2024年暑期初升高数学衔接教材12讲-专项训练【含答案】

初高中数学衔接教材

编者的话

高中数学难学，难就难在初中教材与高中教材之间剃度过大，因此我们要认真搞好初高

中数学教学的衔接，使初高中的数学教学具有连续性和统一性。

现有初高中数学教材存在以下“脱节”：

1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；

2、立方和与差的公式在初中已经删去不训、而高中还在使用；

3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的

涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用

到它，如解方程、不等式等；

4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函

数、不等式常用的解题技巧；

5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材

的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求

最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；

6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不

作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的

相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；

7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本

知识要领；

8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题

内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；

9、几何中很多概念（如三角形的四心：重心、内心、外心、垂心）和定理（平行线等分

线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没

有去学习；

1（）、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。

另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化,

甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。

高一数学相对于初中数学而言，逻辑推理强，抽象程度高，知识难度大。初中毕业生以

较高的数学成绩升入高中后，不适应高中数学教学，学习成绩大幅度下降，出现了严重的两

极分化，心理失落感很大，过去的尖子生可能变为学习后进生，甚至，少数学生对学习失去

了信心。初中数学教学内容作了较大程度的压缩、上调，中考难度的下调、新课程的实验和

新教材的教学，使高中数学在教材内容以及高考中都对学生的能力提出了更高的要求，使得

原来的矛盾更加突出。高中教材从知识内容上整体数量较初中剧增；在知识的呈现、过程和

联系上注重逻辑性，旦数学语言抽象程度发生了突变，教材叙述比较严谨、规范而抽象。知

识难度加大，且习题类型多，解题技巧灵活多变，计算繁冗复杂，体现了“起点高、难度大、

容量多”的特点。其次，初中难度降低，有中考试卷的难度降低作保障；而高中由于受高考

的限制，教师都不敢降低难度，造成了高中数学实际难度并没有降低。

因此，从一定意义上讲，调整后的教材不仅没有缩小初高中教材内容的难度差距，反而

加大了。如现行初中数学教材在内容上进行了较大幅度的调整，难度、深度和广度大大降低

了，那些在高中学习中经常应用到的知识，如十字相乘法、分组分解法等内容，都转移到高

一阶段补充学习。这样初中教材就体现了“浅、少、易”的特点，但却加重了高一数学的份

量。在初中，教师讲得细，类型归纳得全，练得熟，考试时，学生只要记准概念、公式及教

师所讲例题类型，一般均可对号入座取得中考好成绩。而高考要求则不同，有的高中教师往

往用高三复习时应达到的类型和难度来对待高一教学，造成了轻过程、轻概念理解、重题量

的情形，造成初、高中教师教学方法上的巨大差异，中间乂缺乏过渡过程，至使新生普遍适

应不了高中教师的教学方法。

高中许多知识仅凭课堂上听懂是远远不够的，还需要认真消化。这就要求学生具有较强

的阅读分析能力和自学理解能力。因此，在初、高中数学教学衔接中，教师要有意识地指导

学生阅读数学课本，通过编拟阅读提纲，帮助学生理解和掌握数学概念，对某些简单章节内

容的教学，可组织阅读讨论，以培养学生的自学理解能力以及独立钻研问题的曳好习惯，引

导学生主动参与观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，使学生形成有效的学习

策略。

新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我

们会不断的研究新课程及其体系，将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足,

加以补充和完善。

我们的目标是使所有的学生在努力之后，都能搞到相应的果实，所以我们要不惜时间与

精力，进行初高中数学教学的衔接，让“衔接教学”更好地为高一新生铺设一条成功的路。

目录

第一章数与式

1.1数与式的运算

1.1.1乘法公式............................................................3

1.1.2分式................................................................4

1.2分解因式..........................................................5

第二章二次方程、二次函数与二次不等式

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式........................................................11

