，求出此时AP的长；若不能相似，请

说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，丹邙勺长度不变，PF=g

(3)能相似,AP=—

【分析】本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质及判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的比

值关系等知识点，灵活运用角的等最关系建立边的比值关系是解题的关键.

（I）利用斜边的中线是斜边的一半的性质和矩形的性质，通过角的等量代换得到NME=4E4即可；

（2）通过角的等量代换和相似三角形的判定方法证出一即可根据比值关系求解：

（3）连接柘，过点。作PH1BC,垂足为，，通过角的等量代换和边的比值关系判定出四边形PEG”是矩形，

然后再利用角的等量代换证出NR4E=N"GP,当NAFE=NF£G时（均为钝角）时，可得到EbGs.j/4,从而

得到PE=PF=；,再利用勾股定理运算求解即可.

【详解】（1）解：・・・P£_LAC,/为AP的中点，

,AF=EF,

・•・"AE=NFEA,

♦・