广东省湛江市2025年普通高考测试（一）数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省湛江市2025年普通高考测试（一）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=xx2+2xA．−1,0 B．−2,12．已知向量a=−1,12，b=A．3 B．2 C．5 D．53．在等比数列an中，a3⋅a5=49A．−567 B．567 C．451 4．一组数据1，3，7，9，mm>0的中位数不小于平均数，则mA．5,7 B．5,15 C．5．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为2π3的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（A．2π B．23π C．26．已知函数f(x)=sin(2A．7π6 B．π C．π37．已知A−1,0，B1,0，点P满足PA．334 B．324 C．8．已知定义在R上的函数fx为奇函数，且当x>0时，fx=ex−aA．−2025 B．2025 C．e2二、多选题9．已知A1,6，B2,4，C3,4，D

A．样本相关系数r变大B．残差平方和变小C．决定系数R2D．若经验回归直线过点3.5,2.810．复数z1，z2满足z1+zA．z1⋅zC．z1+z11．设定义在R上的函数fx和gx，记gx的导函数为g′x，且满足fx+A．f2+fC．n=12025三、填空题12．已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足S2n−1=13．已知tanα+π1214．已知椭圆A:x2a12+y2b12=1a1>b1>0与双曲线B:x2a22四、解答题15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3asinB+bcos(1)求∠B(2)若AD=158，16．已知函数fx=a(1)若a=−8(2)当a<−217．如图，四棱锥S−ABCD的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱S(1)求证：AC(2)求直线SB到平面P(3)请判断在平面PAC上是否存在一点E，使得△ESB是以S18．已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，A，B分别为C上的点（点A在点B上方）．过点A，B分别作C的切线l1(1)求抛物线C的方程；(2)若直线AB经过点F，求动点P的轨迹以及点P到直线A19．甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的A类问题以及难度系数较高的B类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为12，甲遇到A类问题时回答正确的概率为12，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到B类问题时回答正确的概率为14(1)当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望．(2)设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为Gn（ⅰ）证明：Gn（ⅱ）求Gn的最大值以及对应n答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《广东省湛江市2025年普通高考测试（一）数学试题》参考答案题号12345678910答案ACBBDADDBCDABD题号11答案ABC1．A【分析】解不等式确定集合A，然后由交集定义计算．【详解】因为A=xx所以A∩故选：A．2．C【分析】根据垂直向量的数量积以及其坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案.【详解】因为a⊥b，所以a⋅b=故选：C．3．B【分析】由已知根据等比中项可得a4【详解】因为a3⋅a当a4=−7时，故a4=7，所以7所以a8故选：B.4．B【分析】先计算这组数据的平均数，由平均数可得这组数据的中位数只可能是m或7，分两种情况分别求解即可.【详解】因为这组数据的平均数为1+所以这组数据的中位数只可能是m或7，若这组数据的中位数是m，则4+m5若这组数据的中位数是7，则4+m5综上所述，m的取值范围为5≤故选：B.5．D【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案.【详解】由题意得，扇形的弧长l=所以该圆锥的底面圆的半径r=所以该圆锥的高h=设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示：则依题意得S△所以R=所以该球的体积V的最大值是43故选：D6．A【分析】在指定区间内求出相位的范围，再结合极大值点的意义列出不等式求解.【详解】当x∈(0,m)时，得π2<2所以m的最大值为76故选：A7．D【分析】由PA=3PB可得点P轨迹方程，然后由直线A【详解】设Px,y，由P即x−22+y2=当直线AP与圆D相切时，∠PA又PD=3，A又AB=2故选：D．8．D【分析】利用奇函数的性质求出fx的解析式，再按a的不同取值分类讨论fx在【详解】因为定义在R上的函数fx为奇函数，且当x>0所以当x<0时，−x>0，f令ex−a因为ex+e−x若a≤1，则函数fx又x−a−即f−x+若a>1，则a−1>又f−x+可理解为函数fx−a所以由图象可得a−1≥令ga则g2025=2ge故选：D9．BCD【分析】根据散点图的性质可知去掉E后相关性变强判断A选项；残差平方和以及决定系数判断BC选项；根据回归直线的求法和性质判断D.【详解】对于选项A：由图可知，变量x与变量y是负相关，且将数据E5,4所以r变小，故选项A错误；对于选项B：将数据E5,4去掉后，变量x所以残差平方和变小，决定系数R2对于选项D：设经验回归方程为y=bx且x=2.5，y=4，可得所以经验回归方程是y=故选：BCD．