导学案数学第六章63632平面向量的正交分解及坐标表示

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示【学习目标】1.借助平面直角坐标系,理解平面向量的正交分解及坐标表示.2.掌握两个向量加减运算的坐标表示.【素养达成】数学抽象、直观想象数学运算一、平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量.2.基底:设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.3.向量的坐标:向量a=xi+yj,有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y).4.特殊向量:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).二、平面向量加、减运算的坐标表示1.两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有项目符号表示加法a+b=(x1+x2,y1+y2)减法ab=(x1x2,y1y2)2.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.例如,已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2x1,y2y1).【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)如果a=xi+yj,那么向量a的坐标为(x,y),即a=(x,y).(×)提示:i,j不一定是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量.(2)向量的坐标与向量终点的坐标一致.(×)提示:向量的起点为原点时,向量的坐标与向量终点的坐标一致;否则不一致.(3)平面上一个向量对应平面上唯一的坐标.(√)(4)设i=(1,0),j=(0,1),向量a=2i3j,则向量a的坐标为(2,3).(√)类型一平面向量的坐标表示(直观想象)【典例1】(1)(教材提升·例3)如图所示,e1,e2为单位正交基底,则向量a,A.(3,4),(2,2) B.(2,3),(2,3)C.(2,3),(2,2) D.(3,4),(2,3)【解析】选C.根据平面直角坐标系,可知a=2e1+3e2,b=2e12e2,所以a=(2,3),b=(2,2).(2)在直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别计算出它们的坐标.【解析】设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),则a1=|a|cos45°=2×22=2,a2=|a|sin45°=2×22=b1=|b|cos120°=3×(12)=3b2=|b|sin120°=3×32=3c1=|c|cos(30°)=4×32=23c2=|c|sin(30°)=4×(12)=因此a=(2,2),b=(32,332),c=(23【总结升华】求向量坐标的方法(1)定义法:根据平面向量坐标的定义得a=xi+yj=(x,y),其中i,j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量.(2)平移法:把向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标.(3)求差法:先求出这个向量的起点、终点坐标,再用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标.提醒:向量a=(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有等号.【即学即练】1.已知O为坐标原点,点A在第二象限,||=2,∠xOA=120°,则向量的坐标为________.

【解析】由∠xOA=120°可得∠yOA=30°,由于||=2,所以A(1,3),故=(1,3).答案:(1,3)2.如果将=(32,12),绕原点O逆时针方向旋转120°得到,则的坐标是()A.(12,32) B.(32,12) C.(1,3) D.(【解析】选D.向量与x轴正向夹角的正切值tanα=33,则α=30°.绕原点O逆时针旋转120°得到,OB与x轴正向夹角为120°+30°=150°,可见OB与OA相对y轴对称.因此B点的坐标为(32,12).类型二平面向量加、减运算的坐标表示(数学运算)【典例2】(1)设i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=i+j,则a+b与ab的坐标分别为__________,__________.

【解析】因为i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=i+j,所以a=3i+4j=(3,4),b=i+j=(1,1),所以a+b=(2,5),ab=(4,3).答案:(2,5)(4,3)(2)已知2024个向量的和为零向量,且其中一个向量的坐标为(8,15),则其余2023个向量的和的坐标为__________.

【解析】设其余2023个向量的和的坐标为(x,y),则(x,y)+(8,15)=(0,0),解得(x,y)=(8,15),所以其余2023个向量的和的坐标为(8,15).答案:(8,15)【总结升华】平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.【即学即练】1.已知=(2,1),=(4,1),求的坐标.【解析】==(4,1)(2,1)=(6,2).2.在▱ABCD中,AC为一条对角线.若=(2,4),=(1,3),求的坐标.【解析】因为=(1,3),=(2,4),所以===(1,1),所以==(3,5).类型三平面向量坐标运算的应用(逻辑推理、数学运算)角度1求参数的值(范围)【典例3】已知点A(λ,3),B(5,2λ)(λ∈R),C(4,5).若=+,试求λ为何值时,(1)点P在第一、三象限角平分线上;(2)点P在第一象限内.【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),则=(x,y)(λ,3)=(xλ,y3),又因为=(5,2λ)(λ,3)=(5λ,2λ3),=(4,5)(λ,3)=(4λ,2),所以=+=(5λ,2λ3)+(4λ,2)=(92λ,2λ1),所以x-λ若P在第一、三象限角平分线上,则9λ=2λ+2,解得λ=73(2)由(1)知,x若P在第一象限内,则9所以1<λ<9.【总结升华】向量坐标运算中求参数值(范围)的步骤(1)表示出向量或者点的坐标;(2)利用点或者坐标的性质构造方程或者不等式.【即学即练】(2023·苏州高一检测)已知向量=(m,5),=(4,n),=(7,6),则m+n的值为()A.6 B.8 C.10 D.12【解析】选B.因为=(m,5),=(4,n),则=(7,6)==(4m,n5),所以4-m=7n-5=6,即m=3,n角度2求点的坐标【典例4】(易错·对对碰)(1)已知▱ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为A(3,7),B(4,6),C(1,2),求顶点D的坐标.(2)已知一个平行四边形的三个顶点坐标为A(3,7),B(4,6),C(1,2),求此平行四边形顶点D的坐标.【解析】(1)设点D的坐标为(x,y),因为=,所以(4,6)(3,7)=(1,2)(x,y),所以1-x所以顶点D的坐标为(0,1).(2)设点D的坐标为(x,y),当平行四边形为ABCD时,=,所以(4,6)(3,7)=(1,2)(x,y),所以1-x所以D(0,1).当平行四边形为ABDC时,同理可得D(2,3).当平行四边形为ADBC时,同理可得D(6,15).综上可得点D可能为(0,1)或(2,3)或(6,15).【总结升华】向量坐标运算中求点的坐标的方法(1)设点的坐标,结合几何图形的特征,利用向量相等构造方程求解;(2)利用向量运算,将所求向量用已知向量表示,通过坐标运算求出向量的坐标,进而求出点的坐标.【即学即练】已知边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角.求点B,点D,,及点C的坐标.【解析】由题意,点A在原点,AB与x轴正半轴成30°角,可得∠BAx=30°,∠DAx=90°+30°=120°.设B(x1,y1),D(x2,y2).则x1=||cos30°=1×32=32y1=||sin30°=1×12=12,所以B(32,1同理可得x2=||cos120°=1×(12)=12,y2=||sin120°=1×32=3所以D(12,32所以=(32,12),=(12,32由于==(32,12),所以C(3-12,【补偿训练】已知点A(2