四川省内江市资中县球溪高级中学2024-2025学年高三上学期期末数学试题

球溪高级中学学年（上）高三期末考试（普通班）数学考生注意：本试卷分选择题和非选择题两部分上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效回答非选择题时，将答案写在答题纸上写在本试卷上无效.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求解分式不等式，再利用交集定义即可求得.【详解】由可得：，即，解得或，故,因，则．故选：C2.已知复数，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】计算两复数模可得答案.第1页/共18页【详解】虚数不能比较大小，，，故．故选：B3.已知向量，，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由向量平行的坐标表示可得，然后可得答案.【详解】因为，所以，解得，所以．故选：A4.设为数列前项和，若，则的值为（）A.8B.4C.D.【答案】D【解析】【分析】易知数列前和求出通项公式，再由等比数列的性质化简求得结果.【详解】当时，，∴，当时，，则，∴，即数列是首项，公比的等比数列，即，∴故选：D.5.为了配合调配水资源，某市欲了解全市居民的月用水量.若通过简单随机抽样从中抽取了1000户进行调查，得到其月用水量的平均数为9吨，则可推测全市居民用户月用水量的平均数（）A.一定为9吨B.高于9吨C.约为9吨D.低于9吨【答案】C第2页/共18页【解析】【分析】由样本估计总体相关知识即可求解.【详解】推测全市居民用户月用水量的平均数是估计值，约为9吨.故选：C.6.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式、两角和与差的正弦公式即可求解.【详解】因为，所以，即.故选：A.7.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第3页/共18页【分析】结合图形可得新增了16个全等的小三角形面积，结合题意可得小三角形为等腰直角三角形，设其直角边为x，由可得x，即可得答案.【详解】由题设分析如下图，转动了45°后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积，显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为x，则斜边为，则，解得．由几何关系得1个小三角形的面积为，所以增加的面积为．故选：A8.已知函数，若关于的方程有2个不相等的实数解，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，转化为与的图象有2个交点，分、和，三种情况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解.【详解】由题意，关于的方程有2个不相等的实数解，即与的图象有2个交点，如图所示，第4页/共18页当，直线与的图象交于点，又当时，，故直线与（）的图象无公共点，故当时，与的图象只有一个交点，不合题意；当，直线与曲线（）相切时，此时与的图象有2个交点，设切点，则，又由过点，所以，解得，所以；当时，若，则，由，可得，所以当时，直线与的图象相切，由图得当时，直线与的图象有2个交点．综上所述，实数的取值范围是．故选：C．36分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的导函数为的图象如图所示，则下列说法正确的是（）第5页/共18页A.在上单调递增B.在上单调递减C.在处取得极小值D.在处取得极大值【答案】ACD【解析】【分析】根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解.【详解】当时，单调递增，由图可知时，，单调递增，故A正确；当时，，单调递增；当时，，单调递减，故B错误；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处取得极小值，故C正确；当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取得极大值，故D正确.故选：ACD.10.已知抛物线的焦点为Fl且与x轴交于点QP是lPF与抛物线交于M，N两点，若，则（）第6页/共18页A.B.C.D.【答案】ABC【解析】得到关于的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求逐项判断.C:抛物线的焦点为，C正确；对D,设,，,，，到准线的距离分别为，，由抛物线的定义可知，，于是．，则直线的倾斜角为或，斜率为，因为，故，D错误；对AB:,，直线的方程为，将，代入方程，并化简得，，于是．,故AB正确；故选：ABC．已知函数，下列命题正确的是（）第7页/共18页A.函数的初相位为B.若函数的最小正周期为，则C.若，则函数的图象关于直线对称D.若函数的图象关于直线对称，则的最小值为1【答案】ACD【解析】【分析】根据初相位的概念，可判断A的正误；根据最小正周期公式，可判断B的正误，根据的对称性，代入计算，即可判断C、D的正误，即可得答案.【详解】对于A，根据解析式，可得的初相位为，故A正确；对于B：若的最小正周期为，则，解得，故B正确；对于C：若，则，当时，，，所以函数的图象关于直线对称，故C正确；对于D：若函数的图象关于直线对称，则，解得，又，所以的最小值为1，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则的面积为__________.【答案】6【解析】【分析】根据题意和双曲线标准方程可推出椭圆的值，根据椭圆与双曲线定义可求出的值，根据三边关系即可求出面积.【详解】由题可知，的离心率为2，则的离心率为，则.第8页/共18页根据对称性，不妨设在第一象限，则，解得，则，所以为直角三角形，则的面积为.故答案为：6.13.已知函数的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】利用换元法结合函数图象分析方程的根的情况即可.【详解】作出函数的大致图象，如图所示，令，则可化为，则或，则关于的方程恰有5个不同的实数解等价于的图象与直线的交点个数之和为5个，由图可得函数的图象与直线的交点个数为2，所以的图象与直线的交点个数为3个，即此时，解得.