2.1.2根与系数的关系.....................................................13

2.2二次函数

2.2.1二次函数y=ax?+bx+c的图像和性质...................................19

2.2.2二次函数的三种表达方式.............................................25

2.3一元二次不等式的解法................................................28

第三章相似形、三角形

3.1相似形

3.1.1平行线分线段成比例定理...........................................33

3.1.2相似三角形形的性质与判定.........................................36

3.2三角形

3.2.1三角形的四心、......................................................40

3.2.2几种特殊的三角形...............................................43

课后练习与习题答案........................................................46

1.1数与式的运算

1.1.1乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a?-b2；

(2)完全平方公式(。±人)2=。2±2。人+〃。

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:

(1)立方和公式(a+b)(cr-ab+b2)=+Z?3；

(2)立方差公式(ci-b)(a~+ab+b2)=-by；

(3)三数和平方公式(〃+/?+c)2=a2+Z72+c2+2(ab+be+ac)；

(4)两数和立方公式(a+=a3+301b+3ab?+b3；

(5)两数差立方公式(a-b)3=a3—3a2b+3ab2—b3<.

对上面列出的五.个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。

例1计算：(x+l)(x-l)(x2-X+1)(X2+X+1)o

解法一：原式二(x2-l)[(x2+1)2-X2=(x2-l)(x4+x2+l)=x6-1o

解法二：原式二(X+l)(f-工+1)*-1)*2+工+1)=％3+])(/-])二不6—1。

例2已知a+/?+c=4,a/?+Z;c+ac=4,求4+从十。？的值。

解：a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+be+ac)=8。

练习：

1.填空：(1)-a2--b2=(-b+-a)()：

9423

(2)(4〃？+)2=16/??2+4m+()；

(3)(f/+2/?-c)2=672+4Z?2+c24-()o

2.选择题：(1)若d+Lnr+Z是一个完全平方式，则上等于()

2

A、nr—fn2C、—m2D、—tri1

4316

(2)不论。，〃为何实数，。2+/一2〃一4h+8的值()

A、总是正数B、总是负数C、可以是零D、可以是正数也可以是负数

1.1.2分式

AA

1.分式的意义：形如A的式子，若4中含有字母,且则称史为分式。

BB

当.好。时，分联具有下列基本性质:AAxMAA-rM

BBxMBB-rM

a

2.繁分式：像上“这样，分了或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。

c+d

八十p

若5x+4_A

例1—,求常数A3的值。

x(x+2)xx+2

・.A,BA(x+2)+Bx(A+8)x+2A5x+4.A+B=5,A=2

解:•---1--------)•V解得

xx+2x(x+2)x(x+2)+2)2A=4,8=3

111计算：111

例2（1）试证:（其中〃是正整数）；（2）-----J--------+H

〃(〃+1)n〃+11x22x3--------9x10

（1）证明：•・,」I(〃--+-1-)-一--〃二----1--，・・----1---二——1匚（其中〃是正整数）成立。

nn+1〃（〃+1）+〃（〃+1）nn+\

（2）解：由（1）可知_L+_L++1=*）+（昌++（"W

1x22x39x10

练习:

]1—L)：

1.对任意的正整数

〃(〃+2)n〃+2

11I1

2.计算:-----+-------+------

1x32x43x59x11

1.2分解因式

因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应

了解求根法及待定系数法C

1、提取公因式法

例1分解因式：(1)a2(b-5)+a[^-b)(2)d+9+3f+3]

解：(1)〃20_5)+〃(5—〃)二〃2(〃_5)_〃(卜_5)=〃(〃_5)(〃_|)

(2)/+9+3f+3工二(丁+3f)+(3x+9)=x“x+3)+3(x+3)二(工+3)，+3)。

或『+9+3x~+3x—(/+3x~+3x+1)+8—(x+1)'+8—(x+1)3+2，

=[(x4-l)+2][(x4-l)2-(x4-l)x2+22]=(X4-3)*2+3)

练习：

一、填空题：1、多项式61)，一2Q，2+4工)2中各项的公因式是0

2、m(x-y)十〃(y—x)-(x-y)^。

3、m(x-yJ+心-x)2=(x-y)2•。

4、in(x-y_z)+心+z_x)=(%_y_z)•<>

5、m(x-y-z)-x+y+z=(x-y-z)•°

6、-13出72/一3943〃工5分解因式得o

7.计算99,+99=

二、判断题：(正确的打上“错误的打上"X”)

