河北省部分学校联考2024-2025学年高三下学期2月开学调研检测数学试题

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省名校联考高三（下）开学调研数学试卷（2月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={−2,−1,0,1,2,3,4}，集合N={x|x2<4}，则∁A.{2,3,4} B.{−2,2,3,4} C.{3,4} D.{−2,−1,0,1,2}2.设复数z=1+i，则z−2=A.−2i B.2i C.2−2i D.2+2i3.已知向量a=(0,1)，b=(1,1)，若a⊥(b−λA.−2 B.−1 C.1 D.24.已知cosα−cosβ=12，sinA.124 B.−524 C.175.“k=1”是“函数f(x)=1−kex1+kA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件6.椭圆C1：x24+y2=1的上、下顶点分别为B2，B1，椭圆C2：xA.4 B.2+22 C.2+27.∀x∈R，不等式(x2−x)ex−ax+e≥0A.[e2,e] B.[e,2e] C.[0,8.正方体ABCD−EFGH的棱长为1，球O为其内切球，作球O的内接正方体A1B1C1D1−E1F1G1A.32 B.9 C.9+333二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知有四个数从小到大排列为1，2，a，b，这四个数的80%分位数是4，则a+b可能是(

)A.4 B.5.5 C.6 D.7.510.已知如图是函数f(x)=2cos(ωx+φ)，(ω>0,−π2A.f(x)的最小正周期为π

B.f(x)在(−1,2)单调递增

C.f(x)的图象关于(3π2,0)中心对称

D.f(x)11.数学中的数形结合可以组成世间万物的绚丽画面，优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物.现坐标满足方程x2−y3=1的点(x,y)的轨迹为曲线A.曲线C关于y轴对称

B.曲线C位于x轴下方的点与原点的最远距离为939

C.曲线C与x轴围成的区域面积大于2

D.曲线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.从长度为1，3，5，7，9，11的六条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为______.13.圆O的半径为3，从中剪出扇形AOB围成一个圆锥(无底)，当所得的圆锥的体积最大时，圆心角为______.14.已知实数x1，x2，y1，y2满足：x12+y12四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中、角A、B，C所对的边分别为a、b，c，且asinA−bsinB=sinC(acosB−b2).

(1)求角A的大小；

16.(本小题15分)

如图所示，在圆台O′O中，四边形ABCD为过O′O的圆台截面，△AEF为底面圆O的内接正三角形.

(1)证明：平面CEF⊥平面ABCD；

(2)若AD=2AB=2BC，求平面ABF和平面CEF夹角的余弦值.17.(本小题15分)

春节期间有一过关赢奖励娱乐活动，参与者需先后进行四个关卡挑战，每个关卡都必须参与.前三个关卡至少挑战成功两个才能够进入第四关，否则直接淘汰，若四关都通过，则可以赢得奖励.参与者甲前面三个关卡每个挑战成功的概率均为23，第四关挑战成功的概率为34，且各关挑战成功与否相互独立.

(1)求参与者甲未能参与第四关的概率；

(2)记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X，求X的分布列以及数学期望18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且经过A(−2,0)，直线l交C于E，F两点，直线AE，AF斜率之和为1.

19.(本小题17分)

已知函数f(x)=12x2+2x−(2x+a)lnx.

(1)当a=0时，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线；

(2)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数，求实数a的取值范围；答案和解析1.【答案】B

【解析】解：集合M={−2,−1,0,1,2,3,4}，集合N={x|x2<4}={x|−2<x<2}，

则∁MN={−2,2,3,4}.

