《向量在中学数学中的应用》5000字

向量在中学数学中的应用目录17885摘要 摘要:本文简单讨论利用向量的方法解决中学数学中的一些问题.在向量基本理论的基础上,首先研究了利用向量证明等式、不等式以及在三角函数等代数问题中的应用;其次,通过向量解决定比分点、二次曲线、轨迹方程等平面解析几何中的相关问题;最后,探讨了向量在求夹角、距离、证明线段的垂直等立体几何问题中的具体应用.通过例题展示了向量作为数学工具解决高中数学问题的便利性.关键词:向量;定比分点;轨迹方程;二次曲线引言向量最初应用于物理学．如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.18世纪末期,挪威科学家威塞尔首先利用坐标平面上的点表示复数,并用有几何意义的复数运算定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．通过引进了数量积和向量积,并把向量代数推广到变向量的向量微积分中．从此,向量的方法被引进到分析和解析几何中来,并逐步完善,成为了一套优良的数学工具.中学数学中引入向量后,很多几何问题都可以使用代数的方法去解决,拓展了中学数学的思维空间.同时,向量相关的定义,性质和判定方法也是继续学习其它专业课程的基础.因此对向量相关性的判定及其应用的研究是必不可少的.已有很多文献对向量的一些性质和应用进行了研究,其中文献[1]和文献[2]总结了一些常用方法,文献[5]主要介绍了夹角可以由向量的线性运算及数量积表示出来的方法,但此方法只适用于向量组都存在高阶导数的情况下,具有一定的局限性;文献[8]研究了复向量组的线性相关性在复参数辨识中的应用,证明了复参数收敛到最值的充分条件,向量在复数问题中的应用.本文简单讨论利用向量的方法解决中学数学中的一些问题.在向量基本理论的基础上,讨论了向量相关的证明等式、不等式以及在三角函数等代数问题中的应用;其次,通过向量求定比分点的坐标、求二次曲线、轨迹方程等平面解析几何中的相关问题;最后,利用向量求夹角、距离、证明线段的垂直等立体几何问题中的具体应用.通过例题展示了向量作为数学工具解决高中数学问题的便利性.1.基本理论定义1[8]在三维向量空间中,两个向量a和b的模和它们夹角的余弦的乘积叫做向量a和b的数量积（也称内积）,记作a·b或aba·b=abcos∠(a定义2[11]对于有向线段P1P2P1≠P2,若满足P1P定理1[5]两向量a和b相互垂直的充要条件是a·b=0.定理2[5]设a=a·b推论1[10]在三维向空间,量aX1,X推论2[9]设Pi(xi,yi,zi)(i=1,2),那么线段P1P2的中点坐标是2.向量在代数中的应用2.1利用向量证明等式和不等式向量与不等式结合,缘于向量的性质,等．在这类问题中,向量一般是作为解决问题的工具出现的．针对不同的问题,根据条件可以通过构造向量的方法,根据向量的性质进而去解决问题,显示了向量在证明不等式中的简便性．例1设．求证：．证明若,结论显然成立．若,,不全为0,构造向量,．则．由已知条件得1,所以或,即．例2已知、、∈,且,求证．证明构造向量,．由向量不等式,得≤．所以．例3已知、、∈,且,求证:．证明构造向量,．由向量不等式,得,又因为,所以6,即．例4已知二次函数对任意,都有成立．设向量,,,,当时,求不等式>的解集．解设的二次项系数为,则其图像上有点,．因为,,得．由的任意性得的关于对称．若,则时,是增函数；若,则时,是减函数．又因为,当时,>,解得化简得,,又因为,所以．当时,同理可得或,综上所述,不等式>的解集是：当时,为；当时,为．2.2利用向量求解三角函数的最值问题近年来,平面向量与三角函数的创新交汇是当今中学数学命题的焦点．对于此类问题,类型分析如下：例5设函数,其中,,且的图像经过点．（1）求实数的值；（2）求函数的最小值及此时取值的集合．解（1）根据题意,得,由已知2,解得1．（2）由（1）得,所以当时,取得最小值,取值为,由,得此取值的集合为．