1、2a2b-4ab2=2ab(a-b)()2、am+bin+tn=m(a+Z?)()

3、-3/+6/_]5入.=—3G+2x—5)()4、x”+/i=/i(x+l)()

2、公式法

例2分解因式：（1）一/+i6(2)国+2)，)2_(1_»

解：(1)-+16=42-(a2)2=(4+a2)(4-r/2)=(4+a2)(2+a)(2-a)

(2)(3x+2y)2-(x-y)2=(3x+2y+为一)’)(3/+2y-x+y)=(4x+y)(2x+3y)

练习

22223

一、a-2ab+b,a-b,/一/7的公因式是。

二、判断题：(正确的打上“J”，错误的打上“X”)

1、-x2-().()[=(-x]-(O.l)2=f-x+0.1Y-x-0.1>|()

9(3J'，(3八3)

2、9a2-Sb2=(3力-(4/7)2=(3a+4b)(3a-4b)()

3、25a2-16/7=(5«+4/?)(5t/-4/?)()

4、-x2-y2=-(x2-y2)=-(x+y)(x-y)()

5、a2-(/?+c)2=(a+b+c)(a-b+c)()

五、把下列各式分解

1、-9(/w一〃I十(〃？+2、3x2--

3

3、4-(丁-4克+214、X4-2X2+1

3、分组分解法

222

例3分解因式：(1)x-xy+3y-3x(2)2x+xy^-y-4x+5>-60

角不：(1)J-xy+3y-3x=(——盯)+(3?-3x)=x(x-y)-3(x-y)=(x-y)e(x-3)

x2-xy+3y-3x=(x2-3x)4-(-?^+3y)=x(x-3)-y(x-3)=(x-3)«(x-y)

(2)2x2+xy—y2-4x+5y—6=2厂+(y—4)x—+5y—6

=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3)o

或2x2+xy7-y2-4x+5y-6=(2x2+肛一)尸)一(4x-5y)-6=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6

二(2x—y+2)(x+y—3)0

练习：

用分组分解法分解多项式

(1)x1-y2+a~-b~+2ax+2by(2)a2-4ab+4b2-6a+\2b+9

4、十字相乘法

例4分解因式：

(1)x2—3x+2；(2)x2+4x—12；(3)x2-(a+b)xy+aby2；(4)碎一l+x-y。

解：(1)如图1.1-1,将二次项/分解成图中1勺两个x的积，再将常数项2分解成一1

与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3x,就是3x+2中的一次项，所

以，有工2—3x+2=(x—1)(x—2)o

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.1-1中的两个X用1

来表示(如图1.1—2所示)。X_]

(2)由图1.1-3,得1+4工-12=(工一2)(x+6)c1

图I.1-5

(3)由图L1—4,得♦-(a+b)xy+aby2=(x-ay){x-by)

(4).一1+x-y=:vy+(x—y)—1=(x—1)(片1)(如图1.1—5所示)。

练习

一、填空题：1、把下列各式分解因式：

(1)X2+5X-6=o(2)X2-5X+6=,

(3)x2+5x+6=o(4)x2-5^-6=,

(5)x2~(ci+l)x+a=o(6)x2-1lx+18=。

(7)6x2+7x+2=o(8)4，/-12阳+9=<

(9)5+7x-6x2=o(10)12x2+.v)j-6y2=>

2、x2-4x+=(x+3)(x+)

3、若Y+〃工+/?=(/+2)(工一4)则a=,b=©

二、选择题：(每小题四个答案中只有一个是正确的)

1、在多项式(1)X2+7X+6(2)X2+4x+3(3)x2+6x+8(4)x2+7x+10,(5)x2+15x+44

中，有相同因式的是()

A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)

C、只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)

2、分解因式/+8"-33〃得()

A、((7+1l)(a-3)B、(〃+13)(々一3〃)C、(a-\\b)(a-3b)D、(〃一1»)(。+3〃)

3、(a+〃y+8(a+/?)-20分解因式得()

A、(々+/?+10)(o+b-2)(a+〃+5)(a+Z?-4)