故答案为：.第9页/共18页14.某市政府决定派遣8男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有_________种.（用数字作答）【答案】180【解析】【分析】由派遣8名干部分成两个小组，每组至少3人，可得分组的方案有3、5和4、4两类，分别求得两类分法的种数，再由分类计数原理，即可求解．【详解】由题意，派遣8名干部分成两个小组，每组至少3人，可得分组的方案有3、5和4、4两类，第一类有种；第二类有种，由分类计数原理，可得共有种不同的方案.【点睛】本题主要考查了分类计数原理，及排列、组合的应用，其中解答中根据题意合理分组，分别求得两组分法的种数，再由分类计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求；（2）若，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】1）由正弦定理及三角恒等变换化简得解；（2）由余弦定理及三角形面积公式计算得解.【小问1详解】因为，所以由正弦定理得，所以，，第10页/共18页即．因为，所以．由于，所以．【小问2详解】由余弦定理，得，解得或所以，所以的面积．16.已知函数，其中.（1）求函数的单调区间；（2）若在上单调递增，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】1）求导，分和两种情况，结合导数符号判断原函数的单调性；（2）分析可知在上恒成立，令，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解.【小问1详解】由题意可知：的定义域为，且，当时，由于，所以恒成立，从而在上单调递增；当时，若则，；若，则；可知在上单调递增，在上单调递减.第11页/共18页综上所述：当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】因为，则，若在上单调递增，可知在上恒成立，即在上恒成立，令，则，若，当趋近于，可知趋近于；若，当时，；当时，；可知内单调递减，在内单调递增，则的最小值为，可得，解得，所以实数的取值范围为.17.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且，F为棱PCADF与棱PB交于点E．（1）求证：平面ABCD．第12页/共18页（2）若，且平面平面ABCD，求异面直线PB与DF所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）由底面ABCD是正方形，可得，进而可得平面PBC．然后由线面平行性质可得，即可完成证明；（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后由，结合题意可得，对应坐标，即可得答案.【小问1详解】因为底面ABCD是正方形，所以，因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又因为平面ADFE，平面平面，所以，因为平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD．【小问2详解】因为平面平面ABCD，平面平面，，平面PAD，所以平面ABCD，又由四边形ABCD为正方形，得．以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．由可得，又，则，即，又由（1），则，得则，因所以，所以，．设异面直线PB与DF所成的角为，第13页/共18页，故异面直线PB与DF所成角的余弦值为．18.已知、是双曲线的左、右焦点，直线经过双曲线的左焦点，与双曲线左、右两支分别相交于、两点.（1）求直线斜率的取值范围；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】1的方程为置关系可得出关于实数的不等式组，即可解得的取值范围；（2）设直线的方程为，设点、，由平面向量的坐标运算可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理求出的值，可得出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.【小问1详解】第14页/共18页解：在双曲线中，，，则，该双曲线的左焦点为设直线的方程为，设点、，联立可得，因为直线与双曲线左、右两支分别相交于、两点，所以，，解得，因此，直线的斜率的取值范围是.【小问2详解】解：因为，，由可得，则，当直线与轴重合时，则点、，，，此时，，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，由（1）可得，则或，第15页/共18页由韦达定理可得，则，，即，解得，则，所以，.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围．（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围．（4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．19.列的一次“和扩充”经过第一次“和扩充”后得到数列“和扩充”后得到数列．设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为．（1）若，求；（2）求不等式的解集；（3）是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由．【答案】（1）（2）（3）或【解析】1）根据题意得到第二次“和扩充”后得到数列，从而计算出；（2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，则经第次“和扩充”后增加的项数为，得到，构造等比数列，求出，从而得到不等式，求出解集；第16页/共18页（3）得到，从而利用累加法求和得到，从而得到结论.【小问1详解】，第一次“和扩充”后得到数列，第二次“和扩充”后得到数列，；【小问2详解】数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，数列经过次“和