例6已知的面积为3,且满足06,设和的夹角为．（1）求的取值范围；（2）求函数的最大值和最小值．解（1）设中的角、、的对边分别为、、,由3,06,可得01,即．（2）化简得,又因为,可得23,即当时,3；时,2．例7已知向量,,且．（1）求及； （2）求函数的最小值．简析（1）=,．（2）由题意得2,因为,得．即当时,．例8设函数,其中向量,,,．（1）求函数的最大值和最小正周期；（2）将函数的图像按向量平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的．简析（1）由题意得,故的最大值为,最小正周期是．（2）由=0,得于是,．因为为整数,要使最小,则只有1,此时即为所求．3.向量在平面解析几何问题中的应用解析几何是研究方程与曲线的一门学科,是用代数的方法研究曲线的性质,而向量与解析几何都是代数形式和几何形式的统一体,在解决解析几何问题时,平面向量的出现不仅可以很明确地反映几何特征,而且又方便计算,把解析几何与平面向量综合在一起命制考题,可以有效地考查考生的数形结合思想,解析几何的基本思想以及数学联结能力等数学思想和数学能力．ACBe1e2P3.1ACBeeP图3-1例题9是平面上的一定点,,,,为不共线三点．动点满足,．则点的轨迹一定通过的（）图3-1（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解解决这个问题时,首先我们也要知道是什么？一个非零向量除以它的模就是单位向量．设与方向上的单位向量分别为和,又,则原式可化为．那么在中,很容易知道平分,则知选B．例10已知,,且AC=13AB,AD解设,,因为AC=13AB所以根据定比分点的向量公式有,同理由得,所以根据定比分点的向量公式有,即所以点C的坐标为,D点的坐标为.3.2利用向量解决二次曲线的相关问题在二次曲线中,对于一些证明弦的平行、共线等相关的问题,使用向量来证明,要比使用斜率或者是定比分点公式进行阶梯要思路清晰,过程简单．例11设为常数,过的直线与抛物线交于不同点、,圆（为圆心）的直径．试证明抛物线顶点为圆周上的点,并求圆的面积最小时直线的方程．解由已知条件可知,直线的斜率不可能为,故可设直线方程为．又设,,则其坐标满足消去得图3-2图3-2由此得所以,．因此,即,故必在圆的圆周上．又由题意,圆心是的中点,故.由前已证,应是圆的半径,且．从而当时,圆的半径最小,使圆的面积最小．此时,的方程为．分析要使结论成立,须证,因此可使用向量的数量积证明．例12已知原点为椭圆的中心,点在轴上,斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点,与共线．（1）求椭圆的离心率；（2）设椭圆上为任一点,且,证明为定值．解（1）设椭圆方程为,．则的方程为．代入,化简得．令（）,）,则,．由,,与共线,可得．又因为,,所以,化简得．即,所以,,故离心率为．由（1）知,则椭圆可化为．设,由已知得,所以．因为在椭圆上,所以,即．（1）由（1）知,,,得又,．代入①得．故为定值,定值为．3.3利用向量求动点的轨迹方程OABPF针对轨迹方程的问题,使用向量的相关知识OABPF例13如图,设为曲线线的焦点,在直线上运动,过作曲线线的切线、,且与分别相切于两点、．（1）求重心的轨迹方程．图3-3（2图3-3解（1）设切点、的坐标分别为和,则切线的方程为,切线的方程为．解得点的坐标为,．所以的重心的坐标为,．所以．由与在上运动,从而可得满足的方程为,即．（2）因为．由于点在抛物线外,则．所以,同理有,即得证．分析本题是运用向量的数量积公式将两向量的张角余弦值分别求出来再作论证．通过数量积的预算性质,可以将有关角度的几何关系转化为代数方程,进而求解相关问题．例14在中,为原点,已知,,若,其中,且,则点的轨迹方程为（）．（A）（B）（C）（D）解法一设,则．所以,又,所以消去参数,得点的轨迹方程为．