C、(a+Z?+2)(a+〃—10)D^(a+/?+4)(a+Z?—5)

4、若多项式J-3x+〃可分解为(上一5、%一〃)，贝|J〃、人的值是()

A、a=10,b=2B、a=10,b=—2C、a=-\0,b=—2D、a=—\0,b=2

5、若V+g-10=(x+〃乂x+其中a、〃为整数，则机的值为()

A、3或9B、±3C、±9D、±3或±9

三、把下列各式分解因式

16(2p-^)2-11(^-2/7)+32、ay-5a2b+6ab2

3、2y2-4y-64、b4-2b2-S

5、关于X的二次三项式"2+。工+。(3/0)的因式分解。

若关于X的方程依2+Z?x+c=0("0)的两个实数根是芭、X,,

则二次三项式。/+从+«。工0)就可分解为4(工-%)(X-.12)。

例5把下列关于x的二次多项式分解因式：⑴X2+2X-1；(2)X2+4x3-4/o

解：(1)令f+2x—1=0,贝ij解得玉=-1+行，4=-1-桓,

•X~+2,X—1二［■¥-(-1+(-1-=(X+I-^2)(%+1+V2)o

(2)令/十4冷，-4y2=0,贝IJ解得X=(-2+20)y,不=(一2—2五)y,

・•・x2+4冲-4y2=[%+2(1-扬川[x+2(1+扬川0

练习1.选择题：多项式2/-Q，-15y2的一个因式为()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)/+6x+8(2)8成一〃

(3)^-2x-l(4)4(x-y+\)+y(y-2x)

习题1.2

1.分解因式：

(1)/+1=

(2)4X4-13X2+9；

(3)h2+c2+lab+2ac+2bc；

(4)3/+5盯一2y2+工+9P一4。

2.在实数范围内因式分解:

(1)x~—5x+3；(2)x2—2A/2X—3；

(3)3x2+4盯一y2；(4)(X2-2X)2-7(X2-2X)+12O

3.分解因式：x2-\-x—o

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式

情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根：

(1)A2+2A—3=0；(2)A2+2A+1=0；(3)/十2八十3=0o}

用配方法可把一元二次方程。/+以+。=0(a¥0)变为(x+2)2=〃一41(•①

2a4cr

丁@#0,/.4a>0o于是

(1)当毋一4ac>0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数

根出乩王；(2)当力2—4四=0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等

，2a

的实数根/=抬=-2;(3)当斤一4四<0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左

2a

边1+2)2一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根。

2a

由此可知，一元二次方程。/+力x+c=o(aw。)的根的情况可以由N—4初来判定，

我们把疗一4ac叫做一元二次方程。/+/+。=0我W0)的根的判别式,通常用符号“△”

来表示。

综上所述，对于一元二次方程+〃工+c=o«#0),有

(1)当△>()时，方程有两个不相。/+1+。=0等的实数根x=上业—±!£；

,2a

(2)当△=()时，方程有两个相等的实数根，占=心=-2；

2a

(3)当AV0时，方程没有实数根。

例1判定下列关于火的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方

程的实数根。

(1)X2-3X4-3=0；(2)x2-ax-l=0；

(3)x2—QX+(。-1)=0；(4)x2—2x+w=0。

解：⑴・・・A=32-4X1X3=-3VO,・♦•方程没有实数根。

(2)该方程的根的判别式△=/—4X1X(—1)=才+4>0,所以方程一定有两个不等

ci+\lcr+4a-y/a2+4

的实数根斗=,x?=

22

(3)由于该方程的根的判别式为△=/-4乂1><仁一1)=才-43+4=仁一2)2,

所以，①当a=2时，△=(),所以方程有两个相等的实数根小=尼=1;

②当aW2时，A>0,所以方程有两个不相等的实数根％=1,尼=》一1。

(4)由于该方程的根的判别式为A=22—4XlXa=4—4a=4(l—a),所以

①当△>(),即4(1-a)>0,即JVI时，方程有两个不相等的实数根毛+

②当A=0.即a=1时，方程有两个相等的实数根跖=%=1：

③当△<(),即a>l时，方程没有实数根。

说明：

在第3,4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题

过程中，需要对。的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论。

分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运

用这一方法来解决问题。

2.1.2根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程〃/一力支+。=0（d#0）有两个实数根X"=

