工程力学（第2版）课件：杆件的应力与强度

工程力学

1杆件的应力与强度

6.1材料在拉伸、压缩时的力学性能6.2拉（压）杆的应力与强度计算6.3平面弯曲梁的应力与强度计算6.4梁的合理强度设计本章学习内容

A=10mm2A=100mm210kN10kN100kN100kN哪根杆先破坏?6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能6.1.1应力的概念当面积ΔA趋于零时，分布内力的大小将趋于一定极限(即总应力)，得到mnFM点

F微内力

A微面积mnFM点p总应力6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能6.1.1应力的概念总应力p

通常分解成:

垂直于截面的分量σ－－正应力平行于截面的分量τ－－切应力mnFp总应力

应力的单位是帕斯卡，简称为帕，符号为“Pa”1kPa=103Pa，1MPa=106Pa，1GPa=109Pa6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能6.1.2材料拉伸时的应力-应变曲线试验条件（1）常温:室内温度；（2）静载:以缓慢平稳的方式加载；（3）标准试件：采用国家标准统一规定的试件。6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能试验设备（1）微机控制电子万能试验机（2）游标卡尺

6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能拉伸试样先在试样中间等直部分上划两条横线这一段杆称为工作长度l（也称为标距）。

dl标距长试件：l=10d

或短试件：l=5d

6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能1.低碳钢拉伸时的应力-应变曲线

低碳钢是指其含碳量不超过0.25%的碳素结构钢，是塑性材料的典型代表。abcef拉伸图(F-

l

曲线)应力-应变图（σ-ε图）6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能2.脆性材料拉伸时的应力-应变曲线

铸铁可做为脆性材料的代表，其试验方法与上述低碳钢的试验方法相同。应力-应变图（σ-ε图）6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能6.1.3塑性材料拉伸时的力学性能仍以低碳钢做为塑性材料的代表，其变形可分为四个阶段。——强度极限——屈服极限a——比例极限b——弹性极限卸载后变形完全恢复①弹性阶段：c屈服或流动②屈服阶段：e③强化阶段：恢复抵抗变形的能力f④局部变形阶段：颈缩现象6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能①弹性阶段ob(oa+ab)aboa段为直线，表明

与

成线性关系：E—E=tanα，弹性模量，低碳钢的弹性模量大概为200GPa。比例极限

p——对应点a胡克定律6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能ab段为微弯的曲线，但仍然是弹性的，b点是弹性阶段的最高点。

a和b很接近，

因此通常取

e=

p

。ab比例极限

p弹性极限

e—对应点a—对应点b6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能此阶段应变显著增加，但应力基本不变——屈服现象。（流动）产生的变形主要是塑性的。屈服极限——对应点c屈服极限上屈服极限下屈服极限abc——对应点c’’c’’②屈服阶段bc’6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能此阶段材料内部的纤维受力而重新排列，抵抗变形的能力有所增强。应力升高，变形随之增长。强度极限

b

——对应点e,是材料拉断前所能

承受的最大应力。abce③强化阶段c’e6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能过e点后，试样在某一段内的横截面面积显著地收缩，出现颈缩现象，一直到试样被拉断。abcef④局部変形阶段ef6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由l变为l1，横截面积原为A

，断口处的最小横截面积为A1。

截面收缩率

伸长率

≧5%的材料，称作塑性材料

<5%的材料，称作脆性材料⑤材料的塑性指标（δ

和

ψ

）低碳钢的伸长率平均值约为δ=20%～30%，截面收缩率ψ=60%~70%，说明低碳钢是很好的塑性材料。6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载,当再次加载时,试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大。

