2024-2025学年试题数学三十一平面与平面平行的判定定理

三十一平面与平面平行的判定定理(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)已知a,b,c,d是四条直线,α,β是两个不重合的平面,若a∥b∥c∥d,a⊂α,b⊂α,c⊂β,d⊂β,则α与β的位置关系是()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.以上都不对【解析】选C.由图1和图2可知,α与β平行或相交.2.(5分)(多选)下列命题正确的是()A.如果两个平面(不重合)不相交,那么它们平行B.如果一个平面内有无数条直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行C.空间两个相等的角所在的平面平行.D.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面,那么该三角形所在的平面与这个平面平行【解析】选AD.由两个平面平行的定义可知A正确;对B,若这无数条直线都平行,则这两个平面可能相交,B错误;对C,这两个角可能在同一平面内,故C错误;一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,由面面平行的判定定理可知,该三角形所在的平面与这个平面平行,故D正确.3.(5分)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,m∥β,若使α∥β成立,则需增加的条件是()A.n是直线且n⊂α,n∥βB.n,m是异面直线且n∥βC.n,m是相交直线且n⊂α,n∥βD.n,m是平行直线且n⊂α,n∥β【解析】选C.要使α∥β成立,需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,n,m是相交直线且n⊂α,n∥β,m⊂α,m∥β,由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.4.(5分)在长方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则下列结论中正确的是()A.AD1∥平面EFGHB.BD1∥GHC.BD∥EFD.平面EFGH∥平面A1BCD1【解析】选D.在长方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,在A中,AD1与BC1平行,而BC1与平面EFGH相交,故AD1不平行于平面EFGH,故A错误;在B中,BD1∩CD1=D1,CD1∥GH,故BD1不可能平行于GH,故B错误;在C中,BD∩A1B=B,A1B∥EF,故BD与EF不可能平行,故C错误;在D中,EF∥A1B,FG∥BC,A1B∩BC=B,EF∩FG=F,所以平面EFGH∥平面A1BCD1,故D正确.【补偿训练】如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E在B1D1上,F在A1B1上,且B1EB1F=B1D1B1A1,过E作EH∥B1B交BD于A.平行 B.相交C.垂直 D.以上都有可能【解析】选A.在平面A1B1C1D1中,因为B1EB1F=B1D1B1A1,所以EF∥A1D1,由正方体ABCDA1B1C1D1得,B1C1∥A1D1,所以EF∥B1C1,又因为EF⊄平面BB1C1C,B1C1⊂平面BB1C同理可得,EH∥平面BB1C1C,又因为EF∩EH=E.EF,EH⊂平面EFH,所以平面EFH∥平面BB1C1C.5.(5分)(多选)对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件中,可以判定α与β平行的条件有()A.存在平面γ,使得α,β都平行于γB.存在平面γ,使得α,β都垂直于γC.α内有不共线的三点到β的距离相等D.存在异面直线l,m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β【解析】选AD.对于A,存在平面γ,使得α,β都平行于γ,所以两个平面平行,所以A正确;对于B,设正方体的一个底面为γ,两个相邻侧面分别为α,β,满足α⊥γ,β⊥γ,但α⊥β,所以B不正确.对于C,不能判定α与β平行,如α内不共线的三点不在β的同一侧时,α与β相交,所以C不正确;对于D,可以判定α与β平行,可在平面α内作l'∥l,m'∥m,则l'与m'必相交.又因为l∥β,m∥β,所以l'∥β,m'∥β,所以α∥β,所以D正确.6.(5分)已知在正三棱柱ABCA1B1C1中,G是A1C1的中点,过点G的截面与侧面ABB1A1平行,若侧面ABB1A1是边长为4的正方形,则截面的周长为()A.6 B.8 C.10 D.12【解析】选D.如图,取B1C1的中点M,BC的中点N,AC的中点H,连接GM,MN,HN,GH,则GM∥HN∥AB,MN∥GH∥AA1,所以有GM∥平面ABB1A1,MN∥平面ABB1A1.又GM∩MN=M,所以平面GMNH∥平面ABB1A1,即四边形GMNH为过点G且与侧面ABB1A1平行的截面.易得此截面的周长为4+4+2+2=12.7.(5分)正方体的六个面中相互平行的平面有__________对.

【解析】由正方体模型可知,六个面中共有3对相对的面互相平行.答案:38.(5分)如图所示,在长方体ABCDA'B'C'D'中,P,Q,R分别为BC,CD,CC'的中点.(1)直线B'D'与平面PQR的位置关系是________;

(2)平面AB'D'与平面PQR的位置关系是________.

