湖北省襄阳市第四中学2024-2025学年高一下学期2月月考数学试题

襄阳四中级高一年级2月月考数学试卷一、单选题1.函数的定义域为（A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由对数式的真数大于0，然后解三角不等式可得答案.【详解】函数的定义域为：，则，解得：，所以函数的定义域为故选：D.2.已知幂函数在上单调递减，则（）A.2B.16C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意列出方程组，求得m的值，即得函数解析式，代入求值可得答案.【详解】由题意得，解得，所以，故,故选：D3.已知且，若，则（）第1页/共19页A.B.C.D.【答案】C【解析】分析】先根据指数式对数式互化求出，再根据换底公式转化，再根据求解即可.【详解】由，得，即，所以，所以.故选:C.4.的终边逆时针旋转单位圆交点的纵坐标为，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】有三角函数的定义得，然后利用二倍角的余弦公式求出，求解即可.【详解】将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，所以，所以，所以，故选：B.5.要得到函数的图象，只需要将函数y＝cosx的图象（）第2页/共19页A.向左平行移动个单位长度，横坐标缩短为原来倍，纵坐标不变．B.向左平行移动个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变．C.向右平行移动个单位长度，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变．D.向右平行移动个单位长度，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变．【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函数图象的平移和伸缩变换,得到由y＝cosx变换为的方式.【详解】解:要得到函数的图象,只需要将函数y＝cosx的图象向左平移个单位,得到y＝cos(x),再把横坐标缩短为原来的,纵坐标不变即可.故选:B.【点睛】本题考查了三角函数图象的平移和伸缩变换,属基础题.6.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】第3页/共19页【分析】根据图象结合五点法可得，即可得函数解析式.【详解】设的最小正周期为，由图可知，，即，且，所以，此时，将代入得，即，且，则，可得，解得，所以.故选：D.7.若定义域均为的函数，满足：，且，使得，则称与互为“亲近函数”已知与互为“亲近函数”，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由函数的单调性知是的唯一零点，根据“亲近函数”的定义可知在内存在零点，利用换元法，分离参数后结合对勾函数的性质，即可求解.【详解】在上为增函数，且，故是的唯一零点，要使和互为“亲近函数”，则存在，使得，即在内存在零点，所以方程有解，令，则，第4页/共19页故，易知不是此方程的解当时，有，由对勾函数的性质可知，，故的取值范围是.【点睛】关键点点睛：关键在于弄清“亲近函数”的定义，求得的唯一零点，从而可得在内存在零点，结合换元法求解即可.8.已知函数恰有两个对称中心在区间上，且，则的所有可能取值之和是（）A.6B.C.D.16【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质结合对称中心个数分类求出的值.【详解】函数，其最小正周期，由函数在区间上恰有两个对称中心，得，即，解得，又，则当是函数图象对称轴时，，解得，此时或，或；当与为周期长的区间两个端点时，，解得，符合题意，所以的所有可能取值之和是.故选：D求出是关键.二、多选题9.下列说法正确的是（）第5页/共19页A.若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，1]B.若函数过定点，则函数经过定点C.幂函数在是增函数D.图象关于点成中心对称【答案】BCD【解析】【分析】根据抽象函数定义域判断A；根据函数图像平移判断BD；根据幂函数的性质判断C.【详解】对于A，若函数的定义域为，则函数的定义域为，故A错误；对于B，函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数图像，由于过定点，故函数经过定点，B正确；对于C，幂函数在是减函数，由于，定义域为，，在C正确；对于D，，其图像由向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，且图像关于原点对称，故图像关于点成中心对称，D正确.故选：BCD10.已知角满足，则（）A.0B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知条件可得，然后利用同角三角函数的关系求出，再化简计算第6页/共19页即可得答案【详解】由，得，所以，则，化简整理得，所以，或，当时，，所以当时，，当时，，当时，，故选：ACD已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（）A.的周期为B.C.的所有零点之和为D.【答案】BCD【解析】【分析】根据题意由的奇偶性和对称性分析的周期判断A；结合已知结合对称性得，，，，进而利用周期性求和判断B；的零点可看作与的图象交点的横坐标，作出与的图象，根据中心对称即可判断C；结第7页/共19页合与的函数值的符号，根据奇函数性质和周期性判断D.【详解】由为偶函数，得，即，函数的图象关于直线对称，由为奇函数，得，即，则，的图象关于点对称，因此函数是周期为的周期函数，A错误；由当时，，得，而，，，因此，B正确；的零点可看作与的图象交点的横坐标，作出与的图象，观察图形知，直线与的图象共有个交点，且它们关于点成中心对称，所以所有零点之和为，C正确；当时，，，与均为奇函数，则当时，因此当时，，又与的周期都为，所以，D正确．