则有内十勺二

-b+\lb2-4ac-b-y/b2-4acb2-(Z?2-4ac)4acc

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果+人工+。=0（日#0）的两根分别是2，4，那么为+羽=一2,%1.x2=—O这

a~a

一关系也被称为韦达定理c

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程产+0上+q=0,若与，£是其两根，由韦

达定理可知，X1+x2=—pt'X2=Qf即夕=一（匹+w），

所以，方程/+夕X+q=0可化为1―（3+X2）X+演.工2=0,由于修，工2是一元二次方

程1+FY+Q=0的两根，所以，乂，/2也是一元二次方程—一（阳+七）X+2•了?=0。因此有

以两个数X1,为根的一元二次方程（二次项系数为1）是V—（内+工2）工+用工2=°。

所以，方程的另一个根为一女的值为一7。

例2已知方程5/+h-6=0的一个根是2,求它的另一个根及衣的值。

分析：由于己知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出左的值，再由方程解出

另一个根。但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的

一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两

根之和求出4的值。

解法一：・・・2是方程的一个根，・・・5X22+4X2-6=0,・・・4=-7。

所以，方程就为5/—7x—6=0,解得七=2,x2=--a

解法二：设方程的另一个根为吃，则2与=一9，・・・马=一之。

55

由（一之）+2=—£得k=-7°所以，方程的另一个根为一？，衣的值为一7。

555

例3已知关于x的方程丁+2（加一2）、+/+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平

方和比两个根的积大21,求朋的值。

分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于/〃的方

程，从而解得/〃的值。但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此,

其根的判别式应大于零。

解：设%,当是方程的两根，由韦达定理，得%+%=—2(〃?-2),为•九2="+4。

222

VX1+x2—x1-x2=21,(xt+x2)-3再,与=21,

即［―2(-2)了一3(/+4)=21,化简，得病一16/〃-17=0,解得/〃=—1,或〃/=17。

当/〃=—1时，方程为/+6工+5=0,A>0,满足题意；

当/〃=17时，方程为1+30工+293=0,A=302-4X1X293<0,不合题意，舍去。

综上，勿=17。

说明：(1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对■应的/〃的范

围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出力的值，取满足条件的勿的值

即可。

(2)在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式A是

否大于或大于零。因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。

例4已知两个数的和为4,积为一12,求这两个数。

分析：我们可以设出这两个数分别为x,H利用二元方程求解出这两个数。也可以利

用韦达定理转化出一元二次方程来求解。

解法一：设这两个数分别是x,y,则F十k4⑴解得：・・・47，，

xy=-12(2)［y=6,

r=6

・2一’因此，这两个数是一2和6。

%=-2.

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程f—4x—12=0的两个根。

解这个方程，得匹=-2,々=6。所以，这两个数是一2和6。

说明：从上面两种解法我们不难发现，解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法一简捷。

例5若X］和工2分别是一元二次方程2/+5.V—3=0的两根。

⑴求七一厂|的值；⑵求」r的值；⑶龙J+xJ。

不看

57

解：;西和0分别是一元二次方程2/+5x—3=0的两根，••・%+工2=-彳，-二。

22

(1),•,|2=x『+x~—2X]x2=(X]+X2)—4x)x2=(--)-4x(--)=—4-6=—,

竺+3

_4_37

29T

4

322J

(3)Xj+=(x,+x22)(-T,-x2+X2)=(^1+x2)[(Xj+Xj)-3Xj-x2]