e——弹性应变

p——塑性应变

abcdefOd′gh

e

p⑥冷作硬化6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能锰钢没有屈服和局部变形阶段强铝、退火球墨铸铁没有明显屈服阶段共同点：d5%，属塑性材料其他金属材料在拉伸时的力学性能6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能没有明显屈服阶段的塑性材料，一般规定以产生0.2%的塑性变形时所对应的应力值作为屈服极限，并称名义屈服极限，用σ0.2表示。其他金属材料在拉伸时的力学性能6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能铸铁在拉伸时的s—e曲线特点：s—e曲线从很低应力水平开始就是曲线；采用割线弹性模量。没有屈服、强化、局部变形阶段，只有唯一拉伸强度指标sb。伸长率非常小（0.4%～0.5%），拉伸强度sb基本上就是试件拉断时横截面上的真实应力。不宜作为受拉试件。6.1.4脆性材料拉伸时的力学性能铸铁是一种典型的脆性材料。6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能根据《金属材料室温压缩试验方法》(GB/T7314-2017)dLbbL一般L/d=2.5~3.5一般L/b=2.5~3.56.1.5材料压缩时的力学性能金属材料的压缩试验，通常做成很短的圆柱，以免试验时压弯。6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能压缩拉伸特点：低碳钢拉、压时的ss以及弹性模量E基本相同。压缩时由于横截面面积不断增加，试样横截面上的应力很难达到材料的强度极限，因而不会发生断裂。低碳钢压缩时s—e的曲线6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能特点：

压缩时的sb

和d均比拉伸时大得多，适合做受压构件；压缩时的弹性模量和拉伸时近似相等;试件最终沿着与横截面大致成45

的斜截面发生错动而破坏。铸铁压缩时s—e的曲线6.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能构件工作时容许承受的最大应力。以大于1的因数除极限应力，所得结果称为许用应力，用[

]表示。2、许用应力与安全系数1、极限应力

n—安全因数材料丧失工作能力时的应力称作极限应力，用

0

表示。塑性材料

0=

s，脆性材料

0

=

b。6.1.6材料的强度指标塑性材料

脆性材料ns取1.4~2.2nb取2.5~5.06.1

材料在拉伸、压缩时的力学性能轴向拉伸轴向压缩FFFF112211221

1

2

2

1

1

2

2

观察发现：①纵向线发生伸长，且伸长量相等；②横向线11、22发生相对平移，平移后仍与轴线正交。平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，仅沿轴向

产生了相对平移。6.2

拉（压）杆的应力与强度计算6.2.1拉（压）杆的应力1.横截面上的应力由此可推断出：横截面上各点的变形程度相同，受力相同；即轴力在横截面上均匀分布。由材料均匀性假设可得如下结论：轴向拉压杆横截面上各点的应力大小相等，方向垂直于横截面。FN

F即横截面上的正应力计算式为：σ

的正负号与轴力一致，拉应力为正，压应力为负。常用单位为Pa、MPa。6.2

拉（压）杆的应力与强度计算2.应力均匀分布假设的适用条件和应力集中应用这个公式时必须注意它的适用条件：1）杆横截面上正应力σ是均匀分布的规律，只是在杆上离力作用点较远部分才是正确的。2）外力的作用线必须与杆的轴线重合。3）杆必须是等截面的直杆。6.2

拉（压）杆的应力与强度计算FFFFxFσα--斜截面上的正应力

τα--斜截面上的切应力αF3.拉（压）杆斜截面上的应力6.2

拉（压）杆的应力与强度计算符号规定a：斜截面外法线与x轴的夹角。x

轴逆时针转到n轴，则a规定为正值；x

轴顺时针转到n

轴，则a规定为负值。σα：拉应力为正，压应力为负。τα：在保留段内任取一点，如果τα

对保留段内任一点之矩

为顺时针方向规定为正值，反之为负值。Fα（+）（+）（+）±6.2

拉（压）杆的应力与强度计算在横截面上。

在45°斜截面上。铸铁轴向受压时在45°斜截面上发生破坏。斜截面上最大应力值的确定Fα6.2

拉（压）杆的应力与强度计算【例6-1】有一受轴向拉力F=100kN的拉杆，它的横截面积A=1000mm2，试分别计算α=0°、

α=90°、

α=45°各截面上的σα和τα的数值。6.2

拉（压）杆的应力与强度计算6.2.2强度计算1．强度条件

杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力：对于等直杆，由于横截面面积相同，强度条件可写为：6.2

