2024-2025学年试题数学专题突破练一

专题突破练一(时间:45分钟分值:55分)1.(5分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3,CD=2,AD=3,∠BAD=90°.若P为线段AB上一动点,则·的最大值为()A.2 B.3 C.6 D.7【解析】选C.以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),C(2,3),D(0,3),设P(x,0),其中0≤x≤3,则=(x2,3),=(x,3),所以·=x(x2)+3=x22x+3=(x1)2+2,当x=3时,·有最大值6.2.(5分)若单位向量e1,e2的夹角为120°,则当|e1λe2|(λ∈R)取得最小值时,λ的值为()A.2 B.1 C.12 D.【解析】选C.由题意知e1·e2=cos120°=12,因为|e1-λe2|2=λ2+λ+1,所以当λ=【补偿训练】设0≤θ<2π,已知两个向量=(cosθ,sinθ),=(2+sinθ,2cosθ),则向量的长度的最大值是()A.2 B.3 C.32 D.23【解析】选C.因为==(2+sinθcosθ,2cosθsinθ),所以||=(=10-因为0≤θ<2π,所以1≤cosθ≤1,所以2≤10-8cosθ当cosθ=1时,||有最大值32.3.(5分)(2024·合肥高一检测)设θ为两个非零向量a,b的夹角,已知对任意实数t,|a+tb|的最小值为1,则()A.若θ确定,则|a|唯一确定B.若θ确定,则|b|唯一确定C.若|a|确定,则θ唯一确定D.若|b|确定,则θ唯一确定【解析】选A.如图,记=a,=b,=tb,则=a+tb,则当b⊥(a+tb)时,|a+tb|取得最小值1,若θ确定,则|a|唯一,|b|不确定,若|a|确定,θ可能有两解(图中=a或=a),若|b|确定,则a不确定,从而θ也不确定.4.(5分)已知平面向量a,b满足|a|=2,a与ab的夹角为120°,记m=ta+(1t)b(t∈R),则|m|的取值范围为()A.[3,+∞) B.[2,+∞)C.[1,+∞) D.12,+∞【解析】选A.设a=,b=,如图所示:则ab==,因为a与ab的夹角为120°,所以∠OAB=120°,∠OAC=60°,因为m=ta+(1t)b(t∈R),且t+1t=1,m,a,b的起点相同,所以其终点共线,即在直线AB上,所以当m⊥时,|m|最小,最小值为3,无最大值,所以|m|的取值范围为[3,+∞).5.(5分)(2023·长春高一检测)如图,扇形AOB中,点C是AB上一点,且∠AOB=3π4.若=x+y,则x+2y的最大值为()A.10 B.3 C.2 D.1【解析】选A.由题意,建立如图所示的坐标系,设扇形半径为2a,由∠AOB=3π4可得A(2a,2a),B(2a,0),设C(2acosθ,2asinθ),θ∈0,3π4,由=x+y,可得(2acosθ,2asinθ)=x(2a,2a)+y(2a,0),所以2a整理得:x=则x+2y=22sinθ+2cosθ=10sin(θ+φ),其中tanφ=12,所以当sin(θ+φx+2y有最大值10.6.(5分)(多选)在边长为2的正方形ABCD中,P,Q在正方形(含边)内,满足=x+y,则下列结论正确的是()A.若点P在BD上,则x+y=1B.x+y的取值范围为[1,2]C.若点P在BD上,则·=4D.若P,Q在线段BD上,且=2,则·的最小值为1【解析】选ACD.当点P在BD上时,因为=x+y,所以x+y=1,故A正确;因为P在边长为2的正方形ABCD(含边)内,且=x+y,所以x∈[0,1],y∈[0,1],则x+y∈[0,2],故B错误;当点P在BD上时,=x+y=x+(1x),=+,所以·=[x+(1x)]·(+)=x+(1x)=4,故C正确;若P,Q在线段BD上,且=2,如图建立平面直角坐标系,设P(a,2a),则Q(a+2,22a),a∈[0,22],所以·=(a,2a)·(a+2,22a)=a(a+2)+(2a)(22a)=2a2(422)a+422=2a2-222所以当a=2-22时,·有最小值为1,故D正确7.(5分)已知正方形ABCD的边长为1,若点E是AB边上的中点,则·的值为__________,若点E是AB边上的动点,则|·|的最大值为__________.

【解析】如图分别以AB,AD所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系.则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),=(0,1),=(1,1),若点E是AB边上的中点,则E12,0,所以=12,1,所以·=0×12+(1)×(1)=1;若点E是AB边上的动点,设E(x,0)(0≤x≤1),所以=(x,1),所以|·|=|x1|,由0≤x≤1,可得0≤|·|≤1,所以当x=0时,|·|的最大值为1.答案:11【补偿训练】(2024·商丘高一检测)如图,菱形ABCD的边长为6,=14,=34,则·的取值范围为__________.

【解析】设∠BAD=θ,θ∈(0,π),则·=36cosθ,因为=14,=34,所以=+=+14=+14,=+=34+34=3434,所以·=+14·3434=34·34+316316·=34×36cosθ34×36+316×36=814cosθ81因为θ∈(0,π),所以cosθ∈(1,1),所以812<814cosθ所以·的取值范围为812,0.答案:812,08.(5分)已知菱形ABCD的边长为a(a>0),则||的取值范围是__________.

【解析】如图所示:易知=+,且||=||=a,<,>∈(0,π),所以||2=(+)2=a2+a2+2a2cos<,>,易知cos<,>∈(1,1),所以||2=a2+a2+2a2cos<,>∈(0,4a2),因此||∈(0,2a).答案:(0,2a)9.(5分)(2023·深圳高一检测)图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘,已知图二中正六边形的边长为2,圆O的圆心为正六边形的中心,半径为1,若点M在正六边形的边上运动,动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称,则·的取值范围是__________.

【解析】连接AB,OM,如图所示:·=(+)·(+)=+·+·+·=+·(+)1=1.根据图形可知,当点M位于正六边形各边的中点时,|MO|有最小值为3,此时1=2,当点M位于正六边形的顶点时,|MO|有最大值为2,此时1=3,故2≤·≤3,即·的取值范围是[2,3].答案:[2,3]10.(10分)(2024·泰安高一检测)已知a,b,c为平面向量,|a|=2,|b|=3,|c|=1,(ac)·(bc)=5.(1)求a·b的取值范围;(2)设a+b与ab的夹角为β,求cosβ的最小值.【解析】(1)因为(ac)·(bc)=5,所以a·bc·(a+b)+c2=5,因为|c|=1,所以a·bc·(a+b)=4,设c与a+b的夹角为θ,θ∈[0,π],由上式可得a·b|c|·|a+b|·cosθ=4.又|a+b|=(a+b)2所以cosθ=a·令m=a·b,a与b的夹角为α,α∈[0,π],所以m=a·b=|a|·|b