2018届高三数学每天一练半小时(63)椭圆的定义与标准方程(含答案)

训练目标(1)理解椭圆的定义，能利用定义求方程；(2)会依据椭圆标准方程用待定系数法求椭圆方程．训练题型(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆定义的应用；(3)求参数值．解题策略(1)定义法求方程；(2)待定系数法求方程；(3)根据椭圆定义及a、b、c之间的关系列方程求参数值.一、选择题1．设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左，右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A．4 B．3C．2 D．52．(2016·天津红桥区一模)已知椭圆C的焦点在y轴上，焦距等于4，离心率为eq\f(\r(2),2)，则椭圆C的标准方程是()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝13．(2017·兰州质检)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，O为坐标原点，若|OP|＝eq\f(1,2)|F1F2|，且|PF1||PF2|＝a2，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,2)4．(2016·衡水模拟)已知F1、F2是椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P的坐标为()A．(－2,0) B．(0,1)C．(2,0) D．(0,1)或(0，－1)5．(2016·三明模拟)设F1，F2是椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为()A．30 B．25C．24 D．406．(2017·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，eq\r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1 B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝17．(2016·衡水冀州中学月考)若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq\f(1,2)，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的两个实数根分别是x1，x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为()A.eq\r(2) B.eq\f(\r(7),2)C．2 D.eq\f(7,4)8．已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为()A.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,11)＝1 B.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,35)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1二、填空题9．(2016·池州模拟)已知M(eq\r(3)，0)，椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1与直线y＝k(x＋eq\r(3))交于点A，B，则△ABM的周长为________．10．(2016·豫北六校联考)如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|＝eq\r(2)，若MF⊥OA，则椭圆的方程为____________．11．(教材改编)已知点P(x，y)在曲线eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)上，则x2＋2y的最大值f(b)＝__________________.(用含b的代数式表示)12．(2016·合肥一模)若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的焦点在x轴上，过点(1，eq\f(1,2))作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________________.

答案精析1．A[由题意知|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.]2．C[由题意可得2c＝4，故c＝2，又e＝eq\f(2,a)＝eq\f(\r(2),2)，解得a＝2eq\r(2)，故b＝eq\r((2\r(2))2－22)＝2，因为焦点在y轴上，故选C.]3．C[由|OP|＝eq\f(1,2)|F1F2|，且|PF1||PF2|＝a2，可得点P是椭圆的短轴端点，即P(0，±b)，故b＝eq\f(1,2)×2c＝c，故a＝eq\r(2)c，即离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，故选C.]4．D[由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2，即P(0，－1)或P(0,1)时，取“＝”．]5．C[∵|PF1|＋|PF2|＝14，又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6.∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2.∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×8×6＝24.]6．A[设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由点P(2，eq\r(3))在椭圆上知eq\f(4,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.]7．A[由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，得a＝2c，所以b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)c，则方程ax2＋2bx＋c＝0为2x2＋2eq\r(3)x＋1＝0，所以x1＋x2＝－eq\r(3)，x1x2＝eq\f(1,2)，则点P(x1，x2)到原点的距离为d＝eq\r(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2))＝eq\r((x1＋x2)2－2x1x2)＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，故选A.]8．D[圆F的方程转化为标准方程得，(x－1)2＋y2＝12⇒F(1,0)，半径r＝2eq\r(3)，由已知可得|FB|＝|PF|＋|PB|＝|PF|＋|PA|＝2eq\r(3)>2＝|AF|⇒动点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆⇒a＝eq\r(3)，c＝1⇒b2＝a2－c2＝2⇒动点P的轨迹方程是eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，故选D.]9．8解析依题意得，a＝2，M(eq\r(3)，0)与F(－eq\r(3)，0)是椭圆的焦点，则直线AB过椭圆的左焦点F(－eq\r(3),0)，且|AB|＝|AF|＋|BF|，△ABM的周长等于|AB|＋|AM|＋|BM|＝(|AF|＋|AM|)＋(|BF|＋|BM|)＝4a＝8.10.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1解析设所求的椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则A(a,0)，B(0，b)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)))，F(eq\r(a2－b2)，0)，依题意，得eq\r(a2－b2)＝eq\r(2)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(b,a)\r(a2－2)))，由于O，C，M三点共线，所以eq\f(\f(b,a)\r(a2－2),\r(2))＝eq\f(\f(b,2),\f(a,2))，即a2－2＝2，所以a2＝4，b2＝2，所以所求的椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.11.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b2,4)＋4，0<b≤4，,2b，b>4))解析由eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1，得x2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y2,b2)))，令T＝x2＋2y，将其代入得T＝4－eq\f(4y2,b2)＋2y.即T＝－eq\f(4,b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(b2,4)))2＋eq\f(b2,4)＋4(－b≤y≤b)．当eq\f(b2,4)≤b，即0<b≤4，y＝eq\f(b2,4)时，f(b)＝eq\f(b2,4)＋4；当eq\f(b2,4)>b，即b>4，y＝b时，f(b)＝2b.所以f(b)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b2,4)＋4，0<b≤4，,2b，b>4.))12.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1解析由题意可设斜率存在的切线的方程为y－eq\f(1,2)＝k(x－1)(k为切线的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，由eq\f(