故选：2.【答案】A

【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

由z求得z−【解答】

解：∵z=1+i，

∴z−23.【答案】C

【解析】解：若a⊥(b−λa)，

则a⋅(b−λa)=0，即a⋅b=λa2，

向量a4.【答案】C

【解析】解：对cosα−cosβ=12两边平方，(cosα−cosβ)2=(12)2，

即cos2α−2cosαcosβ+cos2β=14①，

对sinα−sinβ=33两边平方，(5.【答案】A

【解析】解：若k=1，则f(x)=1−ex1+ex，则f(−x)=1−e−x1+e−x=ex−11+ex，则f(−x)=−f(x)，故充分性成立，

当函数f(x)=1−kex6.【答案】D

【解析】解：椭圆C1：x24+y2=1的上、下顶点分别为B2，B1，

则B1(0,1)，B2(0,−1)，

又椭圆C2：x23+y24=17.【答案】D

【解析】解：因为不等式(x2−x)ex−ax+e≥0恒成立，

①当x=0时，a∈R；

②当x>0时，问题等价为a≤(x−1)ex+ex恒成立，

设g(x)=(x−1)ex+ex(x>0)，

则g′(x)=xex−ex2，

因为y=g′(x)在(0,+∞)上单调递增，且g′(1)=0，

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

所以y=g(x)上的最小值为g(1)=e，所以a≤e.

③当x<0时，问题等价为a≥(x−1)ex+ex恒成立，

设ℎ(x)=(x−1)ex+ex(x<0)，8.【答案】B

【解析】解：设正方体ABCD−EFGH的棱长为a1，其内切球球O半径为R1，则R1=a12，

球O的内接正方体A1B1C1D1−E1F1G1H1的棱长a2=2R13=a13，

其内切球球O1半径为R2=a22=R13，

球O9.【答案】CD

【解析】解：因为4×80%=3.2，

所以这四个数的80%分位数是b，即b=4，

所以2≤a≤4，

所以6≤a+b≤8，

由四个选项可知，a+b可能是6或7.5.

故选：CD.

根据百分位数的定义求解．

本题主要考查了百分位数的定义，属于基础题．10.【答案】BD

【解析】解：由题意可得f(0)=2cosφ=1，即cosφ=12，而−π2<φ<0，

可得φ=−π3，

又因为f(−π3)=0，即2cos(−π3ω−π3)=0，

可得−π3ω−π3=−π2+2kπ，k∈Z，

可得ω=12−6k，k∈Z，又因为T4>0−(−π3)，且ω>0，

即2π4ω>π3，即0<ω<32，

可得ω=12，

所以f(x)=2cos(12x−π3)，

A中，函数的最小正周期T=2π11.【答案】ABD

【解析】解：由方程x2−y3=1，将其中的x换为−x，方程不变，可得曲线C关于y轴对称，故A正确；

设P(x,y)(y<0)是曲线C上的点，可得x2−y3=1，即有x2=y3+1，

和原点的距离为d=x2+y2=y3+y2+1，

设f(t)=t3+t2+1，t<0，可得f′(t)=3t2+2t，当t<−23时，f′(t)>0，f(t)递增；

当−23<t<0时，f′(t)<0，f(t)递减，

可得f(t)在t=−23处取得极大值，且为最大值3127，可得d的最大值为939，故B正确；

由x2=y3+1≥0，可得y≥−1；方程x2−y3=1，可化为y=3x2−1，

可得函数y为偶函数，当x>0时，为递增函数；12.【答案】720【解析】解：从长度为1，3，5，7，9，11的六条线段中任取3条，

基本事件总数n=C63=20，

其中这三条线段能构成一个三角形包含的基本事件有：

(3,5,7)，(3,7,9)，(3,9,11)，(5,7,9)，(5,7,11)，(5,9,11)，(7,9,11)，共7个，

则这三条线段能构成一个三角形的概率为P=720.