拉（压）杆的应力与强度计算6.2.2强度计算2．强度条件的应用①强度校核②设计截面尺寸③确定许可荷载6.2

拉（压）杆的应力与强度计算【例6-2】图示木构架，悬挂的重物为G=60kN。AB的横截面为正方形，横截面变长为200mm，许用应力[σ]

=10MPa。试校核AB支柱的强度。6.2

拉（压）杆的应力与强度计算【例6-3】三角架由AB和BC两根材料相同的圆截面杆构成。材料的许用应力[σ]

=100MPa，荷载F=10kN。试设计两杆的直径。6.2

拉（压）杆的应力与强度计算【例6-4】图示支架，AB杆的许用应力[σ1]

=100MPa，BC杆的许用应力[σ2]

=160MPa，两杆横截面面积均为A=150mm2，试求此结构的许用荷载F。6.2

拉（压）杆的应力与强度计算6.3.1平面弯曲的概念

以轴线变弯为主要特征的变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件通常称之为梁。6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算工程中的梁，其横截面通常多采用对称形状，如矩形、工字形、T字形、圆形等。6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合，这样的弯曲变形称为平面弯曲。平面弯曲是变形中最简单和最基本的情况。6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算6.3.2梁的正应力及其应用

1.试验观察与分析l当发生纯弯曲时Fs图M图梁受力弯曲后，如其横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。纯弯曲6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算1）变形前:①纵向直线互相平行；②横向直线与纵向线垂直。梁的纯弯曲实验2）变形后:①纵向直线变成弧线，且上边纤维缩短、下边纤维伸长；②横向线变形后仍为直线，且与弯曲了的纵向线正交；③但两条横向线间相对转动了一个角度。发生怎样的变形纵向线横向线6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算根据以上实验现象，可作出如下分析和假设：1）平面假设：①变形前杆件的横截面变形后仍为平面；②距中性轴等高处，变形相等。2）单向受力假设：根据平面假设和现象，将梁看成是由一层层的纵向纤维所组成，各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不相互挤压。即梁在变形后，同一层的纵向纤维长度的伸缩相同。3）中性层及中性轴：①中性层：梁弯曲时从变长的一层到变短的一层，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层；②中性轴：中性层与横截面的交线——O1O2。中性轴中性层O1O26.3