=(一』)X[(_』)2_3X(_2)]=一变。

2228

说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一

个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

设乂和房分别是一元二次方程。/+〃+。=0(aWO),

则—+而F,x、=-b-\Jb2-4ac

2a

-b+y/h1-4ac-h-\Jb2-4ac2db2-4ac_yjb2-4ac_&

2a2a\a\\a\

于是有下面的结论：

若占和占分别是一元二次方程*+6%+c=O(aWO),则|x~x1=(其中A=/r-4ac)o

t2\a\

今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论。

例6若关于x的一元二次方程--x+a—4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数

a的取值范围。

解：设后，Z是方程的两根，则%•%=8—4V0,且△=(―1)'—4(<a—4)>0。

17

由①得dV4,由②得彳。的取值范围是aV4。

练习

L选择题：

(1)方程h+3^=0的根的情况是()

(A)有一个实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)没有实数根

(2)若关于x的方程(2〃7+l)x+〃?=O有两个不相等的实数根，则实数〃z的取值

范围是()

(A)m<—(B)m>——(C)m<—,且mWO(D)ni>——,且mW()

4444

2.填空：

(1)若方程/-3]—1=0的两根分别是乂和的，则'+'=«

石x?

(2)方程加+x—2〃=0(肾0)的根的情况是。

(3)以一3和1为根的一元二次方程是o

3.若+8a+i6+|〃-11=0,当左取何值时，方程+6=0有两个不相等实数根?

4.已知方程X?—3x—1=0的两根为K和£，求(X1-3)(%―3)的值。

习题2.1

A组

1.选择题：(1)已知关于工的方程/+攵1-2=0的一个根是1,则它的另一个根是()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)下列四个说法：其中正确说法的个数是()个(A)1(B)2(C)3(D)4

①方程/+2丫-7=0的两根之和为一2,两根之积为一7；

②方程/-2刀+7=0的两根之和为一2,两根之积为7；

③方程3—-7=0的两根之和为0,两根之积为一工；

3

④方程3/+2才=0的两根之和为一2,两根之积为0。

(3)关于x的一元二次方程a——5x+，+a=0的一个根是0,则a的值是()

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一1

2.填空：(1)方程〃/+4)—i=o的两根之和为一2,贝I」A=o

(2)方程—x—4=0的两根为a,B,则ayB三o

(3)己知关于x的方程一一电一3a=0的一个根是一2,则它的另一个根是o

(4)方程2/+2x—1=0的两根为由和如贝/用一尼|=o

3.试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程〃/—一(2加+1)x+1=0有两个不相

等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

4.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程/-7]—1=0各根的相反数。

B组

1.选择题:若关于x的方程/+(〃-1)x+〃+l=0的两根互为相反数，则4的值为()

(A)1,或一1(B)1(C)-1(D)0

2.填空：(1)若勿，〃是方程/+2005x—1=0的两实数根，则/2〃+加〃2—质的值等于_o

(2)若a,b是方程V+x—1=0的两个实数根，则代数式3+的值

是。

3.已知关于x的方程/一而一2=0。(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方

程的两根为由和物如果2(小+尼)>乂处求实数A的取值范围。

4.一元二次方程d/+bx+c=o(awo)的两根为由和而。求：(1)I岗_及1和芯+工；

2

(2)/+及)

5.关于x的方程/+4x+〃/=0的两根为用，及满足|*—及|=2,求实数勿的值。

C组

1.选择题：

(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2——8x+7=0的两根，则这个直

角三角形的斜边长等于()(A)&(B)3(C)6(D)9

(2)若乂，也是方程2——4叶1=0的两个根，则土+上的值为()