【解析】(1)如图所示,连接BD,则BD∥B'D',因为P,Q分别为BC,CD的中点,所以PQ∥BD,所以B'D'∥PQ.因为B'D'⊄平面PQR,PQ⊂平面PQR,所以B'D'∥平面PQR.(2)如图所示,连接BC'.因为P,R分别为BC,CC'的中点,所以PR∥BC'.又因为AD'∥BC',所以AD'∥PR.因为AD'⊄平面PQR,PR⊂平面PQR,所以AD'∥平面PQR.由(1)可知B'D'∥平面PQR,又因为B'D'∩AD'=D',B'D',AD'⊂平面AB'D',所以平面AB'D'∥平面PQR.答案:(1)平行(2)平行【补偿训练】如图所示,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是__________.

【解析】由题意得A1E∥BE1,A1E⊄平面BCF1E1,BE1⊂平面BCF1E1,所以A1E∥平面BCF1E1.同理,A1D1∥平面BCF1E1.又因为A1E∩A1D1=A1,A1E,A1D1⊂平面EFD1A1,所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.答案:平行9.(5分)a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,现给出六个命题.①a∥cb∥c⇒a∥b;②a③α∥cβ∥c⇒α∥β;④α⑤α∥ca∥c⇒a∥α;⑥其中正确的命题是________.(填序号)

【解析】①是平行公理,正确;②中a,b还可能异面或相交;③中α,β还可能相交;④是平面平行的传递性,正确;⑤还有可能a⊂α;⑥也是忽略了a⊂α的情形.答案:①④10.(10分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P,Q分别是平面AA1D1D,平面A1B1C1D1的中心,证明:(1)D1Q∥平面C1DB;(2)平面D1PQ∥平面C1DB.【证明】(1)由题可知D1Q∥DB.因为D1Q⊄平面C1DB,DB⊂平面C1DB,所以D1Q∥平面C1DB.(2)由题可知D1P∥C1B.因为D1P⊄平面C1DB,C1B⊂平面C1DB,所以D1P∥平面C1DB.由(1)知,D1Q∥平面C1DB,又因为D1Q∩D1P=D1,D1Q,D1P⊂平面D1PQ,所以平面D1PQ∥平面C1DB.【综合应用练】11.(5分)已知直线l,m,平面α,β,下列叙述正确的是()A.l∥β,l⊂α⇒α∥βB.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α⇒α∥βC.l∥m,l⊂α,m⊂β⇒α∥βD.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M⇒α∥β【解析】选D.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,直线AB∥平面DC1,直线AB⊂平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误.取BB1的中点E,CC1的中点F,连接EF,则EF∥平面AC,B1C1∥平面AC.又因为EF⊂平面BC1,B1C1⊂平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误.直线AD∥B1C1,AD⊂平面AC,B1C1⊂平面BC1,但平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误.选项D是两个平面平行的判定定理,所以选项D正确.12.(5分)(多选)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列结论正确的有()A.BM∥平面DEB.BM∥平面AFDC.平面BDM∥平面AFND.平面BDE∥平面NCF【解析】选ACD.展开图可以折成如图①所示的正方体.在正方体中,连接AN,如图②所示.因为AB∥MN,且AB=MN,所以四边形ABMN是平行四边形.所以BM∥AN.所以BM∥平面DE.而BM∩平面AFMD=M,所以A正确,B错误;如图③所示,连接NF,BE,BD,DM,CF,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以C,D正确.13.(5分)如图,在下列四个正方体中,P,R,Q,M,N,G,H为所在棱的中点,则在这四个正方体中,阴影平面与P,R,Q三点所在平面平行的是________.

【解析】由题意可知,经过P,Q,R三点的平面如图:截面为六边形PQEFRS(E,F,S为所在棱的中点),可知N在经过P,Q,R三点的平面上,所以②③错误;MC1与QE是相交直线,所以①不正确,只有④正确.答案:④14.(10分)如图,AB是圆柱OO1底面的直径,PA是圆柱OO1的母线,C是圆O上的点(异于A,B两点),Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.【证明】连接OG并延长交AC于M,连接QM,QO.由G为△AOC的重心,得M为AC中点,由Q为PA中点,得QM∥PC.又因为O为AB中点,得OM∥BC.因为QM∩MO=M,所以平面OMQ∥平面PBC,因为QG⊂平面OMQ,所以QG∥平面PBC.15.(10分)(2024·天津高一期中)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,E,F分别是PC,AD的中点.(1)求证:DE∥平面PFB;(2)若M为BC的中点,求证平面EMD∥平面PFB.【证明】(1)取PB的中点N,连接NE,FN,因为底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,且E,F分别是PC,AD的中点,所以NE∥BC,且NE=12BC,FD=