平面弯曲梁的应力与强度计算dx图（b）yzxO直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比图（a）dx（1）几何变形规律图（c）yρzyxO’O’b’b’ybbOO2.正应力公式的推导基本思路：先找线应变ε的变化规律，通过胡克定律σ=Eε，把线应变与正应力联系起来，再通过静力平衡条件把应力与内力联系起来，从而导出正应力的计算公式。6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算（2）应力与应变的物理关系应力分布规律：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。待解决问题：中性轴的位置；中性层的曲率半径ρ。MyzOx6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算内力与外力相平衡可得（1）（2）（3）（3）静力平衡关系横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量yzxOMdAzyσdAFNMzMy6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算将应力表达式代入（1）式，得将应力表达式代入（2）式，得将应力表达式代入(3)式，得中性轴通过横截面形心自然满足6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算将代入得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:M为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩。梁横截面上任一点的正应力σ与横截面上的弯矩M和该点到中性轴的距离y成反比。正应力沿截面高度成直线分布。中性轴上的应力为零。根据梁变形的情况判断σ的正负号。以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，凹入边的应力为压应力。6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算3.正应力公式的使用条件1）适用于梁的最大正应力不超过材料的比例极限。2）基于纯弯曲条件推导而来，但实际工程中的梁，其截面上大多同时存在着弯矩和剪力，研究分析可知，剪力对正应力分布规律的影响很小。因此，对剪力弯矩的情况该式仍然适用。3）是由矩形截面梁推导出来的，但它仍然适用于所有横截面有纵向对称轴的梁，如圆形、圆环形、工字形、T形截面的梁。6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算【例6-5】长为L的矩形截面梁如图所示。已知h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，q=2kN/m，计算C截面上m点的正应力。6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算【例6-6】长为l的圆形截面梁如图所示。已知F=4kN，l=6m，圆形截面半径R=100mm。试求：（1）C截面上a、b两点处的正应力。（2）梁的最大正应力σmax及其位置。6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算【例6-7】截面为No.32a工字钢的外伸梁受力如图所示。求C截面上a、b两点处的正应力。6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算6.3.3梁的弯曲切应力梁在横向外力作用下，截面上同时存在弯矩和剪力，因此，在梁横截面上不仅有正应力σ，还有切应力τ。1.矩形截面梁的切应力两个假设：1）横截面上各点的切应力的方向与剪力FS的方向一致。2）横截面上的切应力沿截面宽度均匀分布，即沿截面同一高度的切应力相等。b矩型截面的宽度。yz整个横截面对中性轴的惯性矩。距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩（面积矩）。（2）切应力沿截面高度的变化规律矩形截面梁横截面上的切应力沿截面高度按二次抛物线规律变化。y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处），τ=0y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算2.工字形截面梁的切应力切应力沿腹板高度按二次抛物线变化，最大切应力发生在中性轴上，其值为Sz*——中性轴以上（或以下）截面面积对中性轴的静矩，工字形钢从型钢表中查得。6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算3.圆形截面梁的最大切应力假设：与中性轴等远的截面宽度线上各点的切应力的方向与该截面的剪力FS的方向相同，且与剪力FS平行的竖向分量沿截面宽度方向均匀分布。各点切应力的大小相等：6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算【例6-8】如图所示的矩形截面梁，求C左截面上a、b、c三点处的切应力。C6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算【例6-9】一简支梁受荷情况和形状截面如图所示。试求：C左侧截面上a、b两点处的切应力。6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算6.3.4梁的强度计算对梁的某一截面：令得：WZ——抗弯截面系数，它是一个与截面形状尺寸有关的几何量。

WZ反映截面形状和尺寸对弯曲强度的影响，WZ越大，

σmax越小，从强度

角度看，就越有利。①矩形截面②圆形截面6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算1．梁的失效判别对于韧性材料制成的梁，当梁的危险截面上的最大正应力达到材料的屈服应力σS时，便认为梁发生失效；对于脆性材料制成的梁，当梁的危险截面上的最大正应力达到材料的强度极限σb时，便认为梁发生失效。韧性材料脆性材料6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算2．梁的弯曲强度计算准则梁的危险截面上的最大正应力，必须小于许用应力[σ]：

nS——屈服强度的安全因数；

nb——强度极限的安全因数。6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算上述强度条件，可以解决三类强度问题（1）强度校核。在已知量的材料和横截面的形状、尺寸以及所受荷载的情况下，可以检查梁是否满足正应力强度条件（2）选择截面尺寸（截面设计）。当已知荷载和所用材料时，可根据强度条件，先计算出所需的抗弯截面系数（3）计算梁的许可荷载。已知梁截面尺寸，则先根据强度条件算出梁所能承受的最大弯矩6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算3.梁的弯曲强度计算步骤1）根据梁约束性质，分析梁的受力，确定约束力。2）画出梁的弯矩图；根据弯矩图，确定可能的危险截面。3）根据应力分布和材料的拉伸与压缩强度性能是否相等，确定可能的危险位置点4）应用强度条件进行强度计算6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算【例6-10】如图所示，悬臂梁由两个尺寸为125×80×10的角钢组成，材料的许用应力[σ]

=160MPa，试按正应力校核梁的强度。6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算【例6-11】如图所示，一简支梁受两个集中力作用，已知F1=10kN，F2=40kN。梁由两根工字钢组成，材料的许用应力[σ]

=170MPa，试选择工字钢的型号。6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算【例6-12】如图所示，No.40a工字钢梁，跨度l=8m，跨中点受集中力F作用。已知[σ]

=140MPa，考虑自重，求梁的许用荷载[F]。6.3

平面弯曲梁的应力与强度计算6.4

梁的合理强