/王

3

(A)6(B)4(C)3(D)-

2

(3)如果关于x的方程2(1+m)>+k=0有两实数根a,B,则a+B的取值范围

为()(A)a+B”(B)a+BW，(C)a+3^1(D)a+B

22

（4）已知％力,右是△/力。的三边长，那么方程（a+b）—0的根的情况是（）

（A）没有实数根（B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根（D）有两个异号实数根

2.填空：若方程/—8x+/〃=0的两根为小，/2,且3小+2而=18,则勿=。

3.已知乂，及是关于，的一元二次方程4々/一4攵才+4+1=0的两个实数根。（1）是否存

在实数力，使（2乂一及）（为一2尼）=一上成立？若存在，求出左的值；若不存在，说明理由；

（2）求使土*工-2的值为整数的实数a的整数值；（3）若〃=-2,丸=土，试求丸的

4.已知关于x的方程（〃L2）X-工=0。（1）求证：无论勿取什么实数时，这个方

程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根"X满足|莅|=|*|+2,求/〃的值

及相应的%i,尼。

5.若关于x的方程/+x+a=0的根一个大于1、另一根小于1,求实数a的取值范围。

2.2二次函数

2.2.1二次函数尸wf+bx+c的图象和性质

情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图(l)y=f(2)),二一工2

(3))，=/+21_3教师可采用计算机绘图软件辅助教学｝

问题1函数y=a/与y=/的图象之间存在怎样的关系？

为了研究这一问题，我们可以先画出尸2/,y=-x2,y=-2/的图象，通过这些函

2

数图象与函数尸/的图象之间的关系，推导出函数/=己/与y=/的图象之间所存在的关

系。

先画出函数夕=2/的图象。

先列表：

X•••-3-2-10123

X2•••9410149

2x2•••188202818

从表中不难看出，要得到2y的值，只要把相应的/的值扩大到两倍就可以了。

再描点、连线，就分别得到了函数y=F,y=2/的图象(如图2—1所示)，从图2—1

我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y=21的图象可以由函数尸产的图象各点

的纵坐标变为原来的两倍得到。

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数尸y=-2/的图象，并研究这两个

2

函数图象与函数y=/的图象之间的关系。

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数/=a戈2(a00)的图象可以由的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到。

在二次函数尸a/(aWO)中，二次项系数d决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的

开口的大小。

问题2函数与y=a/的图象之间存在怎样的关系？

同样地，我们可以利月儿个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系。同学们

可以作出函数尸2(*+1)2+1与y=2/的图象(如图2-2所示)，从函数的图象我们不难

发现，只要把函数y=2/的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数

y=2(x+l)2+l的图象。这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点。

类似地，还可以通过画函数y=-3/,夕=—3金一1y+1的图象，研究它们图象之间的

相互关系。

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

一次函数尸方(*+/7)2+"(用*0)中，与决定了一次函数图象的开口大小及方向：〃决定了

二次函数图象的左右平移，而且“方正左移，方负右移”；力决定了二次函数图象的上下平移,

而且'”正上移，女负下移”。

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=a/+bx+c(d#o)的图象的方法：

由于y=a/+〃十+。=/+2工)+。=)+(?——

aa4〃4。

,b、>护-4ac

=a(x+—)+-----，

2a4。

所以，y=a.E2+-+c(aW0)的图象可以看作是将函数的图象作左右平移、上下

平移得到的，于是，二次函数尸a/+"+cgwo)具有下列性质：

(1)当a>0时，函数尸ad+6x+c图象开口向上；顶点坐标为(_2,丝£二匕)，对

2a4a

称轴为直线x=—2；当xV-2时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增

2a2a2a

大而增大；当时，函数取最小值旷=牝"”。

2a4。

（2）当HVO时，函数『=8/+公+。图象开口向下；顶点坐标为（——,

2a4a

对称轴为直线才=一2；当xV-2时，y随着x的增大而增大；当x>-2时，y随着x

2a2a2a

h一/）一

的增大而减小；当*=-'时，函数取最大值尸^-----O

2a44

上述二次函数的性质可以分别通过图2.2—3和图2.2—4直观地表示出来。因此，在

今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题。

例1求二次函数y=-3x2-6^+1图象的开口方向、对称轴、

顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当*取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并

画出该函数的图象。

解：*•y——3x2—6x+l=—3（入+1尸+4,

・••函数图象的开口向下；对称轴是直线>=一1；顶点坐标为（一1,4）；

当x=-1时，函数y取最大值y=4；

当xV—l时，y随着x的增大而增大；当x>一1时，y随着x的增大而减小；

采用描点法画图，选顶点月（一1,4））,与才轴交丁点伙当二2,o）和6V当上2,（））,

与y轴的交点为〃（0，1）,过这五点画出图象（如图2—5所示）。

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键

点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确。

函数y=a/+"+。图象作图要领：

①确定开口方向：由二次项系数a决定。

b

②确定对称轴：对称轴方程为x=