故选：BCD第8页/共19页【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1关于直线关于点中心对称，则，反之也成立；（2的周期为.三、填空题12.函数的对称中心为________.【答案】【解析】【分析】利用正切函数的对称中心求解.【详解】令，解得，所以的对称中心为，故答案为：13.若函数，则的解集为____________【答案】【解析】【分析】做出函数的大致图象，结合函数的单调性，把，转化为，即可求解.【详解】由题意，做出函数的大致图象，如图所示，可得函数在上单调递减函数，第9页/共19页又由，可得，解得，即的解集为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了分段函数的性质，其中解答中当题设条件中出现“”考查了推理论证能力以及数形结合思想.14.已知实数，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】将原恒成立问题转化为求，利用辅助角公式及三角函数的性质求得最值，然后对分类讨论去绝对值求其最值即可.【详解】当对对任意，不等式恒成立时，又，，而，当且仅当时等号成立，第10页/共19页故所以，即，要取最大值，则必有，两边平方整理得，所以当时，，当时，，所以，所以，当时，，所以，所以，当时，，所以，所以，当时，，所以，所以，综上所述：的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用辅助角公式及三角函数的性质求出，另外遇到绝对值可以分类讨论去绝对值处理.四、解答题15.已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．第11页/共19页（1）求；（2）求的值；（3）若角是三角形内角，且，求的值．【答案】（1）；（2）（3）或1【解析】1）根据角终边过点，利用三角函数的定义求解；（2）由（1）得到，根据，利用商数关系求解；（3）由，得到，由（1）得到，再和，利用两角差正弦公式求解.【小问1详解】解：因为角终边过点，所以点P到原点的距离为，所以；【小问2详解】由（1）知：，所以，第12页/共19页；【小问3详解】因为是三角形内角，且，所以，由（1）知：，所以，当时，，；当时，，.16.已知函数.（1）求该函数的单调递增区间；（2）若对任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】1）易得，再利用正弦函数的性质求解；（2）由得到，根据，得到，则由求解.第13页/共19页【小问1详解】，，令，，则，，故该函数的单调递增区间，；【小问2详解】对任意，都有可得，所以，又，所以，要满足对任意，都有，则有，解得：，所以实数的取值范围为.17.已知函数.（1）当时，求函数f（x）在x[﹣1，1]上的值域；（2）若函数f（x）在实数集R上存在零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）2）.【解析】【分析】（12）转第14页/共19页化为，再通过换元转化为有正根，分，和三种情况讨论，求的取值范围.1）根据题意，当时，，设t＝2x，则，∴，；（2），即令，所以（*）有正根，设（*）的两根为t，t2当a＜0时，即可，即1+8a≥0，解得；当a＝0时，t＝1符合；当a＞0时，，显然符合题意，故实数a的取值范围．【点睛】本题考查与指数函数有关的二次函数，一般都需通过换元，转化为二次函数分析问题，需注意换元时，中间变量的取值范围.18.筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田.如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米.（1）盛水筒经过秒后到水面距离为米，求筒车转动一周的过程中，关于的函数解析式；（2正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入第15页/共19页盛水槽.（参考数据：）【答案】（1），（2）秒【解析】1）首先以点为原点，建立平面直角坐标系，利用三角函数表示；（2）由题意转化为，转化为三角不等式问题，即可求解.【小问1详解】以简车中心为原点，与水面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，由题知，，又筒车半径为6，点的纵坐标为3，则，由题知，，解得，，故，；【小问2详解】如图，作弦平行且等于盛水槽，则在中，，，，则，则距离水面的高度，盛水筒转到盛水槽的正上方（即第16页/共19页即当时符合题意，则，即，解得，因为，所以盛水筒转一圈的过程中，能把水倒入盛水槽的时间为秒.19.已知函数内的任意实数及给定的非零常数，恒有成立，则称函数是上的“级递减类周期函数”，类周期为；若恒有成立，则称函数是上的“级类周期函数”，类周期为．（1）判断函数是不是上的类周期为1的“2级递减类周期函数”，并说明理由．（2是在上的“级类周期函数”在上严格单调递增，当时，．求当时，函数的解析式，并求实数的取值范围．（3）是否存在非零实数，使函数是上的类周期为的“级类周期函数”？给出结论并证明你的结论．【答案】（1）函数是上的类周期为1的2级递减类周期函数，理由见解析（2），（3）存在，证明见解析【解析】1）利用P级递减周期函数定义，计算验证作答.（2）根据给定条件，利用P级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作答.（3）假定存在符合题意的k值，利用P级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答.【小问1详解】依题意，函数的定义域是，第17页/共19页，即任意成立，所以函数是上的类周期为1的2级递减类周期函数．【小问2详解】因为是在上的级类周期函数，类周期，所以，即，而当时，，当时，，；当时，，则；当时，，则；当时，，则．并且有当时，；当时，；当时，；当时，．因在上严格单调递增，则有解得，所以当时，，且．【