辽宁省七校协作体2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题（解析版）

第1页/共1页2024-2025学年度（下）七校协作体3月高二联考数学试题考试时间：120分钟满分：150分命题校：兴城高中一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知抛物线，则其焦点到准线的距离为（）A. B. C.1 D.4【答案】B【解析】【分析】化简抛物线的方程为，求得，即为焦点到准线的距离.【详解】由题意，抛物线，即，解得，即焦点到准线的距离是故选：B2.如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答.【详解】在正三棱柱中，向量不共面，，，令，则，而，，于是得，因此，，所以与所成角的大小为.故选：B3.“”是“方程表示椭圆”（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用方程表示椭圆求得，可得“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件.【详解】由方程表示椭圆，可得m>0m−1>0m≠m−1，解得，因为m|1<m<3⊂所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件.故选：B.4.已知，则方程与在同一坐标系内的图形可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊值法验证即可得到答案.【详解】解：由题意，当，时，方程表示焦点在轴上的椭圆，方程表示开口向左的抛物线，故排除选项C、D；当，时，方程表示焦点在轴上的双曲线，方程表示开口向右的抛物线，故排除选项B，而选项A符合题意，故选：A.5.若函数有两个零点，则k的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解.【详解】由题意可得，有两个根，由得，所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），直线过定点，当直线与相切时，圆心到直线的距离，解得或（舍去），当直线过点时，直线斜率为，结合图形可得实数的取值范围是.故选：C.6.小梁同学将个完全相同的球放入个不同的盒子中有种放法，小郅同学将个完全不同的球放入个相同的盒子中有种放法.若每个盒子中至少有一个球，则（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用隔板法求出，再根据部分平均分组法计算出，即可求解.【详解】根据题意将个完全相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个球，利用隔板法共有种放法，所以；将个完全不同的球放入个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个球，可以将个球分成组，有和两种分组方法，按分组时，有种放法，按分组时，有种放法，所以，所以.故选：B7.如图，直三棱柱的所有棱长均相等，P是侧面内一点，若点P到平面的距离，则点P的轨迹是（）A.圆的一部分 B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分【答案】D【解析】【分析】如图，作，做，连接.可证得及，则，据此可得答案.【详解】如图，作，做，连接.因几何体为直三棱柱，则平面，又平面，则，又平面，平面，，则平面.又由题可得平面，则.因，，则.又平面EPD，平面EPD，，平面，平面，，则平面EPD平面.因平面平面EPD，平面平面，则.故，结合平面，平面，可得，则.又，则.由题又有，结合，则，即为点P到直线距离.故点P到定点距离等于点P到直线距离，则点P轨迹为抛物线的一部分.故选：D8.设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，.进而在中，由余弦定理变形可得，.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案.【详解】根据椭圆及双曲线的定义可得，所以.在中，，由余弦定理可得，整理可得，，两边同时除以可得，.又，，所以有，所以，.因为，所以，所以，所以，，，所以，.则，故.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知直线：和直线：，下列说法正确的是（）A.始终过定点 B.若，则或2C.当时，与的距离为 D.若不经过第三象限，则【答案】ABC【解析】【分析】把直线方程化为可得选项A正确；根据垂直公式可得选项B正确；利用两平行线间距离公式可得选项C正确；根据时结论成立可得选项D错误.【详解】A.由得，由得，直线始终过定点，选项A正确.B.由得，解得或2，选项B正确.C.当时，：，即，：，与的距离为，选项C正确.D.当时，：，不经过第三象限，选项D错误.故选：ABC.10.已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（）A.弦有最小值为 B.有最小值为C.面积的最大值为 D.的最大值为9【答案】BCD【解析】【分析】易得直线过定点，根据点为弦的中点时，最小，即可判断A；根据点为弦的中点，可得，进而可得出点的轨迹是以为直径的圆，即可判断B；要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可，进而可判断C；设，联立，利用韦达定理求出，进而可求出的坐标，再根据数量积的坐标公式结合基本不等式即可判断D.【详解】圆的圆心，半径，直线过定点，因为，所以点在圆内，所以直线与圆一定相交，当点为弦的中点时，有最小值，此时直线的斜率不存在，而直线的斜率一定存在，所以，故A错误；因为点为弦的中点，所以，即，所以点的轨迹是以为直径的圆(去除），圆心为，半径为，所以轨迹方程为，因为，所以点在圆外，所以的最小值为，故B正确；对于C，，要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可，直线的方程为，即，圆心到直线的距离，所以点到直线的距离最大值为，所以面积的最大值为，故C正确；对于D，设，联立，得，则，故，所以点的坐标为，则，当时，，当时，，当时，，当且仅当，即时，取等号，综上所述的最大值为9，故D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：（1）直接法：根据题设条件直接列出方程；（2）定义法：根据圆的定义写出方程；（3）几何法：利用圆的性质列方程；（4）代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．11.已知正方体棱长为1，为棱中心，为正方形上的动点，则（）A.满足平面的点的轨迹长度为B.满足的点的轨迹长度为C.存在点，使得平面经过点D.