10．ABD【分析】由题意根据韦达定理建立一元二次方程，求得复数，根据模长公式以及复数四则运算，可得答案.【详解】依题意得，复数z1，z2是方程x2−4解得x=4±4i所以z1z1z1z1故选：ABD．11．ABC【分析】利用已知得出g′(x)的图象关于1,0对称，又得出【详解】由fx+g又fx−1−g所以g′x关于1,又因为gx是奇函数，故g′x是偶函数，所以g对于选项A，因为g′4=所以f2f2025因为g′3=所以n=对于选项D，g′故选：ABC．12．a【分析】设出公差，根据S3=15【详解】设an的公差为d因为S2所以S3又S3=a1+a2又a1=1故答案为：a13．45【分析】利用同角关系式可求得cos2α+【详解】tanα+π又cos2α+所以sin=cos故答案为：4514．3【分析】法一：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆的定义、双曲线的定义与勾股定理，建立方程组，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案；法二：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆与双曲线焦点三角形面积的二级结论，建立方程，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案.【详解】法一：因为OP=1设PF1=m，PF依题意有m+n=2a所以22当且仅当e22=所以2e12法二：因为OP=1对于焦点三角形△F1P根据双曲线的性质可得S=b2所以a12−所以22当且仅当e22=所以2e12故答案为：3215．(1)∠(2)15【分析】1由正弦定理得3sin∠BAC2由题意可得S△ABC=S△【详解】（1）由正弦定理得3sin又因为sinB≠0所以sin∠∴∠BAC+∴∠BAC又∵∠BA（2）∵AD∴∠∵S所以121所以34即bc=由余弦定理得72即49=b将①代入②得8b所以b+c=所以△ABC16．(1)单调递减区间为1,3(2)两个零点，证明见解析【分析】（1）利用导数求得fx（2）先判断2是fx的一个零点，利用分类讨论法，对a【详解】（1）由题知x>1，当a=−8令f′x=0，得当x∈1,3时，f′当x∈3,+∞时，f（2）解法一：因为f2=0令f′x=0，解得当x∈1,x2当x∈x2,+当a<−2时，xf1下面先证明当x≥1时，令gx=x故gx在1所以gx因为−a>2易知1−a>x2，所以f所以当a<−2时，f解法二：当x=2时，f2令f′x=0，又当x∈1,x0当x∈x0,+所以x=x0当a<−2时，x下证lnx令gx=x当x∈0,1时，g′x<0，从而gx所以当x>1时，所以aln即fx令x1>2−a易得当a<−2时，2−a综上，当a<−2解法三：令fx当x=2时，f2当x≠2时，令gx易得gx在1,2因为limx所以当x∈2,故当a<−2时，a而当x∈1,故当a<−2综上可知，当a<−2【点睛】方法点睛：求函数单调区间时，先求函数的导数，令导数为0求出关键点，再根据导数在不同区间的正负确定函数的单调区间，这是解决函数单调性问题的基本方法.判断函数零点个数，先找出一个已知零点，再通过求导确定函数的单调性和极值，然后构造函数证明相关不等式，进而判断在其他区间是否存在零点，这种方法综合运用了函数的导数性质和不等式证明.17．(1)证明见解析(2)6(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据线线垂直可证明AC⊥平面（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用点面距离的向量法求解.（3）根据线面平行的性质，结合（2）可知Q到平面PAC的距离为62【详解】（1）证明：如图，连接BD设AC交BD于点O，连接SO，由S在正方形ABCD又SO∩BD=O，SO又因为SD⊂平面SB（2）连接PO，因为SB∥平面PAC，SB⊂所以SB在△SBD中，O为BD的中点，所以点易知直线SO，AC，BD因为正方形AB所以A0,−2,0，C0设平面PAC的一个法向量为m=所以22y=令x=32因为SB∥平面PAC，所以直线SB到平面PBC在法向量m上的投影的模为B所以直线SB到平面PAC（3）不存在．理由如下：根据第（2）问可得直线SB到平面PAC又因为SB∥平面PAC，设点Q为SB的中点，所以点Q假设在平面PAC上存在点E，使得△ESB则有EQ因为EQ=18．(1)y(2)轨迹为直线x=【分析】（1）由题意作图，根据正三角形的性质与抛物线的性质，可得点的坐标，代入抛物线方程，可得答案；（2）设出直线方程，并联立抛物线方程，写出韦达定理，设出切线方程，联立抛物线方程，写出根的判别式为零，进而求得切线的交点的坐标，利用点到直线距离公式，可得答案.【详解】（1）因为△OAB为正三角形时，其面积为483，可得根据正三角形以及抛物线的对称性，可知此时点A，B关于x轴对称，所以点A的坐标为12,将点A代入抛物线的方程可得48=24p所以抛物线C的方程为y2（2）易得F1,0．设直线A联立直线AB与抛物线C的方程可得yΔ=设点A，B的坐标分别为y124根据韦达定理可得y1+y设直线l1的方程为x因为l1是抛物线C的切线，所以l1与联立两个方程可得y2Δ=16m所以直线l1的方程为x同理可得直线l2的方程为x计算l1与l2的交点可得y2所以动点P的轨迹为直线x=将点P的横坐标代入直线l1及l2，可得其纵坐标为y=两者相加可得2y=y所以点P的坐标为−1所以点P到直线AB的距离d当且仅当m=所以点P到直线AB19．(1)分布列见解析，1(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）当n=1时，G【分析】（1）由已知可得X的可能取值，分别求解概率即可得分布列和期望；（2）（ⅰ）根据等比数列的定义证明即可；由（ⅰ）可证Gn+1【详解】（1）X可以取0，1，2，3，4，每次回答A类问题且回答正确的概率为12回答A类问题且回答不正确的概率为12每次回答B类问题且回答正确