故答案为：72013.【答案】2【解析】解：根据题意，所得的圆锥的底面半径为r，则该圆锥的高ℎ=9−r2，

则圆锥的体积V=π3r2ℎ=π3r29−r2=π3r4(9−r14.【答案】13+4【解析】解：依题可设x1=2cosα，y1=2sinα，x2=3cosβ，y2=3sinβ，

由x1x2+y1y2=x1+x2−1，可得6cos(α−β)+1=2cosα+3cosβ.15.【答案】解：(1)因为asinA−bsinB=sinC(acosB−b2)，

由正弦定理及余弦定理可得a2−b2=ac⋅a2+c2−b22ac−bc2，

整理可得：b2【解析】(1)由正弦定理及余弦定理可得cosA=12，再由角A的范围，可得角A的大小；

(2)由三角形面积公式及余弦定理，基本不等式可得a16.【答案】解：(1)证明：设AD∩EF=M，连接CM，如图，

因为△AEF为底面圆O的内接正三角形，所以O为正三角形AEF的中心，

则AM⊥EF，且M为EF中点，

因为四边形ABCD为过O′O的圆台截面，且E、F关于底面直径AD对称，

所以CE=CF，则CM⊥EF，

因为CM∩AD=M，所以EF⊥平面ABCD，

因为EF⊂平面CEF，所以平面CEF⊥平面ABCD；

(2)由(1)分析知，O为O为正三角形AEF的中心，所以AO：OM=2：1，

因为AO=DO，所以DO：OM=2：1，故M为DO中点，

因为AD=2AB=2BC，所以CO′=12BC=14AD=MO，

又因为CO′//MO，所以四边形CO′OM为平行四边形，CM//OO′，

因为OO′⊄平面CEF，CM⊂平面CEF，所以OO′//平面CEF，

以O为原点建立空间直角坐标系如图，

连接CO，因为AD=2AB=2BC，所以三角形COD满足CO=DO=CD，为正三角形，

所以∠COD=∠BAO=60∘，

不妨设AD=4，则A(0,2,0)，B(0,1,3)，F(3,−1,0)，

所以AB=(0,−1,3)，BF=(3,−2,−3)，

设平面ABF法向量为n1=(x,y,z)，则n1⋅AB=0n1⋅BF【解析】(1)利用面面垂直的判定定理进行证明；

(2)结合题意建立空间直角坐标系，求出平面ABF和平面CEF的法向量，从而求出它们夹角的余弦值．

本题主要考查面面垂直的判定和利用空间向量求两平面夹角，属于中档题．17.【答案】解：(1)参与者甲未能参与第四关的概率为：

P=C30(23)0(13)3+C31(23)(13)2=127+327=427.X

0

1

2

3

4

P

1

2

1

112数学期望为E(X)=0×1【解析】(1)利用相互独立事件概率乘法公式求解；

(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)设椭圆半焦距为c，则依题意有e=ca=32a=2，

所以c=3，所以b2=a2−c2=4−3=1，

所以椭圆C的方程为x24+y2=1.

(2)证明：显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，

联立y=kx+mx24+y2=1，消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0，

Δ=64k2m2−4(1+4k2)(4m2−4)>0【解析】(1)依题意求解a，b，c的值，即可求解椭圆方程；

(2)设出直线l的方程为y=kx+m及点E，F的坐标，并联立直线l与椭圆C的方程，表示出韦达定理，再对kAE+kAF计算化简，得出m与19.【答案】解：(1)a=0时，f(x)=12x2+2x−2xlnx，

f′(x)=x+2−2(lnx+1)=x−2lnx，f′(1)=1，f(1)=52，

所以f(x)在点(1,f(1))处的切线为y−52=x−1，

整理得：2x−2y+3=0，

故f(x)在点(1,f(1))处的切线为2x−2y+3=0；

(2)f′(x)=x+2−2lnx−(2x+a)1x=x−2lnx−ax，

因为f(x)在[1,+∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在[1,+∞)恒成立，

由x−2lnx−ax≥0在[1,+∞)恒成立，

得a≤[x2−2xlnx]min，x∈[1,+∞),

设g(x)=x2−2xlnx，g′(x)=2x−2lnx−2，x∈[1,+∞),

令m(x)=2(x−lnx−1)，m′(x)=2(1−1x)≥0在[1,+∞)上恒成立，

所以m(