存在点满足【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用线面平行的判定定理找出P的轨迹，进而求解判断即可；对于B，建立空间直角坐标系，找出A、M的坐标，设，由得，找出P的轨迹，进而求解判断即可；对于C，连接BM，取的中点H，连接AH、HM，得到平面ABM截正方体所得截面与正方形没有交点，即可判断；对于D，借助空间直角坐标系，求得的最小值，即可判断.【详解】如图，以D原点，以所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，设，()，所以.A：取的中点Q，的中点N，如图，因为点M为的中点，由正方体的性质知，又平面，平面，所以平面，同理可得平面，又平面，所以平面平面，由平面，得平面，所以点P的轨迹为线段NQ，其长度为，故A正确；B：由得，即，又，所以点P的轨迹为线段EF，且，则，即点P的轨迹长度为，故B正确；C：如图，连接BM，取的中点H，连接AH、HM，则平面ABM截正方体所得截面为ABMH，与正方形没有交点，所以不存在点P，使得平面AMP经过点B，故C错误；D：由B知，点M关于平面的对称点为，所以当P、A、M三点共线时最小，即，又，所以存在点P满足，故D正确.故选：ABD.【点睛】立体几何中关于动点轨迹问题，常常结合线、面的判定定理和性质寻求，或借助空间直角坐标系进行辅助计算求解.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标______【答案】【解析】【分析】结合数量积的坐标运算，根据投影向量的概念求解.【详解】空间向量，则，，则向量在向量上的投影向量的坐标为.故答案为：.13.已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是________．【答案】x＋4＝0和4x＋3y＋25＝0【解析】【详解】由已知条件知圆心(－1，－2)，半径r＝5，弦长m＝8.设弦心距是d，则由勾股定理得r2＝d2＋2，解得d＝3.若l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－4，圆心到直线的距离是3，符合题意．若l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0，则d＝＝3，即9k2－6k＋1＝9k2＋9，解得k＝－，则直线l的方程为4x＋3y＋25＝0.所以直线l的方程是x＋4＝0和4x＋3y＋25＝0.14.已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】由焦距为8，求得，即可得双曲线方程，进而可得，结合图形，只有当三点共线时，取最小值为，求出即得答案.【详解】解：如图所示，由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8，所以，，即，，所以双曲线的方程为：，所以，，，由双曲线定义得，所以，当三点共线时，最小为故.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，15题13分，16、17各15分，18、19各17分，共77分．）15.在二项式展开式中，第3项和第4项的系数比为．（1）求n的值及展开式中的常数项是第几项；（2）展开式中系数最大的项是第几项？【答案】（1），第17项（2）第7项和第8项【解析】【分析】（1）由二项式展开式的通项公式结合题设条件得出，进而由赋值法求解；（2）根据不等式法结合通项进行求解.小问1详解】二项式展开式的通项公式为．因为第3项和第4项的系数比为，所以，化简得，解得，所以．令，得，所以常数项为第17项．【小问2详解】设展开式中系数最大的项是第项，则，解得．因为，所以或，所以展开式中系数最大的项是第7项和第8项．16.已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x-2y+2=0上.（1）求AB边上的高CE所在直线的方程；（2）求△ABC的面积.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）由题意可知，为的中点，，利用斜率计算公式、点斜式即可得出．（2）由得，利用两点之间的距离公式、三角形面积计算公式即可得出．【小问1详解】解：由题意可知，为的中点，因为，，所以，，所以，所在直线方程为，即．【小问2详解】解：由解得，所以，所以平行于轴，平行于轴，即，，．17.如图，正方体的棱长为2，点E为的中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角正弦值；（3）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.（2）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.（3）利用向量法求得点到平面的距离.【小问1详解】如图以点D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，所以．【小问2详解】设平面的一个法向量为，又，，则，令，则，又，则，所以直线与平面的正弦值为．【小问3详解】点到平面的距离为，所以点到平面的距离为．18.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上（不与点，重合）.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，利用向量先证明平面，然后可证明平面平面；（2）分别求出平面与平面的一个法向量，然后计算出法向量夹角的余弦值，结合图形可求二面角的平面角的余弦值；（3）由表示出点坐标即可表示出，再根据位置关系确定出与法向量的关系，确定方程解的情况可作出判断.【小问1详解】因为平面，所以，，又，则以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，所以，，所以，，且，，平面，所以平面，所以平面平面.【小问2详解】由（1）知是平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量为，所以，即，令，则，，所以，所以，又由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为.【小问3详解】由（1）得，，，，设，则，可得，所以，由（2）知是平面的一个法向量，若平面，可得，则，该方程无解，所以直线不能与平面垂直.19.已知椭圆：（）左右焦点分别为，，点在椭圆上，且.（1）求椭圆的方程；（2）点P，Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线，的斜率之积为，求证：为定值；（3）直线l过点且与椭圆交于A，B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）20；（3），.【解析】【分析】(1)由点T在椭圆上且，可得，求得，点代入椭圆方