法二根据向量的运算,使用坐标系下定比分点的坐标公式,有条件可知三点,,共线,故点的轨迹方程即为直线的方程,故本题应选D．例15设点和为抛物线上不同于原点的两动点,且,求点的轨迹方程,并说明它表示什么曲线．图3-4解设,,,其中,且．所以图3-4,,,．因为,所以,由,可知（2）因为,所以,由,可知（3）又因为、、三点共线,所以平行于,而,,由向量共线的充要条件,可知,化简,得（4）联立（2）、（3）、（4）可得,,即为所求的轨迹方程．4.向量在立体几何问题中的应用在立体几何中,往往出现一些求解空间中的角度,求线段的距离,判定一些图形之间的关系等问题,是不少立体几何题的主要特征．使用向量这一工具,可以使得立体几何问题转化为代数方程的求解问题,思路清晰且较少添加辅助线,更易于接受．4.1利用向量求线段的夹角在立体几何中,要求两异面直线的夹角,可以通过两向量的夹角yzNByzNBCC11B11AA11Mx例16如图,直三棱柱的底面三角形中,,,棱,、分别是、的中点．图4-1求图4-1（2）求的值．解建立如图坐标系,根据条件可知,,则．（2）由,,,解得,,且,所以．4.2利用向量证明垂直问题设非零向量,．则当时,．运用该性质,可以将证明直线与直线之间、直线与平面之间的垂直问题转化为向量的数量积进行解决．例17如图,棱长为正方体,是的中点,是的中点．（1）求证：；图4-2（2）求证：是异面直线与的公垂线．图4-2证明以为原点,、、所在的直线分别为、、轴,建立坐标系如图．则,,,,,．（1）由,,解得,即．（2）由,,,解得,,所以,,即是异面直线与的公垂线4.3利用向量证明两平面平行向量a与b≠共线的充要条件是存在实数,使a=λb．如果平面外直线的方向向量与平面内一直线的方向向量平行,则线面平行；如果两平面α与β的法向量平行,则α平行于βFEMzyADCBA11B11C11D11xN例18如图FEMzyADCBA11B11C11D11xN（1）求证：、、、四点共面；（2）求证：平面∥平面．图4-3证明取为原点,、、所在的直线分别为、、轴,建立坐标系如图．设正方体棱长为,则图4-3,,,,．（1）由,,解得,即、、、四点共面．（2）因为,,,设是平面的一个法向量,则将,代入可得可取是平面的一个法向量．易验证,,所以,．即也是平面的一个法向量,所以平面∥平面．4.4利用向量求点到平面的距离zyADCBA1B1C11zyADCBA1B1C11D1FEx例19已知正四棱柱,,,点为的中点,点为的中点,求点到面的距离．解建立如图所示直角坐标系．设平面的方程是,把图4-4,,图4-4代入,得,,所以平面的方程为．故点到面的距离为．结束语本文主要通过向量的方法对中学数学中的问题进行研究,在向量相关基本理论的基础上,归纳总结了一些解决问题的方法.首先研究了利用向量证明等式、不等式以及在三角函数等代数问题中的应用;其次,通过向量的坐标表示解决定比分点、二次曲线、轨迹方程等平面解析几何中的相关问题;最后,探讨了向量在立体几何问题中的具体应用,其中包括通过向量求线段的距离,判定一些图形之间的关系等问题．使用向量这一工具,可以使得立体几何问题转化为代数方程的求解问题,思路清晰且较少添加辅助线,更易于接受．通过例题展示了向量作为数学工具解决高中数学问题的便利性.参考文献[1]焦学勇.法向量在高中立体几何教学中的应用研究[J].课程教育研究.2018,9-14．[2]马辉.向量在中学数学中的应用[J]．科技风,2016,9-15．[3]黄欢.向量概念理解评价的研究[J].3版.扬州大学,2020,6-30.[4]张秦勤.第三届世纪之星创新教育论坛论文集[J].北京中外软信息技术研究院.北京,2016-01.[5]王后雄.高考标准教材[M].武汉：湖北教育出版社,2013,4-5．[6]孔静.小议向量在中学数学中的应用[J].基础教育论坛,2015,8-10.[7]曾莉钧.平面向量迷思概念的调查研究[J].桂林:广西师范大学