山西省太原市2024-2025学年高三上学期期末数学试题2

2024～2025学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷（考试时间：上午8:0010:00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.设复数满足，则共轭复数（）A. B. C. D.3.椭圆的焦距为（）A.2 B. C.4 D.4.已知向量，满足，且，，则与的夹角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°5.已知等比数列的公比为，且，则“”是“是递减数列”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件6.已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（）A事件与事件互斥 B.事件与事件相互独立C.事件与事件相互对立 D.事件与事件相互独立7.已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，若，则（是坐标原点）的面积为（）A.2 B. C. D.8.已知函数对于任意实数，都有且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数的图象关于对称，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期 B.的图象关于点对称C.在上递增 D.在上递减10.棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列结论正确的是（）A.动点的轨迹的长度为B.的最小值为C.三棱锥体积的最小值为D.当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为11.已知曲线：（，），点，点是坐标原点，则下列结论正确的是（）A.当，时，曲线关于点对称B.当，时，的最小值为1C.当，时，曲线围成的面积大于D.当，时，的最大值是三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12已知，则__________.13.在正项数列中，，是的前项和，且满足，若，则的前项和______.14.十六进制中分别用、、、、、、、、、、表示十进制中、、、、、、、、、、这十六个数字.现将、、、、、、、、、、这十六个数字全部填入右图个空格中（只需补充未填数字），要求每行从左到右，每列从上到下，依次地增大，则所填空格的不同方法种数为（用数字作答）______.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）证明：；（2）若是锐角三角形，求的取值范围.16.函数，.（1）求函数单调区间；（2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围.17.如图，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，平面平面，.（1）若，，求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.18.如图所示是竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线段都表示通道，竖直线段有一条的为第1层，有2条的为第2层，，依此类推，现有一个小球从第1层的通道里向下运动，在通道的分叉处，小球等可能地向左或向右落下，然后继续下落.记小球落入第层第个竖直通道（从左向右）的概率为，.（1）求，，，的值，并写出的表达式（只需写出结果，不必写过程）；（2）利用（1）的结论，证明：；（3）设小球落入第层第个竖直通道的得分为，其中，，证明：的数学期望.19.已知双曲线：（，）的右焦点为，右顶点为，直线：与轴的交点为，且.